【分析】
分式混合运算遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，解题思路如下：1. 遇到除法先转化为乘法，即除以一个分式等于乘它的倒数；2. 所有分子、分母能因式分解的先因式分解，方便后续约分；3. 计算加减时，同分母分式直接分子相加减，异分母先通分化为同分母再计算；4. 注意符号变化，比如分母是$2-a$可转化为$-(a-2)$，避免符号错误；5. 最终结果要化为最简分式。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，因式分解后约分，再计算同分母减法：
原式$=\frac{2}{a-1}·\frac{(a-1)(a+1)}{2(a-2)}-\frac{1}{a-2}=\frac{a+1}{a-2}-\frac{1}{a-2}=\frac{a}{a-2}$。
(2) 先算除法部分，因式分解约分后，再计算同分母减法：
原式$=\frac{a+1}{a-3}-\frac{a-3}{a+2}·\frac{(a+2)(a-2)}{(a-3)^2}=\frac{a+1}{a-3}-\frac{a-2}{a-3}=\frac{3}{a-3}$。
(3) 先计算括号内的减法，通分后因式分解，再算除法约分：
原式$=\frac{a-1}{a}÷\frac{a^2-1}{a}=\frac{a-1}{a}·\frac{a}{(a+1)(a-1)}=\frac{1}{a+1}$。
(4) 先计算括号内的同分母减法，再计算除法：
原式$=\frac{2}{x+1}÷\frac{2}{x+1}=1$。
(5) 先计算括号内的加法，通分后因式分解，再算除法约分：
原式$=\frac{a^2+2a+1}{a-2}÷\frac{(a-1)(a+1)}{a-2}=\frac{(a+1)^2}{a-2}·\frac{a-2}{(a+1)(a-1)}=\frac{a+1}{a-1}$。
(6) 先将除法转化为乘法，利用乘法分配律简化计算：
原式$=(\frac{3x}{x-2}-\frac{x}{x+2})·\frac{(x+2)(x-2)}{x}=3(x+2)-(x-2)=2x+8$。
(7) 先计算括号内的减法，再转化为乘法约分，注意符号处理：
原式$=\frac{1-x}{x}·\frac{x}{(x+1)(x-1)}=-\frac{1}{x+1}$。
(8) 先分别化简两个括号内的式子，通分后因式分解，再算除法约分：
原式$=\frac{x^2+1+2x}{x}·\frac{x}{x^2-1}=\frac{(x+1)^2}{x}·\frac{x}{(x+1)(x-1)}=\frac{x+1}{x-1}$。
(9) 先计算括号内的减法，通分后化简，再算除法约分：
原式$=(\frac{a^2}{a-1}-\frac{a^2-1}{a-1})÷\frac{2a}{(a+1)(a-1)}=\frac{1}{a-1}·\frac{(a+1)(a-1)}{2a}=\frac{a+1}{2a}$。
(10) 先计算括号内的加法，通分后化简，再算除法约分：
原式$=(\frac{a^2-1}{a+1}+\frac{1}{a+1})÷\frac{a(a+2)}{a+1}=\frac{a^2}{a+1}·\frac{a+1}{a(a+2)}=\frac{a}{a+2}$。
【答案】
(1)$\frac{a}{a-2}$；(2)$\frac{3}{a-3}$；(3)$\frac{1}{a+1}$；(4)$1$；(5)$\frac{a+1}{a-1}$；(6)$2x+8$；(7)$-\frac{1}{x+1}$；(8)$\frac{x+1}{x-1}$；(9)$\frac{a+1}{2a}$；(10)$\frac{a}{a+2}$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式约分通分
【点评】
这组题是分式运算的基础训练，核心考察运算顺序、因式分解的应用以及符号处理，计算时要先理清楚运算步骤，因式分解要准确，遇到分母互为相反数的情况要注意变号规则，最终结果要化为最简形式，可有效减少计算错误。
【难度系数】
0.75

【分析】
这三道小题均采用倒数法求解，解题思路如下：
(1)(2)小问中已知分式分子为单项式、分母为多项式，直接求x值计算量大，首先根据已知分式的值不为0，确定x≠0，将已知等式两边取倒数，变形得到$x+\frac{1}{x}$的取值；再将待求分式取倒数，利用完全平方公式转化为含$x+\frac{1}{x}$的式子，代入计算后再取倒数即可得结果。
(3)小问中已知三个含两两变量的分式值，先判断x、y、z均不为0，将三个已知等式分别取倒数，拆分得到三个含$\frac{1}{x}、\frac{1}{y}、\frac{1}{z}$的等式，相加得到三个倒数的和；再将待求分式取倒数，拆分后刚好为三个倒数的和，代入计算后取倒数即可得结果。
【解析】
(1) 由$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{2}$，可知$x≠0$，将等式两边取倒数得：
$\frac{x^2 + 1}{x} = 2$，即$x + \frac{1}{x} = 2$
将待求式$\frac{x^2}{x^4 + 1}$取倒数得：
$\frac{x^4 + 1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2 - 2 = 2^2 - 2 = 2$
因此$\frac{x^2}{x^4 + 1} = \frac{1}{2}$
(2) 由$\frac{x}{x^2 - x + 1} = \frac{1}{7}$，可知$x≠0$，将等式两边取倒数得：
$\frac{x^2 - x + 1}{x} =7$，即$x -1 + \frac{1}{x} =7$，整理得$x+\frac{1}{x}=8$
将待求式$\frac{x^2}{x^4 - x^2 +1}$取倒数得：
$\frac{x^4 - x^2 +1}{x^2} = x^2 -1 + \frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2 - 3 = 8^2 -3 =61$
因此$\frac{x^2}{x^4 - x^2 +1} = \frac{1}{61}$
(3) 由$\frac{xy}{x+y}=2$，可知x≠0、y≠0，取倒数得$\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}$ ①
由$\frac{yz}{y+z}=\frac{4}{3}$，可知y≠0、z≠0，取倒数得$\frac{y+z}{yz}=\frac{3}{4}$，即$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{4}$ ②
由$\frac{zx}{z+x}=\frac{4}{3}$，可知z≠0、x≠0，取倒数得$\frac{z+x}{zx}=\frac{3}{4}$，即$\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=\frac{3}{4}$ ③
①+②+③得：$2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=2$，因此$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$
将待求式$\frac{xyz}{xy+yz+zx}$取倒数得：$\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$
因此$\frac{xyz}{xy+yz+zx}=1$
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；(2)$\frac{1}{61}$；(3)$1$
【知识点】
分式的基本性质，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心解题技巧为倒数法，通过对已知和待求分式取倒数，将形式复杂的分式转化为便于利用公式或整体运算的结构，避免了单独求解未知数的繁琐，是分式化简求值中需要熟练掌握的常用方法。
【难度系数】
0.7