8.有下列四个说法:①长方体与正方体都是四棱柱;②三棱锥的侧面都是三角形;③十棱柱有10个面,每个侧面都是长方形;④棱柱的每条棱长可以相等,其中正确的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：8.C
解析：
【分析】
要判断四个说法的正确性，需结合棱柱、棱锥的定义和基本特征，逐个分析每个说法是否符合对应的立体图形性质即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析各说法：
① 四棱柱是底面为四边形的棱柱，长方体、正方体的底面均为四边形，满足四棱柱的特征，故①正确；
② 三棱锥底面为三角形，它的所有侧面都是共顶点的三角形，故②正确；
③ 十棱柱有10个侧面，加上上下2个底面，共有12个面，且棱柱的侧面均为长方形，故“十棱柱有10个面”的说法错误，即③错误；
④ 棱柱的侧棱都相等，底面的边长也可以和侧棱长度相等，比如正方体是特殊的棱柱，所有棱长都相等，因此棱柱的每条棱长可以相等，故④正确。
综上，正确的说法是①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
棱柱的特征；棱锥的特征
【点评】
本题主要考查常见立体图形的基础性质，解题时需注意棱柱的面包含侧面和上下两个底面，不要漏算底面导致判断失误。
【难度系数】
0.7
要判断四个说法的正确性，需结合棱柱、棱锥的定义和基本特征，逐个分析每个说法是否符合对应的立体图形性质即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析各说法：
① 四棱柱是底面为四边形的棱柱，长方体、正方体的底面均为四边形，满足四棱柱的特征，故①正确；
② 三棱锥底面为三角形，它的所有侧面都是共顶点的三角形，故②正确；
③ 十棱柱有10个侧面，加上上下2个底面，共有12个面，且棱柱的侧面均为长方形，故“十棱柱有10个面”的说法错误，即③错误；
④ 棱柱的侧棱都相等，底面的边长也可以和侧棱长度相等，比如正方体是特殊的棱柱，所有棱长都相等，因此棱柱的每条棱长可以相等，故④正确。
综上，正确的说法是①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
棱柱的特征；棱锥的特征
【点评】
本题主要考查常见立体图形的基础性质，解题时需注意棱柱的面包含侧面和上下两个底面，不要漏算底面导致判断失误。
【难度系数】
0.7
9.(2025·常熟期末)十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数$(v)$,面数$(f)$,棱数$(e)$之间存在一个有趣的数量关系：$v + f - e = 2$，这就是著名的欧拉定理.某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有28个顶点，每个顶点都有3条棱，设该多面体外表面三角形个数是$x$个，八边形的个数是$y$，则$x + y =$
16
.答案：9.16 点拨:由有28个顶点,每个顶点处都有3条棱,两点确定一条直线,得共有28×3÷2=42条棱,由欧拉公式,知28+f-42=2,解得f=16,故x+y=16.
解析：
【分析】
要求x+y的值，首先明确x是三角形面的个数，y是八边形面的个数，因此x+y就是该多面体的总面数f，所以问题转化为求f的值。根据题干给出的欧拉公式v+f-e=2，已知顶点数v=28，只需先求出棱数e即可代入公式计算f。计算棱数时要注意：每个顶点有3条棱，但每条棱连接2个顶点，会被重复计数1次，因此总棱数需要用“顶点数×每个顶点的棱数÷2”计算。
【解析】
第一步：计算总棱数e
已知有28个顶点，每个顶点有3条棱，每条棱对应2个顶点，因此总棱数：
$e = \frac{28 × 3}{2} = 42$
第二步：代入欧拉公式求面数f
根据欧拉公式$v + f - e = 2$，将$v=28$，$e=42$代入得：
$28 + f - 42 = 2$
