12.(10分)已知$(m^2 - 4)x^2 + (m - 2)x + 4 = 0$是关于x的一元一次方程，求此方程的解。
答案：12.解:由题意,得$m^2-4=0,m-2≠0$,则$m=-2$.
原方程为$-4x+4=0$,解得$x=1$.
原方程为$-4x+4=0$,解得$x=1$.
解析：
【分析】
要解决这道题，首先需明确一元一次方程的核心特征：只含一个未知数、未知数的最高次数为1、一次项系数不为0的整式方程。观察给定方程发现存在x²项，因此要满足一元一次方程的要求，首先要让二次项系数为0，消去二次项；同时必须保证一次项系数不为0，否则方程将不含未知数，不符合一元一次方程的定义。先根据这两个限制条件求出m的取值，再将m代入原方程得到普通一元一次方程，最后按解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
解：
∵$(m^2 - 4)x^2 + (m - 2)x + 4 = 0$是关于x的一元一次方程
∴二次项系数为0，且一次项系数不为0，可列条件：
$\begin{cases}m^2 - 4 = 0 \\ m - 2 ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 - 4 = 0$，得$m=2$或$m=-2$
结合$m-2≠0$即$m≠2$，可得$m=-2$
将$m=-2$代入原方程，化简得：
$-4x + 4 = 0$
移项得：$-4x=-4$
系数化为1得：$x=1$
【答案】
$x=1$
【知识点】
一元一次方程的定义、解一元一次方程
【点评】
本题侧重考查对一元一次方程概念的理解，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制，误将$m=2$代入计算，掌握方程定义的细节要求是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确一元一次方程的核心特征：只含一个未知数、未知数的最高次数为1、一次项系数不为0的整式方程。观察给定方程发现存在x²项，因此要满足一元一次方程的要求，首先要让二次项系数为0，消去二次项；同时必须保证一次项系数不为0，否则方程将不含未知数，不符合一元一次方程的定义。先根据这两个限制条件求出m的取值，再将m代入原方程得到普通一元一次方程，最后按解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
解：
∵$(m^2 - 4)x^2 + (m - 2)x + 4 = 0$是关于x的一元一次方程
∴二次项系数为0，且一次项系数不为0，可列条件：
$\begin{cases}m^2 - 4 = 0 \\ m - 2 ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 - 4 = 0$，得$m=2$或$m=-2$
结合$m-2≠0$即$m≠2$，可得$m=-2$
将$m=-2$代入原方程，化简得：
$-4x + 4 = 0$
移项得：$-4x=-4$
系数化为1得：$x=1$
【答案】
$x=1$
【知识点】
一元一次方程的定义、解一元一次方程
【点评】
本题侧重考查对一元一次方程概念的理解，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制，误将$m=2$代入计算，掌握方程定义的细节要求是解题的关键。
【难度系数】
0.7
13.(10分)圆圆在做作业时,发现题中有一个数字被墨水污染了:计算:$(-6)×(\frac{2}{3}-■)-2^3$.
(1)如果被污染的数字是$\frac{1}{2}$,请计算$(-6)×(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})-2^3$;
(2)如果计算结果等于6,求被污染的数字.
(1)如果被污染的数字是$\frac{1}{2}$,请计算$(-6)×(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})-2^3$;
(2)如果计算结果等于6,求被污染的数字.
答案：13.解:(1)$(-6)×(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})-2^3$
$=(-6)×\frac{1}{6}-8$
$=-1-8$
$=-9.$
(2)设被污染的数字为$x$,
根据题意,得$(-6)×(\frac{2}{3}-x)-2^3=6$,
解得$x=3$,
即被污染的数字是3.
$=(-6)×\frac{1}{6}-8$
$=-1-8$
$=-9.$
(2)设被污染的数字为$x$,
根据题意,得$(-6)×(\frac{2}{3}-x)-2^3=6$,
解得$x=3$,
即被污染的数字是3.
