13.2 与三角形有关的线段
三角形的边是构成三角形的元素，本节我们研究三角形三边之间的关系，并认识与三角形有关的三种重要线段.
13.2.1 三角形的边
探究
任意画一个$△ ABC$（图13.2-1），从点$B$出发，沿三角形的边到点$C$，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？
在从点$B$到点$C$的线路中，由点$B$先到点$A$再到点$C$的线路，比由点$B$直接到点$C$的线路长，即$BA+AC＞BC$，这利用了在小学我们学过的“三角形两边的和大于第三边”的结论. 下面对这个结论进行证明.
对于任意一个$△ ABC$，如果把其中任意两个顶点（例如$B$，$C$）看成定点，由“两点之间，线段最短”，可得
$AB+AC＞BC. \qquad \mathrm{①}$
同理有
$AC+BC＞AB, \qquad \mathrm{②}$
$AB+BC＞AC. \qquad \mathrm{③}$
这样，我们就证明了，三角形两边的和大于第三边.
进一步，由不等式②③，移项可得
$BC＞AB-AC,$
$BC＞AC-AB.$
知识链接 在一个三角形中，若$a$，$b$是它的两条边，则它的第三条边$c$的取值范围是$|a-b|＜c＜a+b$.
这就是说，三角形两边的差小于第三边.
可以是三角形的任意两边.
思考
上面的结论表明了三角形三边之间的关系. 反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？
一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形.
例 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？
解：（1）设底边长为$x$ cm，则腰长为$2x$ cm，则
$x+2x+2x=18.$
解得$x=3.6$.
所以，三角形三边的长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm.
（2）因为长为4 cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.
分两种情况进行讨论：
①以4 cm长的边为底边；
②以4 cm长的边为腰.
①如果4 cm长的边为底边，设腰长为$x$ cm，则
$4+2x=18.$
解得$x=7$.
$4+7＞7$，符合“三角形两边的和大于第三边”.
知识链接 在等腰三角形中，腰长$＞\frac{1}{2}$底边长.
②如果4 cm长的边为腰，设底边长为$y$ cm，则
$2× 4+y=18.$
解得$y=10$.
因为$4+4＜10$，不符合“三角形两边的和大于第三边”，所以不能围成腰长是4 cm的等腰三角形.
由以上讨论可知，可以围成底边长是4 cm的等腰三角形.
在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如图13.2-2中的屋顶钢架结构等，其中的道理是什么？
三角形的边是构成三角形的元素，本节我们研究三角形三边之间的关系，并认识与三角形有关的三种重要线段.
13.2.1 三角形的边
探究
任意画一个$△ ABC$（图13.2-1），从点$B$出发，沿三角形的边到点$C$，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？
在从点$B$到点$C$的线路中，由点$B$先到点$A$再到点$C$的线路，比由点$B$直接到点$C$的线路长，即$BA+AC＞BC$，这利用了在小学我们学过的“三角形两边的和大于第三边”的结论. 下面对这个结论进行证明.
对于任意一个$△ ABC$，如果把其中任意两个顶点（例如$B$，$C$）看成定点，由“两点之间，线段最短”，可得
$AB+AC＞BC. \qquad \mathrm{①}$
同理有
$AC+BC＞AB, \qquad \mathrm{②}$
$AB+BC＞AC. \qquad \mathrm{③}$
这样，我们就证明了，三角形两边的和大于第三边.
进一步，由不等式②③，移项可得
$BC＞AB-AC,$
$BC＞AC-AB.$
知识链接 在一个三角形中，若$a$，$b$是它的两条边，则它的第三条边$c$的取值范围是$|a-b|＜c＜a+b$.
这就是说，三角形两边的差小于第三边.
可以是三角形的任意两边.
思考
上面的结论表明了三角形三边之间的关系. 反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？
一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形.
例 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？
解：（1）设底边长为$x$ cm，则腰长为$2x$ cm，则
$x+2x+2x=18.$
解得$x=3.6$.
所以，三角形三边的长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm.
（2）因为长为4 cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.
分两种情况进行讨论：
①以4 cm长的边为底边；
②以4 cm长的边为腰.
①如果4 cm长的边为底边，设腰长为$x$ cm，则
$4+2x=18.$
解得$x=7$.
$4+7＞7$，符合“三角形两边的和大于第三边”.
知识链接 在等腰三角形中，腰长$＞\frac{1}{2}$底边长.
②如果4 cm长的边为腰，设底边长为$y$ cm，则
$2× 4+y=18.$
解得$y=10$.
因为$4+4＜10$，不符合“三角形两边的和大于第三边”，所以不能围成腰长是4 cm的等腰三角形.
由以上讨论可知，可以围成底边长是4 cm的等腰三角形.
在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如图13.2-2中的屋顶钢架结构等，其中的道理是什么？
答案：