解得：$f = 2 + 42 - 28 = 16$
第三步：确定x+y的值
因为该多面体面只有三角形和八边形两类，所以总面数$f = x + y$，即$x + y = 16$。
【答案】
16
【知识点】
欧拉定理，多面体棱数计算，一元一次方程应用
【点评】
本题以经典的欧拉定理为背景，考查对多面体各元素数量关系的理解与应用，解题核心是准确计算总棱数，同时能建立面数与两类多边形个数的对应关系，注重考查信息提取和公式应用能力。
【难度系数】
0.7
要求x+y的值，首先明确x是三角形面的个数，y是八边形面的个数，因此x+y就是该多面体的总面数f，所以问题转化为求f的值。根据题干给出的欧拉公式v+f-e=2，已知顶点数v=28，只需先求出棱数e即可代入公式计算f。计算棱数时要注意：每个顶点有3条棱，但每条棱连接2个顶点，会被重复计数1次，因此总棱数需要用“顶点数×每个顶点的棱数÷2”计算。
【解析】
第一步：计算总棱数e
已知有28个顶点，每个顶点有3条棱，每条棱对应2个顶点，因此总棱数：
$e = \frac{28 × 3}{2} = 42$
第二步：代入欧拉公式求面数f
根据欧拉公式$v + f - e = 2$，将$v=28$，$e=42$代入得：
$28 + f - 42 = 2$
解得：$f = 2 + 42 - 28 = 16$
第三步：确定x+y的值
因为该多面体面只有三角形和八边形两类，所以总面数$f = x + y$，即$x + y = 16$。
【答案】
16
【知识点】
欧拉定理，多面体棱数计算，一元一次方程应用
【点评】
本题以经典的欧拉定理为背景，考查对多面体各元素数量关系的理解与应用，解题核心是准确计算总棱数，同时能建立面数与两类多边形个数的对应关系，注重考查信息提取和公式应用能力。
【难度系数】
0.7
10.(2025·南京秦淮区期末)如图,四个几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱,三棱柱有5个面、9条棱、6个顶点,观察图形并填空.
(1)四棱柱有
(2)五棱柱有
(3)六棱柱有
(4)由此猜想n棱柱有
(1)四棱柱有
6
个面,12
条棱,8
个顶点;(2)五棱柱有
7
个面,15
条棱,10
个顶点;(3)六棱柱有
8
个面,18
条棱,12
个顶点;(4)由此猜想n棱柱有
(n+2)
个面,3n
条棱,2n
个顶点.答案：10.(1)6 12 8 (2)7 15 10
(3)8 18 12
(4)$(n+2)$ $3n$ $2n$
(3)8 18 12
(4)$(n+2)$ $3n$ $2n$
解析：
【分析】
我们先从已知的三棱柱特征入手分析：棱柱由2个完全相同的多边形底面和若干个长方形侧面组成。三棱柱底面是三角形，有3条边，对应有3个侧面，面数=侧面数+2个底面；棱分为上下底面的边和侧棱，上下底面各有3条棱、侧棱有3条，总棱数为3×3；顶点都在上下底面上，上下底面各3个顶点，总顶点数为3×2。按照这个逻辑，我们可以类比计算四、五、六棱柱的面、棱、顶点数量，再归纳出n棱柱的通用规律。
【解析】
(1) 四棱柱的底面是四边形，有4条边：
面数：4个侧面+2个底面=6个；
棱数：上下底面各4条+4条侧棱=4×3=12条；
顶点数：上下底面各4个=4×2=8个。
(2) 五棱柱的底面是五边形，有5条边：
面数：5+2=7个；
棱数：5×3=15条；
顶点数：5×2=10个。
(3) 六棱柱的底面是六边形，有6条边：
面数：6+2=8个；
棱数：6×3=18条；
顶点数：6×2=12个。
(4) 推广到底面为n边形的n棱柱：
面数：n个侧面+2个底面=(n+2)个；
棱数：上下底面各n条+n条侧棱=3n条；
顶点数：上下底面各n个=2n个。
【答案】
(1)6，12，8；(2)7，15，10；(3)8，18，12；(4)$(n+2)$，$3n$，$2n$
【知识点】
棱柱的特征，规律探究
【点评】
本题通过观察特殊棱柱的面、棱、顶点数量，归纳出一般棱柱的通用规律，核心是理解棱柱的构成，掌握从特殊到一般的归纳方法，属于基础类题型，熟练掌握棱柱的结构特征即可快速解答。
