人民教育出版社
利用等边三角形的性质和判定，可以发现并证明直角三角形的一个性质。
◎ 探究
如图15.3-8，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论？再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？证明你的结论。
图15.3-8
通过测量发现：在Rt△ABC中，如果∠A＝30°，那么直角边BC等于斜边AB的一半。下面证明这一结论。
要证明$BC=\frac{1}{2}AB$，只要证明$2BC=AB$。为此可以构造长为2BC的线段，证明它和AB相等即可。
如图15.3-9，延长BC到D，使CD＝BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线，所以AB＝AD。又因为∠B＝90°－∠BAC＝90°－30°＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以BD＝AB。又BD＝2BC，所以$BC=\frac{1}{2}AB$。由此可以得到：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
图15.3-9
你还有其他证明方法吗？
利用等边三角形的性质和判定，可以发现并证明直角三角形的一个性质。
◎ 探究
如图15.3-8，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论？再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？证明你的结论。
图15.3-8
通过测量发现：在Rt△ABC中，如果∠A＝30°，那么直角边BC等于斜边AB的一半。下面证明这一结论。
要证明$BC=\frac{1}{2}AB$，只要证明$2BC=AB$。为此可以构造长为2BC的线段，证明它和AB相等即可。
如图15.3-9，延长BC到D，使CD＝BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线，所以AB＝AD。又因为∠B＝90°－∠BAC＝90°－30°＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以BD＝AB。又BD＝2BC，所以$BC=\frac{1}{2}AB$。由此可以得到：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
图15.3-9
你还有其他证明方法吗？
答案：证明：
在AB上取点D，使BD=BC，连接CD。
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴ ∠B=90°-∠A=60°。
又∵ BD=BC，
∴ △BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
∴ BC=BD=CD，∠BCD=60°。
∴ ∠ACD=∠ACB - ∠BCD = 90° - 60° = 30°。
∴ ∠ACD=∠A=30°，
∴ AD=CD。
又∵ CD=BC，
∴ AD=BC。
∵ AB=AD+BD，BD=BC，AD=BC，
∴ AB=2BC，
即 $BC=\frac{1}{2}AB$。
在AB上取点D，使BD=BC，连接CD。
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴ ∠B=90°-∠A=60°。
又∵ BD=BC，
∴ △BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
∴ BC=BD=CD，∠BCD=60°。
∴ ∠ACD=∠ACB - ∠BCD = 90° - 60° = 30°。
∴ ∠ACD=∠A=30°，
∴ AD=CD。
又∵ CD=BC，
∴ AD=BC。
∵ AB=AD+BD，BD=BC，AD=BC，
∴ AB=2BC，
即 $BC=\frac{1}{2}AB$。
例5 图15.3-10是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4 m，∠A=30°。求立柱BC，DE的长。
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，
∴ $BC=\frac{1}{2}AB$，$DE=\frac{1}{2}AD$。
∴ $BC=\frac{1}{2}×7.4=3.7$。
又 $AD=\frac{1}{2}AB$，
∴ $DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×3.7=1.85$。
答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m
图15.3-10
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，
∴ $BC=\frac{1}{2}AB$，$DE=\frac{1}{2}AD$。
∴ $BC=\frac{1}{2}×7.4=3.7$。
又 $AD=\frac{1}{2}AB$，
∴ $DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×3.7=1.85$。
答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m
图15.3-10
答案：解：∵ $DE⊥ AC$，$BC⊥ AC$，$∠ A=30°$，
∴ 根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得
$BC=\frac{1}{2}AB$，$DE=\frac{1}{2}AD$。
∵ $AB=7.4\ \mathrm{m}$，
∴ $BC=\frac{1}{2}×7.4=3.7\ \mathrm{m}$。
又∵ 点D是斜梁AB的中点，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×7.4=3.7\ \mathrm{m}$，
∴ $DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×3.7=1.85\ \mathrm{m}$。
答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m。
∴ 根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得
$BC=\frac{1}{2}AB$，$DE=\frac{1}{2}AD$。
∵ $AB=7.4\ \mathrm{m}$，
∴ $BC=\frac{1}{2}×7.4=3.7\ \mathrm{m}$。
又∵ 点D是斜梁AB的中点，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×7.4=3.7\ \mathrm{m}$，
∴ $DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×3.7=1.85\ \mathrm{m}$。
答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m。