解析：
【分析】
本题分为两小问，解题思路清晰：
（1）第一小问已知被污染的数字，直接代入原式，按有理数混合运算顺序计算即可：先算乘方，再算括号内的减法，接着算乘法，最后算减法得到结果；
（2）第二小问已知计算结果求被污染的数字，用方程思想求解：先设被污染的数字为x，根据结果等于6列出一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求出x的值即可。
【解析】
(1) 将被污染的数字$\frac{1}{2}$代入原式计算：
$\begin{aligned}(-6)×(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})-2^3&=(-6)×\frac{1}{6}-8\\&=-1-8\\&=-9\end{aligned}$
(2) 设被污染的数字为$x$，根据题意列方程：
$(-6)×(\frac{2}{3}-x)-2^3=6$
化简求解：
$\begin{aligned}-4+6x-8&=6\\6x&=6+12\\x&=3\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-9}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
1. 有理数混合运算
2. 一元一次方程的应用
3. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算类题型，主要考察运算准确性，计算时要注意运算顺序和符号处理，列方程的核心是找准等量关系，熟练掌握运算法则和一元一次方程解法即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，解题思路清晰：
（1）第一小问已知被污染的数字，直接代入原式，按有理数混合运算顺序计算即可：先算乘方，再算括号内的减法，接着算乘法，最后算减法得到结果；
（2）第二小问已知计算结果求被污染的数字，用方程思想求解：先设被污染的数字为x，根据结果等于6列出一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求出x的值即可。
【解析】
(1) 将被污染的数字$\frac{1}{2}$代入原式计算：
$\begin{aligned}(-6)×(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})-2^3&=(-6)×\frac{1}{6}-8\\&=-1-8\\&=-9\end{aligned}$
(2) 设被污染的数字为$x$，根据题意列方程：
$(-6)×(\frac{2}{3}-x)-2^3=6$
化简求解：
$\begin{aligned}-4+6x-8&=6\\6x&=6+12\\x&=3\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-9}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
1. 有理数混合运算
2. 一元一次方程的应用
3. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算类题型，主要考察运算准确性，计算时要注意运算顺序和符号处理，列方程的核心是找准等量关系，熟练掌握运算法则和一元一次方程解法即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
14.(10分)(2025·宿迁宿城区期末)某水果零售商店在水蜜桃销售季节分两批次从批发市场共购进水蜜桃80箱，已知第一、二次进货价分别为每箱60元，50元，且第二次比第一次多付款700元.
(1)求第一、二次各购进水蜜桃多少箱；
(2)若商店对这80箱水蜜桃先按每箱80元销售了45箱，其余的每箱打八折销售，求该商店销售完全部水蜜桃所获得的利润.(注:按整箱出售，利润=销售总收入-进货总成本)
(1)求第一、二次各购进水蜜桃多少箱；
(2)若商店对这80箱水蜜桃先按每箱80元销售了45箱，其余的每箱打八折销售，求该商店销售完全部水蜜桃所获得的利润.(注:按整箱出售，利润=销售总收入-进货总成本)
答案：14.解:(1)设第一次购进水蜜桃$x$箱,则第二次购进水蜜桃$(80-x)$箱,根据题意,得
$50(80-x)-60x=700$,
解得$x=30$,则$80-x=50$.
答:第一、二次各购进水蜜桃30箱和50箱.
(2)$80×45+80×0.8×(80-45)-60×30-50×50=1540$(元).
答:该商店销售完全部水蜜桃所获得的利润为1540元.
$50(80-x)-60x=700$,
解得$x=30$,则$80-x=50$.
答:第一、二次各购进水蜜桃30箱和50箱.
(2)$80×45+80×0.8×(80-45)-60×30-50×50=1540$(元).
答:该商店销售完全部水蜜桃所获得的利润为1540元.
解析：
【分析】
(1) 本题是一元一次方程实际应用题，解题关键是找准等量关系。已知两批次共进货80箱，设第一次购进水蜜桃$x$箱，则第二次进货为$(80-x)$箱，根据“第二次进货总费用 - 第一次进货总费用=700元”的等量关系列方程，求解即可得到两次进货的箱数。
(2) 计算利润依据公式“利润=销售总收入-进货总成本”，先分两部分算销售总收入：前45箱按每箱80元计算，剩余箱数按80元打八折计算，再减去两次进货的总成本，即可求出总利润。
【解析】
(1) 设第一次购进水蜜桃$x$箱，则第二次购进水蜜桃$(80-x)$箱，根据题意列方程：
$50(80-x)-60x=700$
展开得：$4000-50x-60x=700$
合并同类项、移项得：$110x=3300$
解得：$x=30$
则第二次进货箱数为$80-x=80-30=50$（箱）
(2) 销售总收入为：$80×45 + 80×0.8×(80-45) = 3600 + 2240 = 5840$（元）
进货总成本为：$60×30 + 50×50 = 1800 + 2500 = 4300$（元）
总利润为：$5840 - 4300 = 1540$（元）
【答案】
(1) 第一次购进水蜜桃30箱，第二次购进水蜜桃50箱；
(2) 销售完全部水蜜桃所获得的利润为1540元。
【知识点】
一元一次方程的应用、销售利润计算、打折销售问题
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，重点考查学生梳理数量关系、列方程求解的能力，以及对销售利润相关公式的掌握，只要理清各量之间的对应关系，准确代入计算即可得分。
【难度系数】
0.75
(1) 本题是一元一次方程实际应用题，解题关键是找准等量关系。已知两批次共进货80箱，设第一次购进水蜜桃$x$箱，则第二次进货为$(80-x)$箱，根据“第二次进货总费用 - 第一次进货总费用=700元”的等量关系列方程，求解即可得到两次进货的箱数。
(2) 计算利润依据公式“利润=销售总收入-进货总成本”，先分两部分算销售总收入：前45箱按每箱80元计算，剩余箱数按80元打八折计算，再减去两次进货的总成本，即可求出总利润。
【解析】
(1) 设第一次购进水蜜桃$x$箱，则第二次购进水蜜桃$(80-x)$箱，根据题意列方程：
$50(80-x)-60x=700$
展开得：$4000-50x-60x=700$
合并同类项、移项得：$110x=3300$
解得：$x=30$
则第二次进货箱数为$80-x=80-30=50$（箱）
(2) 销售总收入为：$80×45 + 80×0.8×(80-45) = 3600 + 2240 = 5840$（元）
进货总成本为：$60×30 + 50×50 = 1800 + 2500 = 4300$（元）
总利润为：$5840 - 4300 = 1540$（元）
【答案】
(1) 第一次购进水蜜桃30箱，第二次购进水蜜桃50箱；
(2) 销售完全部水蜜桃所获得的利润为1540元。
【知识点】
一元一次方程的应用、销售利润计算、打折销售问题
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，重点考查学生梳理数量关系、列方程求解的能力，以及对销售利润相关公式的掌握，只要理清各量之间的对应关系，准确代入计算即可得分。
【难度系数】
0.75
15.(10分)(2025·北京)北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为制作一只京燕风筝,小明准备了五根直竹条(如图①):一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图②),其头部高、胸腹高与尾部高的比是$1:1:2$.已知单根膀条长是胸腹高的5倍,门条比单根膀条短10 cm,图①中BC的长是门条长的$\frac{5}{9}$,AB,CD的长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高.
