例2 解方程$\frac{x}{x-1} - 1 = \frac{3}{(x-1)(x+2)}$．
解：方程两边乘$(x-1)(x+2)$，得
最简公分母．$\xleftarrow{\hspace{1cm}}$$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$．$\xrightarrow{\hspace{1cm}}$去分母，化为整式方程．
解得
$x=1$．$\xrightarrow{\hspace{1cm}}$解整式方程．
检验：当$x=1$时，$(x-1)(x+2)=0$，因此$x=1$不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
$\xrightarrow{\hspace{1cm}}$使最简公分母为0的解需舍去．
解：方程两边乘$(x-1)(x+2)$，得
最简公分母．$\xleftarrow{\hspace{1cm}}$$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$．$\xrightarrow{\hspace{1cm}}$去分母，化为整式方程．
解得
$x=1$．$\xrightarrow{\hspace{1cm}}$解整式方程．
检验：当$x=1$时，$(x-1)(x+2)=0$，因此$x=1$不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
$\xrightarrow{\hspace{1cm}}$使最简公分母为0的解需舍去．
答案：
归纳
^知识链接 使原分式方程各分母的最简公分母
为0的解，称为原分式方程的根.
解分式方程的关键是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母. 得到整式方程的解后，要对其进行检验.
解分式方程的一般过程如下：
注意! ①在将分式方程两边各项乘最简公分母时，不含分母的项不要漏乘；
②如果分式方程中分式的分子是多项式，那么在去分母时一定要加上括号；
③检验是解分式方程的必要步骤.
练习
求出解后要检验.
解下列方程：
(1) $\frac{5}{x}=\frac{7}{x-2}$；
(2) $\frac{2}{x+3}=\frac{1}{x-1}$；
去分母时，不含分母的项也要乘最简公分分母.
(3) $\frac{1}{2x}=\frac{2}{x+3}$；
(4) $\frac{x}{x+1}=\frac{2x}{3x+3}+1$；
(5) $\frac{2}{x-1}=\frac{4}{x^2-1}$；
(6) $\frac{5}{x^2+x}-\frac{1}{x^2-x}=0$.
(5) 方程两边乘$(x-1)(x+1)$，得$2(x+1)=4$. 解得$x=1$.
检验：当$x=1$时，$(x-1)(x+1)=0$，因此，$x=1$不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
(6) 方程两边乘$x(x+1)(x-1)$，得$5(x-1)-(x+1)=0$. 解得$x=\frac{3}{2}$.
检验：当$x=\frac{3}{2}$时，$x(x+1)(x-1)≠0$. 所以，原分式方程的解为$x=\frac{3}{2}$.
解：(1) 方程两边乘$x(x-2)$，得$5(x-2)=7x$. 解得$x=-5$.
检验：当$x=-5$时，$x(x-2)≠0$.
所以，原分式方程的解为$x=-5$.
(2) 方程两边乘$(x+3)(x-1)$，得$2(x-1)=x+3$. 解得$x=5$.
检验：当$x=5$时，$(x+3)(x-1)≠0$.
所以，原分式方程的解为$x=5$.
(3) 方程两边乘$2x(x+3)$，得$x+3=4x$. 解得$x=1$.
检验：当$x=1$时，$2x(x+3)≠0$.
所以，原分式方程的解为$x=1$.
(4) 方程两边乘$3(x+1)$，得$3x=2x+3(x+1)$. 解得$x=-\frac{3}{2}$.
检验：当$x=-\frac{3}{2}$时，$3(x+1)≠0$.
所以，原分式方程的解为$x=-\frac{3}{2}$.
166 第十八章 分式
在解决实际问题时，有时需要列、解分式方程.
例3 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的$\frac{1}{3}$，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快？
分析：甲队1个月完成总工程的$\frac{1}{3}$，设乙队单独施工1个月能完成总工程的$\frac{1}{x}$，那么甲队一个半月的施工量与乙队半个月的施工量的和等于总工程量.由此列方程，进而求出$x$，就可以比较甲、乙两队的施工速度.
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的$\frac{1}{x}$. 记总工程量为1，根据工程的实际进度，得
注意! 在解决实际问题时，若题目中包含多个等量关系，则在列方程时，一定要选择一个能够体现全部（或大部分）题意的等量关系.
根据等量关系，列出分式方程. $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2x}=1$.
方程两边乘$6x$，得
去分母，化为整式方程. $2x+x+3=6x$.
解得
将求得的解代入最简公分母中检验. $x=1$.
检验：当$x=1$时，$6x≠0$.
