17.「2025山东济南中考，★★☆」(12分)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP//AC，且∠OBP=90°，连接PC.
(1)求证：PC与⊙O相切.
(2)若AO=3，OP=5，求AC的长.
(1)求证：PC与⊙O相切.
(2)若AO=3，OP=5，求AC的长.
答案：
17.解析 (1)证明:连接 $OC$,如图, $\because OC=OA, \therefore ∠ OAC=∠ OCA, \because OP // AC, \therefore ∠ OAC=∠ BOP, ∠ OCA=∠ COP$,$\therefore ∠ COP=∠ BOP$,$\because OP=OP,OC=OB, \therefore △ COP ≌ △ BOP(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ OCP=∠ OBP=90°$,即 $OC ⊥ PC$,$\because OC$ 是 $\odot O$ 的半径, $\therefore PC$ 与 $\odot O$ 相切.
(2)如图,连接 $BC$ 交 $OP$ 于点 $D$,$\because △ COP ≌ △ BOP, \therefore OP$ 垂直平分 $BC$,$\because BO=AO=3,OP=5, ∠ OBP=90°$,$\therefore BP=\sqrt{OP^2-OB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,$\because S_{△ OBP}=\frac{1}{2}OB · BP=\frac{1}{2}OP · BD$,$\therefore BD=\frac{OB · BP}{OP}=\frac{3 × 4}{5}=\frac{12}{5}, \therefore BC=2BD=\frac{24}{5}$,$\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore AB=2OA=6, ∠ ACB=90°$,$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{18}{5}$.
17.解析 (1)证明:连接 $OC$,如图, $\because OC=OA, \therefore ∠ OAC=∠ OCA, \because OP // AC, \therefore ∠ OAC=∠ BOP, ∠ OCA=∠ COP$,$\therefore ∠ COP=∠ BOP$,$\because OP=OP,OC=OB, \therefore △ COP ≌ △ BOP(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ OCP=∠ OBP=90°$,即 $OC ⊥ PC$,$\because OC$ 是 $\odot O$ 的半径, $\therefore PC$ 与 $\odot O$ 相切.
(2)如图,连接 $BC$ 交 $OP$ 于点 $D$,$\because △ COP ≌ △ BOP, \therefore OP$ 垂直平分 $BC$,$\because BO=AO=3,OP=5, ∠ OBP=90°$,$\therefore BP=\sqrt{OP^2-OB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,$\because S_{△ OBP}=\frac{1}{2}OB · BP=\frac{1}{2}OP · BD$,$\therefore BD=\frac{OB · BP}{OP}=\frac{3 × 4}{5}=\frac{12}{5}, \therefore BC=2BD=\frac{24}{5}$,$\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore AB=2OA=6, ∠ ACB=90°$,$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{18}{5}$.
解析：
【分析】
(1)要证明PC是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明半径OC垂直PC，因此先连接OC。利用OP//AC推导角相等，得到∠COP=∠BOP，再通过SAS证明△COP≌△BOP，将已知的∠OBP=90°转化为∠OCP=90°，即可完成证明。
(2)求AC的长时，利用AB是直径可得∠ACB=90°，△ACB为直角三角形，已知AB=6，只需求出BC的长即可用勾股定理计算AC。连接BC交OP于D，由全等性质得OP垂直平分BC，先在Rt△OBP中用勾股定理求BP，再用面积法求BD，进而得到BC的长，最后在Rt△ACB中计算AC即可。
【解析】
(1)证明：连接OC，如图，
$\because OC=OA$，$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$，
$\because OP// AC$，$\therefore ∠ OAC=∠ BOP$，$∠ OCA=∠ COP$，
$\therefore ∠ COP=∠ BOP$，
在$△ COP$和$△ BOP$中：
$\begin{cases} OC=OB \\ ∠ COP=∠ BOP \\ OP=OP \end{cases}$
$\therefore △ COP ≌ △ BOP(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ OCP=∠ OBP=90°$，即$OC⊥ PC$，
$\because OC$是$\odot O$的半径，$\therefore PC$与$\odot O$相切。
(2)解：连接$BC$交$OP$于点$D$，
$\because △ COP ≌ △ BOP$，$\therefore CP=BP$，又$OC=OB$，
$\therefore OP$垂直平分$BC$，
$\because BO=AO=3$，$OP=5$，$∠ OBP=90°$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OBP$中，$BP=\sqrt{OP^2-OB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
$\because S_{△ OBP}=\frac{1}{2}OB· BP=\frac{1}{2}OP· BD$，
$\therefore BD=\frac{OB· BP}{OP}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$，$\therefore BC=2BD=\frac{24}{5}$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore AB=2OA=6$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACB$中，$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{18}{5}$。
【答案】
(1)PC与⊙O相切，证明见解析；
(2)$AC=\frac{18}{5}$
【知识点】
切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是圆的综合常考题，结合了圆的性质、三角形全等、勾股定理等知识点，解题核心是合理添加辅助线，通过全等转化角的关系，利用面积法和勾股定理完成线段长度的计算。
【难度系数】
0.65
(1)要证明PC是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明半径OC垂直PC，因此先连接OC。利用OP//AC推导角相等，得到∠COP=∠BOP，再通过SAS证明△COP≌△BOP，将已知的∠OBP=90°转化为∠OCP=90°，即可完成证明。
(2)求AC的长时，利用AB是直径可得∠ACB=90°，△ACB为直角三角形，已知AB=6，只需求出BC的长即可用勾股定理计算AC。连接BC交OP于D，由全等性质得OP垂直平分BC，先在Rt△OBP中用勾股定理求BP，再用面积法求BD，进而得到BC的长，最后在Rt△ACB中计算AC即可。
【解析】
(1)证明：连接OC，如图
，$\because OC=OA$，$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$，
$\because OP// AC$，$\therefore ∠ OAC=∠ BOP$，$∠ OCA=∠ COP$，
$\therefore ∠ COP=∠ BOP$，
在$△ COP$和$△ BOP$中：
$\begin{cases} OC=OB \\ ∠ COP=∠ BOP \\ OP=OP \end{cases}$
$\therefore △ COP ≌ △ BOP(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ OCP=∠ OBP=90°$，即$OC⊥ PC$，
$\because OC$是$\odot O$的半径，$\therefore PC$与$\odot O$相切。
(2)解：连接$BC$交$OP$于点$D$，
$\because △ COP ≌ △ BOP$，$\therefore CP=BP$，又$OC=OB$，
$\therefore OP$垂直平分$BC$，
$\because BO=AO=3$，$OP=5$，$∠ OBP=90°$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OBP$中，$BP=\sqrt{OP^2-OB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
$\because S_{△ OBP}=\frac{1}{2}OB· BP=\frac{1}{2}OP· BD$，
$\therefore BD=\frac{OB· BP}{OP}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$，$\therefore BC=2BD=\frac{24}{5}$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore AB=2OA=6$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACB$中，$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{18}{5}$。
【答案】
(1)PC与⊙O相切，证明见解析；
(2)$AC=\frac{18}{5}$
【知识点】
切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是圆的综合常考题，结合了圆的性质、三角形全等、勾股定理等知识点，解题核心是合理添加辅助线，通过全等转化角的关系，利用面积法和勾股定理完成线段长度的计算。
【难度系数】
0.65