23.(8分)如图,在等边△ABC中,AD=BE,BD与CE相交于点F.
(1)求证:△CAE≌△BCD;
(2)求∠BFE的度数.
(1)求证:△CAE≌△BCD;
(2)求∠BFE的度数.
答案：23.(1)证明:
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CA=BC,∠A=∠BCD=60°.
∵AD=BE,
∴AB-BE=CA-AD,
∴AE=CD.
在△CAE和△BCD中,$\begin{cases} CA=BC, \\ ∠A=∠BCD, \\ AE=CD, \end{cases}$
∴△CAE≌△BCD(SAS).
(2)解:由(1)得△CAE≌△BCD,
∴∠ACE=∠CBD,
∴∠BFE=∠CBD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=∠ACB=60°.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CA=BC,∠A=∠BCD=60°.
∵AD=BE,
∴AB-BE=CA-AD,
∴AE=CD.
在△CAE和△BCD中,$\begin{cases} CA=BC, \\ ∠A=∠BCD, \\ AE=CD, \end{cases}$
∴△CAE≌△BCD(SAS).
(2)解:由(1)得△CAE≌△BCD,
∴∠ACE=∠CBD,
∴∠BFE=∠CBD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=∠ACB=60°.
24.(10分)(2025·河源月考)在$△ ABC$中，$∠ ABC$的平分线与$△ ABC$的外角$∠ ACN$的平分线交于点$D$，过点$D$作$DE⊥ BN$于点$E$.
(1)如图①，若$∠ BAC=68°$，求$∠ BDC$的度数；
(2)如图②，$M$是$BA$延长线上一点，连接$AD$，求证：$AD$平分$∠ CAM$；
(3)如图②，若$△ ABC$的周长为20，求$BE$的长.
(1)如图①，若$∠ BAC=68°$，求$∠ BDC$的度数；
(2)如图②，$M$是$BA$延长线上一点，连接$AD$，求证：$AD$平分$∠ CAM$；
(3)如图②，若$△ ABC$的周长为20，求$BE$的长.
答案：
24.(1)解:
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACN,
∴设∠ABD=∠CBD=α,∠ACD=∠NCD=β,
∴∠ABC=2α,∠ACN=2β.
∵∠ACN是△ABC的外角，
∴∠ACN=∠ABC+∠BAC.
∵∠BAC=68°,
∴2β=2α+68°,
∴β-α=34°.
∵∠NCD是△BCD的外角，
∴∠NCD=∠CBD+∠BDC,
∴β=α+∠BDC,
∴∠BDC=β-α=34°.
(2)证明:过点D作DF⊥AC于点F,DH⊥AM于点H,如答图所示.
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACN,DE⊥BN,
∴DH=DE,DF=DE,
∴DH=DF,
∴点D在∠CAM的平分线上,
∴AD平分∠CAM.
(3)解:如答图，
在Rt△BDH和Rt△BDE中,$\begin{cases} BD=BD, \\ DH=DE, \end{cases}$
∴Rt△BDH≌Rt△BDE(HL),
∴BH=BE.
同理可得Rt△CDF≌Rt△CDE(HL),
Rt△ADF≌Rt△ADH(HL),
∴CF=CE,AF=AH,
∴CF+AF=CE+AH,即AC=CE+AH.
∵△ABC的周长为20,
∴AB+BC+AC=20,
∴AB+BC+CE+AH=20,
∴BE+BH=20.
∵BH=BE,
∴BE=BH=10.
第24题答图
24.(1)解:
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACN,
∴设∠ABD=∠CBD=α,∠ACD=∠NCD=β,
∴∠ABC=2α,∠ACN=2β.
∵∠ACN是△ABC的外角，
∴∠ACN=∠ABC+∠BAC.
∵∠BAC=68°,
∴2β=2α+68°,
∴β-α=34°.
∵∠NCD是△BCD的外角，
∴∠NCD=∠CBD+∠BDC,
∴β=α+∠BDC,
∴∠BDC=β-α=34°.
(2)证明:过点D作DF⊥AC于点F,DH⊥AM于点H,如答图所示.
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACN,DE⊥BN,
∴DH=DE,DF=DE,
∴DH=DF,
∴点D在∠CAM的平分线上,
∴AD平分∠CAM.
(3)解:如答图，
在Rt△BDH和Rt△BDE中,$\begin{cases} BD=BD, \\ DH=DE, \end{cases}$
∴Rt△BDH≌Rt△BDE(HL),
∴BH=BE.
同理可得Rt△CDF≌Rt△CDE(HL),
Rt△ADF≌Rt△ADH(HL),
∴CF=CE,AF=AH,
∴CF+AF=CE+AH,即AC=CE+AH.
∵△ABC的周长为20,
∴AB+BC+AC=20,
∴AB+BC+CE+AH=20,
∴BE+BH=20.
∵BH=BE,
∴BE=BH=10.
第24题答图
25.(10分)在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是直线$BC$上一点(不与点$B,C$重合)，以$AD$为一边在$AD$的右侧作$△ ADE$，使$AD=AE$，$∠ DAE=∠ BAC$，连接$CE$.
(1)如图①，当点$D$在线段$BC$上时，若$∠ BAC=90°$，则$∠ BCE=$
(2)设$∠ BAC=α$，$∠ BCE=β$.
①如图②，当点$D$在线段$BC$上移动时，$α$，$β$之间有怎样的数量关系？并说明理由；
②当点$D$在直线$BC$上移动时，$α$，$β$之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.
(1)如图①，当点$D$在线段$BC$上时，若$∠ BAC=90°$，则$∠ BCE=$
$90°$
.(2)设$∠ BAC=α$，$∠ BCE=β$.
①如图②，当点$D$在线段$BC$上移动时，$α$，$β$之间有怎样的数量关系？并说明理由；
②当点$D$在直线$BC$上移动时，$α$，$β$之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.
答案：25.(1)$90°$
(2)解:①$α+β=180°$.
理由:
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠B=∠ACE,
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE=β.
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°,
∴$α+β=180°$.
②当点D在射线BC上时,$α+β=180°$;当点D在射线BC的反向延长线上时,$α=β$.
(2)解:①$α+β=180°$.
理由:
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠B=∠ACE,
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE=β.
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°,
∴$α+β=180°$.
②当点D在射线BC上时,$α+β=180°$;当点D在射线BC的反向延长线上时,$α=β$.