所以，原分式方程的解为$x=1$.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成总工程，对比甲队1个月完成总工程的$\frac{1}{3}$，可知乙队的施工速度快.
^知识链接 列分式方程解决实际问题的一般步骤：
①审：审清题意，弄清已知量和未知量及题中的等量关系.
②设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量.
③列：根据题中的等量关系列出分式方程.
④解：解分式方程.
⑤验：既要检验所求得的解是否为所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际意义.
⑥答：写出答案.
提速前行驶的时间 = 提速后行驶的时间.
^知识链接 使原分式方程各分母的最简公分母
为0的解，称为原分式方程的根.
解分式方程的关键是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母. 得到整式方程的解后，要对其进行检验.
解分式方程的一般过程如下：
注意! ①在将分式方程两边各项乘最简公分母时，不含分母的项不要漏乘；
②如果分式方程中分式的分子是多项式，那么在去分母时一定要加上括号；
③检验是解分式方程的必要步骤.
练习
求出解后要检验.
解下列方程：
(1) $\frac{5}{x}=\frac{7}{x-2}$；
(2) $\frac{2}{x+3}=\frac{1}{x-1}$；
去分母时，不含分母的项也要乘最简公分分母.
(3) $\frac{1}{2x}=\frac{2}{x+3}$；
(4) $\frac{x}{x+1}=\frac{2x}{3x+3}+1$；
(5) $\frac{2}{x-1}=\frac{4}{x^2-1}$；
(6) $\frac{5}{x^2+x}-\frac{1}{x^2-x}=0$.
(5) 方程两边乘$(x-1)(x+1)$，得$2(x+1)=4$. 解得$x=1$.
检验：当$x=1$时，$(x-1)(x+1)=0$，因此，$x=1$不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
(6) 方程两边乘$x(x+1)(x-1)$，得$5(x-1)-(x+1)=0$. 解得$x=\frac{3}{2}$.
检验：当$x=\frac{3}{2}$时，$x(x+1)(x-1)≠0$. 所以，原分式方程的解为$x=\frac{3}{2}$.
解：(1) 方程两边乘$x(x-2)$，得$5(x-2)=7x$. 解得$x=-5$.
检验：当$x=-5$时，$x(x-2)≠0$.
所以，原分式方程的解为$x=-5$.
(2) 方程两边乘$(x+3)(x-1)$，得$2(x-1)=x+3$. 解得$x=5$.
检验：当$x=5$时，$(x+3)(x-1)≠0$.
所以，原分式方程的解为$x=5$.
(3) 方程两边乘$2x(x+3)$，得$x+3=4x$. 解得$x=1$.
检验：当$x=1$时，$2x(x+3)≠0$.
所以，原分式方程的解为$x=1$.
(4) 方程两边乘$3(x+1)$，得$3x=2x+3(x+1)$. 解得$x=-\frac{3}{2}$.
检验：当$x=-\frac{3}{2}$时，$3(x+1)≠0$.
所以，原分式方程的解为$x=-\frac{3}{2}$.
166 第十八章 分式
在解决实际问题时，有时需要列、解分式方程.
例3 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的$\frac{1}{3}$，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快？
分析：甲队1个月完成总工程的$\frac{1}{3}$，设乙队单独施工1个月能完成总工程的$\frac{1}{x}$，那么甲队一个半月的施工量与乙队半个月的施工量的和等于总工程量.由此列方程，进而求出$x$，就可以比较甲、乙两队的施工速度.
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的$\frac{1}{x}$. 记总工程量为1，根据工程的实际进度，得
注意! 在解决实际问题时，若题目中包含多个等量关系，则在列方程时，一定要选择一个能够体现全部（或大部分）题意的等量关系.
根据等量关系，列出分式方程. $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2x}=1$.
方程两边乘$6x$，得
去分母，化为整式方程. $2x+x+3=6x$.
解得
将求得的解代入最简公分母中检验. $x=1$.
检验：当$x=1$时，$6x≠0$.
所以，原分式方程的解为$x=1$.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成总工程，对比甲队1个月完成总工程的$\frac{1}{3}$，可知乙队的施工速度快.
^知识链接 列分式方程解决实际问题的一般步骤：
①审：审清题意，弄清已知量和未知量及题中的等量关系.
②设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量.
③列：根据题中的等量关系列出分式方程.
④解：解分式方程.
⑤验：既要检验所求得的解是否为所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际意义.
⑥答：写出答案.
提速前行驶的时间 = 提速后行驶的时间.
答案：