【难度系数】
0.85
我们先从已知的三棱柱特征入手分析：棱柱由2个完全相同的多边形底面和若干个长方形侧面组成。三棱柱底面是三角形，有3条边，对应有3个侧面，面数=侧面数+2个底面；棱分为上下底面的边和侧棱，上下底面各有3条棱、侧棱有3条，总棱数为3×3；顶点都在上下底面上，上下底面各3个顶点，总顶点数为3×2。按照这个逻辑，我们可以类比计算四、五、六棱柱的面、棱、顶点数量，再归纳出n棱柱的通用规律。
【解析】
(1) 四棱柱的底面是四边形，有4条边：
面数：4个侧面+2个底面=6个；
棱数：上下底面各4条+4条侧棱=4×3=12条；
顶点数：上下底面各4个=4×2=8个。
(2) 五棱柱的底面是五边形，有5条边：
面数：5+2=7个；
棱数：5×3=15条；
顶点数：5×2=10个。
(3) 六棱柱的底面是六边形，有6条边：
面数：6+2=8个；
棱数：6×3=18条；
顶点数：6×2=12个。
(4) 推广到底面为n边形的n棱柱：
面数：n个侧面+2个底面=(n+2)个；
棱数：上下底面各n条+n条侧棱=3n条；
顶点数：上下底面各n个=2n个。
【答案】
(1)6，12，8；(2)7，15，10；(3)8，18，12；(4)$(n+2)$，$3n$，$2n$
【知识点】
棱柱的特征，规律探究
【点评】
本题通过观察特殊棱柱的面、棱、顶点数量，归纳出一般棱柱的通用规律，核心是理解棱柱的构成，掌握从特殊到一般的归纳方法，属于基础类题型，熟练掌握棱柱的结构特征即可快速解答。
【难度系数】
0.85
11.一个正n棱柱，它有12条棱，一条侧棱长为10 cm，一条底面边长为6 cm.
(1)该棱柱是
(2)求棱柱的侧面积.
(1)该棱柱是
四
棱柱，它有6
个面，8
个顶点；(2)求棱柱的侧面积.
答案：11.(1)四 6 8
(2)解:这个正四棱柱的4个侧面都是长为10 cm,宽为6 cm的长方形，
所以这个棱柱的侧面积为$10×6×4=240(\mathrm{cm}^2)$.
(2)解:这个正四棱柱的4个侧面都是长为10 cm,宽为6 cm的长方形，
所以这个棱柱的侧面积为$10×6×4=240(\mathrm{cm}^2)$.
解析：
【分析】
解题前先明确正n棱柱的基本规律：正n棱柱的棱分为上下底面的棱和侧棱，总共有3n条；面由2个底面和n个侧面组成，共(n+2)个；顶点上下各n个，共2n个。解决第一问时，先根据总棱数求出n的值，再代入规律计算面和顶点的数量即可。第二问中，正棱柱的每个侧面都是长方形，长为侧棱长、宽为底面边长，先求单个侧面面积，再乘侧面的数量就能得到总侧面积。
【解析】
(1) 已知正n棱柱共有12条棱，根据正n棱柱总棱数为3n，列等式：$3n=12$，解得$n=4$，因此该棱柱是四棱柱。
面的数量：$4+2=6$（个）
顶点的数量：$2×4=8$（个）
(2) 该正四棱柱有4个完全相同的侧面，每个侧面都是长10cm、宽6cm的长方形。
单个侧面面积：$10×6=60(\mathrm{cm}^2)$
侧面积总和：$60×4=240(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) 四；6；8
(2) $240\mathrm{cm}^2$
【知识点】
棱柱的特征；侧面积计算
【点评】
本题是立体几何的基础题型，主要考查对棱柱基本构成规律的掌握，以及简单的侧面积计算，只要熟记棱柱棱、面、顶点和n的对应关系，就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
解题前先明确正n棱柱的基本规律：正n棱柱的棱分为上下底面的棱和侧棱，总共有3n条；面由2个底面和n个侧面组成，共(n+2)个；顶点上下各n个，共2n个。解决第一问时，先根据总棱数求出n的值，再代入规律计算面和顶点的数量即可。第二问中，正棱柱的每个侧面都是长方形，长为侧棱长、宽为底面边长，先求单个侧面面积，再乘侧面的数量就能得到总侧面积。
【解析】
(1) 已知正n棱柱共有12条棱，根据正n棱柱总棱数为3n，列等式：$3n=12$，解得$n=4$，因此该棱柱是四棱柱。
