7.下列说法:①连接A,B两点的线段叫作A,B两点的距离;②画出A,B两点的距离;③连接A,B两点的所有线中最短的一条的长度叫作A,B两点的距离;④线段AB的长度叫作A,B两点的距离.其中正确的是 (
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
D
)A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
答案：7.D
解析：
【分析】
解题时首先要明确两点间距离的核心定义：两点之间的距离指的是两点之间线段的长度，是一个数值，而非线段这个图形本身，同时结合“两点之间，线段最短”的性质逐一判断四个说法的正误即可。
【解析】
先明确两点间距离的定义：连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离，且两点之间所有连线中，线段最短。
对四个说法逐一判断：
①连接A、B两点的线段是几何图形，距离是线段的长度（数值），二者概念不同，故①错误；
②距离是长度数值，无法直接画出，能画出的是线段AB这个图形，故②错误；
③连接A、B两点的所有线中，线段最短，这条最短线段的长度就是A、B两点的距离，故③正确；
④根据两点间距离的定义，线段AB的长度就是A、B两点的距离，故④正确。
综上，③④正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1.两点间的距离
2.线段的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是容易混淆“线段”这个几何图形和“线段的长度”这个数值概念，只有准确把握距离是“长度”这一核心属性，才能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确两点间距离的核心定义：两点之间的距离指的是两点之间线段的长度，是一个数值，而非线段这个图形本身，同时结合“两点之间，线段最短”的性质逐一判断四个说法的正误即可。
【解析】
先明确两点间距离的定义：连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离，且两点之间所有连线中，线段最短。
对四个说法逐一判断：
①连接A、B两点的线段是几何图形，距离是线段的长度（数值），二者概念不同，故①错误；
②距离是长度数值，无法直接画出，能画出的是线段AB这个图形，故②错误；
③连接A、B两点的所有线中，线段最短，这条最短线段的长度就是A、B两点的距离，故③正确；
④根据两点间距离的定义，线段AB的长度就是A、B两点的距离，故④正确。
综上，③④正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1.两点间的距离
2.线段的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是容易混淆“线段”这个几何图形和“线段的长度”这个数值概念，只有准确把握距离是“长度”这一核心属性，才能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
8.(2025·遂宁)如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿AC剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（
B
）答案：8.B
解析：
【分析】
要解决圆柱侧面上蚂蚁爬行的最短路线问题，首先要把立体的侧面转化为平面图形：将圆柱侧面沿AC剪开得到长方形，根据“两点之间，线段最短”，只需确定C、B两点在展开图中的位置，连接两点的线段就是最短路线。首先明确展开后长方形的水平边长是底面周长，竖直边长是圆柱的高AC；因为AB是底面直径，所以B点在展开图中位于长方形上边的中点（直径对应的底面弧长是半周长，即长方形水平边长的一半），连接左下角的C和上边中点B的线段即为所求，对应选项即可判断。
【解析】
1. 解决立体图形表面的最短路径问题，需先将立体表面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”求解。
2. 沿AC剪开圆柱侧面，得到长方形：长方形的竖直边长等于圆柱的高AC，水平边长等于圆柱底面的周长。
3. 已知AB是底面直径，因此底面圆周上从A到B的弧长为底面半周长，即展开后B点位于长方形上边的中点位置。
