幂的符号的演变经历了漫长的时间，$a^2$，$a^3$，$a^4$的一些表示如图18.4-1所示.
$a^n$这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广.
1676年，牛顿（Newton，1643—1727）提出了一个设想：“因为数学家将$aa$，$aaa$，$aaaa$，…写成$a^2$，$a^3$，$a^4$，…，所以我将$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{aa}$，$\frac{1}{aaa}$，…写成$a^{-1}$，$a^{-2}$，$a^{-3}$，….”
思考
你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，如果$a^m$中的$m$可以是负整数，那么负整数指数幂$a^m$表示什么？
由分式的约分可知，当$a≠0$时，
$a^3 ÷ a^5 = \frac{a^3}{a^5} = \frac{a^3}{a^3 · a^2} = \frac{1}{a^2}. \tag{①}$
158 第十八章 分式
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
$a^n$这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广.
1676年，牛顿（Newton，1643—1727）提出了一个设想：“因为数学家将$aa$，$aaa$，$aaaa$，…写成$a^2$，$a^3$，$a^4$，…，所以我将$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{aa}$，$\frac{1}{aaa}$，…写成$a^{-1}$，$a^{-2}$，$a^{-3}$，….”
思考
你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，如果$a^m$中的$m$可以是负整数，那么负整数指数幂$a^m$表示什么？
由分式的约分可知，当$a≠0$时，
$a^3 ÷ a^5 = \frac{a^3}{a^5} = \frac{a^3}{a^3 · a^2} = \frac{1}{a^2}. \tag{①}$
158 第十八章 分式
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答案：解：牛顿的设想合理。
若沿用正整数指数幂的同底数幂除法运算性质$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m,n$为正整数），可得：
$a^3÷ a^5=a^{3-5}=a^{-2}$
结合分式约分的结果$a^3÷ a^5=\frac{1}{a^2}$，因此$a^{-2}=\frac{1}{a^2}$。
由此推广，当$a≠0$，$n$是正整数时，负整数指数幂的定义为：
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
即非零数$a$的负整数次幂$a^m$（$m$为负整数），等于$a$的$|m|$次幂的倒数。
若沿用正整数指数幂的同底数幂除法运算性质$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m,n$为正整数），可得：
$a^3÷ a^5=a^{3-5}=a^{-2}$
结合分式约分的结果$a^3÷ a^5=\frac{1}{a^2}$，因此$a^{-2}=\frac{1}{a^2}$。
由此推广，当$a≠0$，$n$是正整数时，负整数指数幂的定义为：
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
即非零数$a$的负整数次幂$a^m$（$m$为负整数），等于$a$的$|m|$次幂的倒数。