17.「2026山东威海环翠期中，★☆」(12分)如图
，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高为4 m，宽为2.4 m.
(1)请问这辆送家具的卡车能通过这个通道吗？为什么？
(2)如图，若通道正中间有一个0.4 m宽的隔离带，请问一辆宽1.3 m，高4.2 m的车能通过这个通道吗？为什么？
，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高为4 m，宽为2.4 m.(1)请问这辆送家具的卡车能通过这个通道吗？为什么？
(2)如图，若通道正中间有一个0.4 m宽的隔离带，请问一辆宽1.3 m，高4.2 m的车能通过这个通道吗？为什么？
答案：
17.解析 (1)能通过这个通道.理由如下:
如图1,设半圆的圆心为O,作弦$EF// AD$,分别交半圆于点E,F,且$EF=2.4\ \mathrm{m}$,过O作$OH ⊥ EF$于H,连接OF,
∴$OD=OF=\frac{1}{2}AD=2\ \mathrm{m}$,$HF=\frac{1}{2}EF=1.2\ \mathrm{m}$,
∴$OH=\sqrt{OF^2-HF^2}=1.6\ \mathrm{m}$,
∴$AB+OH=2.6+1.6=4.2(\mathrm{m})＞4\ \mathrm{m}$,
∴这辆送家具的卡车能通过这个通道.
(2)不能通过这个通道.理由如下:
如图2,设半圆的圆心为O,作弦$EF// AD$,分别交半圆于点E,F,且EF到BC的距离为4.2 m,过O作$OH ⊥ EF$于H,在HF上取点M,使$HM=0.2\ \mathrm{m}$,连接OF,则$OF=OD=\frac{1}{2}AD=2\ \mathrm{m}$,$OH=4.2-2.6=1.6(\mathrm{m})$,
∴$HF=\sqrt{OF^2-OH^2}=1.2\ \mathrm{m}$,
∴$MF=HF-HM=1\ \mathrm{m}＜1.3\ \mathrm{m}$,
∴一辆宽1.3 m,高4.2 m的车不能通过这个通道.
17.解析 (1)能通过这个通道.理由如下:
如图1,设半圆的圆心为O,作弦$EF// AD$,分别交半圆于点E,F,且$EF=2.4\ \mathrm{m}$,过O作$OH ⊥ EF$于H,连接OF,
∴$OD=OF=\frac{1}{2}AD=2\ \mathrm{m}$,$HF=\frac{1}{2}EF=1.2\ \mathrm{m}$,
∴$OH=\sqrt{OF^2-HF^2}=1.6\ \mathrm{m}$,
∴$AB+OH=2.6+1.6=4.2(\mathrm{m})＞4\ \mathrm{m}$,
∴这辆送家具的卡车能通过这个通道.
(2)不能通过这个通道.理由如下:
如图2,设半圆的圆心为O,作弦$EF// AD$,分别交半圆于点E,F,且EF到BC的距离为4.2 m,过O作$OH ⊥ EF$于H,在HF上取点M,使$HM=0.2\ \mathrm{m}$,连接OF,则$OF=OD=\frac{1}{2}AD=2\ \mathrm{m}$,$OH=4.2-2.6=1.6(\mathrm{m})$,
∴$HF=\sqrt{OF^2-OH^2}=1.2\ \mathrm{m}$,
∴$MF=HF-HM=1\ \mathrm{m}＜1.3\ \mathrm{m}$,
∴一辆宽1.3 m,高4.2 m的车不能通过这个通道.