4. 连接位于长方形左下角的C点和上边中点B，所得线段就是最短爬行路线，对比选项可知B项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
两点之间线段最短；圆柱侧面展开图；最短路径求解
【点评】
本题考查利用平面图形的性质解决立体图形的最短路径问题，解题的关键是准确判断目标点在展开图中的位置，避免误将B点认作展开图的右上角，结合线段的性质即可快速判断。
【难度系数】
0.7
要解决圆柱侧面上蚂蚁爬行的最短路线问题，首先要把立体的侧面转化为平面图形：将圆柱侧面沿AC剪开得到长方形，根据“两点之间，线段最短”，只需确定C、B两点在展开图中的位置，连接两点的线段就是最短路线。首先明确展开后长方形的水平边长是底面周长，竖直边长是圆柱的高AC；因为AB是底面直径，所以B点在展开图中位于长方形上边的中点（直径对应的底面弧长是半周长，即长方形水平边长的一半），连接左下角的C和上边中点B的线段即为所求，对应选项即可判断。
【解析】
1. 解决立体图形表面的最短路径问题，需先将立体表面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”求解。
2. 沿AC剪开圆柱侧面，得到长方形：长方形的竖直边长等于圆柱的高AC，水平边长等于圆柱底面的周长。
3. 已知AB是底面直径，因此底面圆周上从A到B的弧长为底面半周长，即展开后B点位于长方形上边的中点位置。
4. 连接位于长方形左下角的C点和上边中点B，所得线段就是最短爬行路线，对比选项可知B项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
两点之间线段最短；圆柱侧面展开图；最短路径求解
【点评】
本题考查利用平面图形的性质解决立体图形的最短路径问题，解题的关键是准确判断目标点在展开图中的位置，避免误将B点认作展开图的右上角，结合线段的性质即可快速判断。
【难度系数】
0.7
9.有下列三个生活、生产现象:①打靶的时候,眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上;②把弯曲的公路改直能缩短路程;③植树时只要定出两棵树的位置,就能确定同一行树所在的直线.其中可用“两点之间,线段最短”来解释的现象是
②
.(填序号)答案：9.②
解析：
【分析】
首先我们要明确两个基础几何基本事实的适用场景：“两点确定一条直线”用来解释和“确定直线位置”相关的现象，“两点之间，线段最短”用来解释和“缩短路径长度”相关的现象。我们只要逐个分析三个现象分别对应哪个原理，就能选出符合要求的选项。
【解析】
对三个现象逐一分析：
1. 现象①：打靶时眼睛、准星、靶心在同一条直线上，是利用了“两点确定一条直线”，准星和靶心两个点确定唯一的直线，以此保证瞄准，不符合“两点之间，线段最短”的原理。
2. 现象②：把弯曲的公路改直能缩短路程，是因为公路的起点和终点可看作两个点，改直后路径变为两点之间的线段，根据“两点之间，线段最短”，所以路程更短，符合要求。
3. 现象③：定出两棵树的位置就能确定同一行树所在的直线，是利用了“两点确定一条直线”，两棵树的位置确定唯一的直线，其余树都在这条直线上即可，不符合要求。
综上，可用“两点之间，线段最短”解释的是②。
【答案】
②
【知识点】
两点之间线段最短；两点确定一条直线
【点评】
本题考查几何基本事实的实际应用，解题核心是区分两个易混基本事实的适用场景，涉及确定直线方向、位置的场景用“两点确定一条直线”，涉及缩短路程、路径最短的场景用“两点之间，线段最短”。
【难度系数】
0.8
首先我们要明确两个基础几何基本事实的适用场景：“两点确定一条直线”用来解释和“确定直线位置”相关的现象，“两点之间，线段最短”用来解释和“缩短路径长度”相关的现象。我们只要逐个分析三个现象分别对应哪个原理，就能选出符合要求的选项。
【解析】
对三个现象逐一分析：
1. 现象①：打靶时眼睛、准星、靶心在同一条直线上，是利用了“两点确定一条直线”，准星和靶心两个点确定唯一的直线，以此保证瞄准，不符合“两点之间，线段最短”的原理。
2. 现象②：把弯曲的公路改直能缩短路程，是因为公路的起点和终点可看作两个点，改直后路径变为两点之间的线段，根据“两点之间，线段最短”，所以路程更短，符合要求。
3. 现象③：定出两棵树的位置就能确定同一行树所在的直线，是利用了“两点确定一条直线”，两棵树的位置确定唯一的直线，其余树都在这条直线上即可，不符合要求。
综上，可用“两点之间，线段最短”解释的是②。
【答案】
②
【知识点】
两点之间线段最短；两点确定一条直线
【点评】
