【分析】
这道题是结合线段比例、三角形中线求不规则四边形面积的问题，解题思路如下：首先作辅助线连接FC，把四边形拆分为两个三角形，方便用面积比例关系表示各部分面积；然后利用“等高的两个三角形，面积比等于底边长的比”“三角形的中线平分三角形的面积”这两个性质，设面积最小的$△ BDF$的面积为$x$，把其他相关三角形的面积用含$x$的代数式表示；再结合$△ ABC$的总面积找到等量关系，列方程求出$x$的值，最后计算四边形$DFEC$的面积即可。
【解析】
解：如答图，连接FC。

设$S_{△ BDF}=x$，
∵E是AC的中点，$BD:DC=1:3$，$△ ABC$的面积是20，
∴$S_{△ BCE}=S_{△ BAE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=10$，$S_{△ ABD}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}=5$，$S_{△ ACD}=\frac{3}{4}S_{△ ABC}=15$，
且$S_{△ CEF}=S_{△ EFA}$，$S_{△ DCF}=3x$，$S_{△ BFC}=4x$，
∴$S_{△ ABE}-S_{△ AEF}=S_{△ CBE}-S_{△ CEF}$，即$S_{△ BAF}=S_{△ BCF}=4x$。
∵$S_{△ ABD}=S_{△ BFA}+S_{△ BFD}$，
∴$4x+x=5$，解得$x=1$，即$△ BDF$的面积为1，
∴$S_{四边形DFEC}=S_{△ BCE}-S_{△ BDF}=10-1=9$。
【答案】
9
【知识点】
三角形面积与底高关系，等高三角形面积比，三角形中线性质
【点评】
本题是三角形面积计算的典型题型，核心是利用三角形面积和底高的比例关系，通过作辅助线将不规则图形的面积转化为规则三角形面积的和差计算，结合方程思想求解，能有效考查对三角形面积相关性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题是三角形面积比例类问题，解题核心是“等高的两个三角形，面积之比等于对应底边长的比”。思考时可以从待求的$S_{△ FGS}$出发，逐层向外找到它与更大三角形的面积比例关系，最终关联到已知面积的$△ ABC$，再代入比例计算即可。每一步都先确定两个三角形共有的高，再根据给出的线段比例确定面积比，逐步递推即可得到结果。
【解析】
已知$GS=SE$，$△ FGS$和$△ EFG$等高，因此$S_{△ FGS}=\frac{1}{2}S_{△ EFG}$。
又$AF=FG$，$△ EFG$和$△ AEF$等高，因此$S_{△ EFG}=\frac{1}{2}S_{△ AGE}$，
代入得$S_{△ FGS}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}S_{△ AGE}=\frac{1}{4}S_{△ AGE}$。
已知$DG=GS=SE$，则$GE=\frac{2}{3}DE$，$△ AGE$和$△ ADE$等高，因此$S_{△ AGE}=\frac{2}{3}S_{△ ADE}$，
代入得$S_{△ FGS}=\frac{1}{4}×\frac{2}{3}S_{△ ADE}=\frac{1}{6}S_{△ ADE}$。
已知$AC=4EC$，则$AE=\frac{3}{4}AC$，$△ ADE$和$△ ADC$等高，因此$S_{△ ADE}=\frac{3}{4}S_{△ ADC}$，
代入得$S_{△ FGS}=\frac{1}{6}×\frac{3}{4}S_{△ ADC}=\frac{1}{8}S_{△ ADC}$。
已知$BC=5BD$，则$DC=\frac{4}{5}BC$，$△ ADC$和$△ ABC$等高，因此$S_{△ ADC}=\frac{4}{5}S_{△ ABC}$，
代入得$S_{△ FGS}=\frac{1}{8}×\frac{4}{5}S_{△ ABC}=\frac{1}{10}S_{△ ABC}$。
因为$S_{△ ABC}=1$，所以$S_{△ FGS}=\frac{1}{10}×1=\frac{1}{10}$。
【答案】
$\boxed{\dfrac{1}{10}}$
【知识点】
1. 等高三角形面积比例关系