面的数量：$4+2=6$（个）
顶点的数量：$2×4=8$（个）
(2) 该正四棱柱有4个完全相同的侧面，每个侧面都是长10cm、宽6cm的长方形。
单个侧面面积：$10×6=60(\mathrm{cm}^2)$
侧面积总和：$60×4=240(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) 四；6；8
(2) $240\mathrm{cm}^2$
【知识点】
棱柱的特征；侧面积计算
【点评】
本题是立体几何的基础题型，主要考查对棱柱基本构成规律的掌握，以及简单的侧面积计算，只要熟记棱柱棱、面、顶点和n的对应关系，就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
12.如图所示的玩具是由两个正方体木块用胶水黏合而成的，它们的棱长分别为10 cm和20 cm.为了美观，现在要在其表面喷涂油漆(不包括黏合处)，已知喷涂100 cm²需要油漆5 g，那么喷涂这个玩具共需油漆多少克？
答案：12.解:玩具的表面积为$6×(20×20)+4×(10×10)=2800(\mathrm{cm}^2)$，
所以喷涂这个玩具共需油漆$2800÷100×5=140(\mathrm{g})$.
所以喷涂这个玩具共需油漆$2800÷100×5=140(\mathrm{g})$.
解析：
【分析】
要计算喷涂玩具所需的油漆质量，首先需要求出玩具需要喷漆的总面积。观察组合体结构：两个正方体粘合后，小正方体的底面、大正方体上表面与小正方体接触的部分都被遮挡，不需要喷漆。计算时可以简化思路：大正方体上表面被遮挡的部分恰好和小正方体的上表面抵消，因此大正方体可以按完整6个面计算表面积，再加上小正方体露在外面的4个侧面的面积，就能得到总喷漆面积，再结合每100cm²需5g油漆的条件，即可算出总油漆质量。
【解析】
1. 计算玩具的喷漆总面积：
大正方体的表面积为 $6×20×20=2400(\mathrm{cm}^2)$
小正方体露在外部的4个侧面总面积为 $4×10×10=400(\mathrm{cm}^2)$
总喷漆面积为 $2400+400=2800(\mathrm{cm}^2)$
2. 计算所需油漆质量：
每$100\mathrm{cm}^2$需要油漆5g，因此总油漆质量为 $2800÷100×5=140(\mathrm{g})$
【答案】
140g
【知识点】
正方体表面积计算，组合体表面积计算，实际应用问题
【点评】
本题重点考察组合立体图形的表面积计算，解题核心是准确判断粘合后被遮挡不需要喷漆的面，避免多算或漏算面的面积，只要理清暴露在外的面的数量即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要计算喷涂玩具所需的油漆质量，首先需要求出玩具需要喷漆的总面积。观察组合体结构：两个正方体粘合后，小正方体的底面、大正方体上表面与小正方体接触的部分都被遮挡，不需要喷漆。计算时可以简化思路：大正方体上表面被遮挡的部分恰好和小正方体的上表面抵消，因此大正方体可以按完整6个面计算表面积，再加上小正方体露在外面的4个侧面的面积，就能得到总喷漆面积，再结合每100cm²需5g油漆的条件，即可算出总油漆质量。
【解析】
1. 计算玩具的喷漆总面积：
大正方体的表面积为 $6×20×20=2400(\mathrm{cm}^2)$
小正方体露在外部的4个侧面总面积为 $4×10×10=400(\mathrm{cm}^2)$
总喷漆面积为 $2400+400=2800(\mathrm{cm}^2)$
2. 计算所需油漆质量：
每$100\mathrm{cm}^2$需要油漆5g，因此总油漆质量为 $2800÷100×5=140(\mathrm{g})$
【答案】
140g
【知识点】
正方体表面积计算，组合体表面积计算，实际应用问题
【点评】
本题重点考察组合立体图形的表面积计算，解题核心是准确判断粘合后被遮挡不需要喷漆的面，避免多算或漏算面的面积，只要理清暴露在外的面的数量即可顺利解答。
【难度系数】
0.7