本题考查几何基本事实的实际应用，解题核心是区分两个易混基本事实的适用场景，涉及确定直线方向、位置的场景用“两点确定一条直线”，涉及缩短路程、路径最短的场景用“两点之间，线段最短”。
【难度系数】
0.8
10.往返于A，B两地的客车，中途停靠四个站（任意两站之间距离不等），共有
15
种不同的票价，要准备30
种车票。答案：10.15 30
解析：
【分析】
解题时首先明确总站点数量：往返A、B两地，加上中途4个停靠站，总共有6个站点。首先思考票价的计数规则：由于任意两站之间距离不等，每两个站点之间的路段对应唯一一种票价，和车辆行驶方向无关，因此不同票价的总数等价于6个站点间线段的总条数。再思考车票的计数规则：车票需要区分出发站和到达站，同一路段往返对应两种不同的车票，因此车票总数是线段总条数的2倍。
【解析】
第一步：计算总站点数：起止站2个+中途停靠站4个=6个站。
第二步：计算不同票价的数量：票价与行驶方向无关，对应6个点的线段总数。根据线段计数公式，n个点之间的线段总数为$\frac{n(n-1)}{2}$，代入n=6得：
$\frac{6×(6-1)}{2}=15$（种）
第三步：计算车票总种类：车票需区分往返方向，每一条线段对应2种不同车票，因此总车票数为：
$15×2=30$（种）
【答案】
15；30
【知识点】
线段计数；实际问题应用
【点评】
本题是线段计数在生活中的典型应用，解题关键是明确两类计数对象的规则差异：票价无方向，按线段计数即可；车票有方向，需要在线段计数基础上乘2，避免混淆规则导致错算。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确总站点数量：往返A、B两地，加上中途4个停靠站，总共有6个站点。首先思考票价的计数规则：由于任意两站之间距离不等，每两个站点之间的路段对应唯一一种票价，和车辆行驶方向无关，因此不同票价的总数等价于6个站点间线段的总条数。再思考车票的计数规则：车票需要区分出发站和到达站，同一路段往返对应两种不同的车票，因此车票总数是线段总条数的2倍。
【解析】
第一步：计算总站点数：起止站2个+中途停靠站4个=6个站。
第二步：计算不同票价的数量：票价与行驶方向无关，对应6个点的线段总数。根据线段计数公式，n个点之间的线段总数为$\frac{n(n-1)}{2}$，代入n=6得：
$\frac{6×(6-1)}{2}=15$（种）
第三步：计算车票总种类：车票需区分往返方向，每一条线段对应2种不同车票，因此总车票数为：
$15×2=30$（种）
【答案】
15；30
【知识点】
线段计数；实际问题应用
【点评】
本题是线段计数在生活中的典型应用，解题关键是明确两类计数对象的规则差异：票价无方向，按线段计数即可；车票有方向，需要在线段计数基础上乘2，避免混淆规则导致错算。
【难度系数】
0.7
11.根据下列语句，分别画出图形：
(1)直线a，b相交于点P；
(2)点A在直线l上，点B，C在直线l的两侧，连接BC交直线l于点D；
(3)点P在直线l外，过点P的直线a，b分别与直线l相交于点A，B。
(1)直线a，b相交于点P；
(2)点A在直线l上，点B，C在直线l的两侧，连接BC交直线l于点D；
(3)点P在直线l外，过点P的直线a，b分别与直线l相交于点A，B。
答案：
11.解:(1)如答图①所示.
(2)如答图②所示.
(3)如答图③所示.
11.解:(1)如答图①所示.
(2)如答图②所示.
(3)如答图③所示.
解析：
【分析】
这是将几何文字语句转化为图形的基础作图题，解题时逐句拆解语句中的几何元素和位置关系即可：①首先明确作图元素为两条直线a、b，位置关系是相交，交点为P，作图时先画两条交叉直线，再依次标注对应字母即可；②先确定直线l，点A在l上，B、C分别在l的两侧，连接BC得到的线段和l的交点为D，按顺序先画l，再确定各点位置，最后连接BC标注交点即可；③先确定直线l和线外点P，过P作两条直线a、b，分别和l交于A、B，按顺序作图标注对应字母即可，注意直线可无限延伸，不要错画成线段。
【解析】
(1) 作两条互相交叉的直线，将交点标注为P，两条直线分别标注为a、b，即可得到符合要求的图形；
(2) 先作一条直线标注为l，在直线l上任取一点标注为A，在直线l的一侧取点B，另一侧取点C，用线段连接点B和点C，将线段BC与直线l的交点标注为D，即可得到符合要求的图形；
(3) 先作一条直线标注为l，在直线l外任意取一点标注为P，过点P作两条不同的直线，分别标注为a、b，将直线a与直线l的交点标注为A，直线b与直线l的交点标注为B，即可得到符合要求的图形。
【答案】
11.解:(1)如答图①所示.
(2)如答图②所示.
(3)如答图③所示.