2. 三角形面积计算
【点评】
本题属于三角形面积比例的典型题型，解题关键是熟练运用等高三角形面积比等于底边长之比的性质，按照从目标小三角形到已知大三角形的顺序逐层推导面积比例，计算时要注意各段线段的占比关系，避免比例混淆出错。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题可结合三角形面积与底、高的关系逐步推导求解：①首先根据BE=CE，△OBE和△OCE同高，可得二者面积相等，先求出△COE和△BOC的面积；②再根据AF=2CF，△AOF与△COF同高、△ABF与△CBF同高，可得面积比等于底的比，进而推导出△AOB的面积；③接着利用BE=CE得到△ABE和△ACE面积相等，结合已知面积关系列方程求出△COF、△AOF的面积；④最后根据同高三角形面积比等于底的比，求出AD与BD的比例，结合△AOB的面积求出△AOD和△BOD的面积即可。
【解析】
解：
∵$BE=CE$，△OBE和△OCE同高，
$\therefore S_{△ OCE}=S_{△ OBE}=1$，
$\therefore S_{△ BOC}=S_{△ OBE}+S_{△ OCE}=1+1=2$。
∵$AF=2CF$，△AOF和△COF同高，△ABF和△CBF同高，
$\therefore S_{△ ABF}=2S_{△ CBF}$，$S_{△ AOF}=2S_{△ COF}$，
$\therefore S_{△ ABF}-S_{△ AOF}=2S_{△ CBF}-2S_{△ COF}=2(S_{△ CBF}-S_{△ COF})=2S_{△ BOC}=2×2=4$，即$S_{△ AOB}=4$。
∵$BE=CE$，△ABE和△ACE同高，
$\therefore S_{△ ABE}=S_{△ ACE}$，
$\therefore S_{△ AOB}+S_{△ OBE}=S_{△ AOF}+S_{△ COF}+S_{△ OCE}$，
代入已知和面积关系得：$4+1=2S_{△ COF}+S_{△ COF}+1$，解得$S_{△ COF}=\frac{4}{3}$，
$\therefore S_{△ AOF}=2S_{△ COF}=2×\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$。
∵△ACD和△BCD同高，△AOD和△BOD同高，
$\therefore \frac{S_{△ ACD}}{S_{△ BCD}}=\frac{AD}{BD}$，$\frac{S_{△ AOD}}{S_{△ BOD}}=\frac{AD}{BD}$，
$\therefore S_{△ ACD}-S_{△ AOD}=\frac{AD}{BD}(S_{△ BCD}-S_{△ BOD})$，即$S_{△ AOC}=\frac{AD}{BD}S_{△ BOC}$，
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{S_{△ AOC}}{S_{△ BOC}}=\frac{\frac{8}{3}+\frac{4}{3}}{2}=2$，
$\therefore S_{△ AOD}=2S_{△ BOD}$，
又
∵$S_{△ AOD}+S_{△ BOD}=S_{△ AOB}=4$，
$\therefore 2S_{△ BOD}+S_{△ BOD}=4$，解得$S_{△ BOD}=\frac{4}{3}$，
$\therefore S_{△ AOD}=2×\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$。
【答案】
△AOD的面积为$\frac{8}{3}$，△AOF的面积为$\frac{8}{3}$，△BOD的面积为$\frac{4}{3}$，△COF的面积为$\frac{4}{3}$，△COE的面积为$1$。
【知识点】
等积变换，三角形面积与底高的关系，比例法求面积
【点评】
本题是三角形面积计算的典型题型，解题关键是熟练掌握“等底同高的三角形面积相等、同高的三角形面积比等于对应底的比”这两个核心性质，通过逐步推导、建立等量关系即可求出各未知三角形的面积，能很好地锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6