解析：
【分析】
(1) 要判断卡车能否通过，需计算卡车宽度2.4m对应位置的通道总高度，将其与卡车高度4m比较：通道上半部分是直径为4m的半圆，可借助垂径定理，在半圆中构造长度为2.4m的弦，计算该弦到半圆直径的距离（拱高），加上下方长方形的高度2.6m即为对应位置的总高度，若总高度大于4m即可通行。
(2) 第二问有0.4m宽的隔离带，正中间的隔离带左右各占0.2m，需先计算高度为4.2m位置对应的半圆内水平宽度，扣除隔离带占用的0.2m后，将剩余宽度与车宽1.3m比较，若剩余宽度小于1.3m则无法通行，同样用垂径定理结合勾股定理计算即可。
【解析】
(1) 能通过这个通道，理由如下：
如图1，设半圆的圆心为O，作弦$EF// AD$，分别交半圆于点E、F，且$EF=2.4\ \mathrm{m}$，过O作$OH ⊥ EF$于H，连接OF。
∴半圆半径$OD=OF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{m}$，根据垂径定理得$HF=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×2.4=1.2\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ OHF$中，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OF^2-HF^2}=\sqrt{2^2-1.2^2}=\sqrt{2.56}=1.6\ \mathrm{m}$，
∴该位置通道总高度为$AB+OH=2.6+1.6=4.2\ \mathrm{m}$，
∵$4.2\ \mathrm{m}＞4\ \mathrm{m}$，
∴这辆送家具的卡车能通过这个通道。
(2) 不能通过这个通道，理由如下：
如图2，设半圆的圆心为O，作弦$EF// AD$，分别交半圆于点E、F，且EF到BC的距离为4.2 m，过O作$OH ⊥ EF$于H，在HF上取点M，使$HM=0.2\ \mathrm{m}$，连接OF。
则半圆半径$OF=OD=2\ \mathrm{m}$，$OH=4.2-2.6=1.6\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ OHF$中，由勾股定理得：
$HF=\sqrt{OF^2-OH^2}=\sqrt{2^2-1.6^2}=\sqrt{1.44}=1.2\ \mathrm{m}$，
扣除隔离带占用宽度后剩余可用宽度为$MF=HF-HM=1.2-0.2=1\ \mathrm{m}$，
∵$1\ \mathrm{m}＜1.3\ \mathrm{m}$，
∴一辆宽1.3 m，高4.2 m的车不能通过这个通道。
【答案】
(1) 能通过，理由见解析；
(2) 不能通过，理由见解析。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是结合生活场景的几何应用题，将实际通行问题转化为圆的计算问题，解题核心是合理构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求出对应位置的高度或宽度后比较判断，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断卡车能否通过，需计算卡车宽度2.4m对应位置的通道总高度，将其与卡车高度4m比较：通道上半部分是直径为4m的半圆，可借助垂径定理，在半圆中构造长度为2.4m的弦，计算该弦到半圆直径的距离（拱高），加上下方长方形的高度2.6m即为对应位置的总高度，若总高度大于4m即可通行。
(2) 第二问有0.4m宽的隔离带，正中间的隔离带左右各占0.2m，需先计算高度为4.2m位置对应的半圆内水平宽度，扣除隔离带占用的0.2m后，将剩余宽度与车宽1.3m比较，若剩余宽度小于1.3m则无法通行，同样用垂径定理结合勾股定理计算即可。
【解析】
(1) 能通过这个通道，理由如下：
如图1，设半圆的圆心为O，作弦$EF// AD$，分别交半圆于点E、F，且$EF=2.4\ \mathrm{m}$，过O作$OH ⊥ EF$于H，连接OF。
∴半圆半径$OD=OF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{m}$，根据垂径定理得$HF=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×2.4=1.2\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ OHF$中，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OF^2-HF^2}=\sqrt{2^2-1.2^2}=\sqrt{2.56}=1.6\ \mathrm{m}$，
∴该位置通道总高度为$AB+OH=2.6+1.6=4.2\ \mathrm{m}$，
∵$4.2\ \mathrm{m}＞4\ \mathrm{m}$，
∴这辆送家具的卡车能通过这个通道。
(2) 不能通过这个通道，理由如下：
如图2，设半圆的圆心为O，作弦$EF// AD$，分别交半圆于点E、F，且EF到BC的距离为4.2 m，过O作$OH ⊥ EF$于H，在HF上取点M，使$HM=0.2\ \mathrm{m}$，连接OF。
则半圆半径$OF=OD=2\ \mathrm{m}$，$OH=4.2-2.6=1.6\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ OHF$中，由勾股定理得：
$HF=\sqrt{OF^2-OH^2}=\sqrt{2^2-1.6^2}=\sqrt{1.44}=1.2\ \mathrm{m}$，
扣除隔离带占用宽度后剩余可用宽度为$MF=HF-HM=1.2-0.2=1\ \mathrm{m}$，
∵$1\ \mathrm{m}＜1.3\ \mathrm{m}$，
∴一辆宽1.3 m，高4.2 m的车不能通过这个通道。
【答案】
(1) 能通过，理由见解析；
(2) 不能通过，理由见解析。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是结合生活场景的几何应用题，将实际通行问题转化为圆的计算问题，解题核心是合理构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求出对应位置的高度或宽度后比较判断，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7