答案：15.解:设胸腹高为$x$ cm,则单根膀条长为$5x$ cm,门条$AD$的长度为$(5x-10)$ cm,$BC=\frac{5}{9}(5x-10)$ cm,$AB=CD=x$ cm,头部高为$x$ cm,尾部高为$2x$ cm,这只风筝的骨架的总高为$4x$ cm,
由$AD=AB+BC+CD$,
可得$5x-10=x+\frac{5}{9}(5x-10)+x$,
解得$x=20$,
所以这只风筝的骨架的总高$4x=80$(cm).
答:这只风筝的骨架的总高为80 cm.
由$AD=AB+BC+CD$,
可得$5x-10=x+\frac{5}{9}(5x-10)+x$,
解得$x=20$,
所以这只风筝的骨架的总高$4x=80$(cm).
答:这只风筝的骨架的总高为80 cm.
解析：
【分析】
解题时首先根据已知的比例关系和各竹条长度与胸腹高的关联，选择设胸腹高为$x$ cm作为未知量，即可将头部高、尾部高、单根膀条长度、门条长度、BC、AB、CD的长度均用含$x$的代数式表示，再根据门条$AD$的长度等于AB、BC、CD三段长度之和这一等量关系列出一元一次方程，求解得到$x$的值后，总高为头部高、胸腹高、尾部高的和，代入$x$的值即可算出结果。
【解析】
设胸腹高为$x$ cm，
则单根膀条长为$5x$ cm，门条$AD$的长度为$(5x-10)$ cm，
$BC=\frac{5}{9}(5x-10)$ cm，$AB=CD=x$ cm，头部高为$x$ cm，尾部高为$2x$ cm，
骨架总高为$x+x+2x=4x$ cm。
根据线段和差关系$AD=AB+BC+CD$，可列方程：
$5x-10=x+\frac{5}{9}(5x-10)+x$
解方程：
两边同乘9得：$45x-90=9x+5(5x-10)+9x$
$45x-90=9x+25x-50+9x$
$45x-90=43x-50$
$2x=40$
解得$x=20$
则总高$4x=4×20=80$（cm）
【答案】
80 cm
【知识点】
一元一次方程的应用，线段和差计算，比例的应用
【点评】
本题以北京风筝制作这一非物质文化遗产为背景，贴近生活，解题关键是找准各段线段的等量关系，将实际问题转化为数学方程问题求解，考查了学生的数学建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知的比例关系和各竹条长度与胸腹高的关联，选择设胸腹高为$x$ cm作为未知量，即可将头部高、尾部高、单根膀条长度、门条长度、BC、AB、CD的长度均用含$x$的代数式表示，再根据门条$AD$的长度等于AB、BC、CD三段长度之和这一等量关系列出一元一次方程，求解得到$x$的值后，总高为头部高、胸腹高、尾部高的和，代入$x$的值即可算出结果。
【解析】
设胸腹高为$x$ cm，
则单根膀条长为$5x$ cm，门条$AD$的长度为$(5x-10)$ cm，
$BC=\frac{5}{9}(5x-10)$ cm，$AB=CD=x$ cm，头部高为$x$ cm，尾部高为$2x$ cm，
骨架总高为$x+x+2x=4x$ cm。
根据线段和差关系$AD=AB+BC+CD$，可列方程：
$5x-10=x+\frac{5}{9}(5x-10)+x$
解方程：
两边同乘9得：$45x-90=9x+5(5x-10)+9x$
$45x-90=9x+25x-50+9x$
$45x-90=43x-50$
$2x=40$
解得$x=20$
则总高$4x=4×20=80$（cm）
【答案】
80 cm
【知识点】
一元一次方程的应用，线段和差计算，比例的应用
【点评】
本题以北京风筝制作这一非物质文化遗产为背景，贴近生活，解题关键是找准各段线段的等量关系，将实际问题转化为数学方程问题求解，考查了学生的数学建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.7