【知识点】
直线的表示，点线位置关系，基础几何作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心考查将文字描述的几何关系转化为图形的能力，要求准确理解直线、相交、点与直线的位置等基础几何概念，是学习后续几何知识的必备基础。
【难度系数】
0.9
这是将几何文字语句转化为图形的基础作图题，解题时逐句拆解语句中的几何元素和位置关系即可：①首先明确作图元素为两条直线a、b，位置关系是相交，交点为P，作图时先画两条交叉直线，再依次标注对应字母即可；②先确定直线l，点A在l上，B、C分别在l的两侧，连接BC得到的线段和l的交点为D，按顺序先画l，再确定各点位置，最后连接BC标注交点即可；③先确定直线l和线外点P，过P作两条直线a、b，分别和l交于A、B，按顺序作图标注对应字母即可，注意直线可无限延伸，不要错画成线段。
【解析】
(1) 作两条互相交叉的直线，将交点标注为P，两条直线分别标注为a、b，即可得到符合要求的图形；
(2) 先作一条直线标注为l，在直线l上任取一点标注为A，在直线l的一侧取点B，另一侧取点C，用线段连接点B和点C，将线段BC与直线l的交点标注为D，即可得到符合要求的图形；
(3) 先作一条直线标注为l，在直线l外任意取一点标注为P，过点P作两条不同的直线，分别标注为a、b，将直线a与直线l的交点标注为A，直线b与直线l的交点标注为B，即可得到符合要求的图形。
【答案】
11.解:(1)如答图①所示.
(2)如答图②所示.
(3)如答图③所示.
【知识点】
直线的表示，点线位置关系，基础几何作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心考查将文字描述的几何关系转化为图形的能力，要求准确理解直线、相交、点与直线的位置等基础几何概念，是学习后续几何知识的必备基础。
【难度系数】
0.9
12.平面上有$n(n≥3)$个点，其中任意三个点都不在同一条直线上，过其中两点画一条直线.
(1)分别取$n=3,4,5$，画出满足条件的直线，并写出$n$取不同值时所画直线的条数；
(2)根据(1)的结论，你能猜想当平面上有$n(n≥3)$个点，且任意三点都不在同一条直线上时，一共可以画多少条直线吗？
(1)分别取$n=3,4,5$，画出满足条件的直线，并写出$n$取不同值时所画直线的条数；
(2)根据(1)的结论，你能猜想当平面上有$n(n≥3)$个点，且任意三点都不在同一条直线上时，一共可以画多少条直线吗？
答案：
12.解:(1)如答图所示. 当n=3时,可以画3条直线;当n=4时,可以画6条直线;当n=5时,可以画10条直线.
(2)一共可以画$\frac{n(n-1)}{2}$条直线.
12.解:(1)如答图所示. 当n=3时,可以画3条直线;当n=4时,可以画6条直线;当n=5时,可以画10条直线.
(2)一共可以画$\frac{n(n-1)}{2}$条直线.
解析：
【分析】
(1) 解决第一问时，依据“两点确定一条直线”的性质，对n=3、4、5的情况分别连线计数即可：因为任意三点不共线，每两个点之间有且仅有1条直线，数出所有不重复的直线数量即可得到对应结果。
(2) 解决第二问时，可从计数逻辑推导通用规律：每个点可以和除自身外的其余(n-1)个点各画1条直线，n个点初步计算共得到n(n-1)条，但每条直线会被它的两个端点各计算1次，存在重复计数，因此实际数量要除以2，即可得到通用公式。
【解析】
(1) 按照要求连线：
当n=3时，3个点两两连线，无重复，共可画3条直线；
当n=4时，4个点两两连线，剔除重复计数的情况，共可画6条直线；
当n=5时，5个点两两连线，剔除重复计数的情况，共可画10条直线。
(2) 推导通用规律：
平面内有n个点，每个点都能和剩下的(n-1)个点画出1条直线，初步计算总条数为$n(n-1)$；
由于每一条直线都被它的两个端点各计算了1次，相当于每条直线都被重复计数1次，因此实际直线总条数为$\frac{n(n-1)}{2}$。
【答案】
(1)如答图所示.
当n=3时，可以画3条直线；当n=4时，可以画6条直线；当n=5时，可以画10条直线.
(2)一共可以画$\frac{n(n-1)}{2}$条直线.
【知识点】
1. 两点确定一条直线
2. 直线计数规律
3. 归纳推理
【点评】
本题是直线性质的规律探究题，既考查了对直线基本性质的掌握，也锻炼了从特殊案例推导一般规律的思维能力，解题时要注意规避计数时的重复计算问题，是几何计数类的基础典型题。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问时，依据“两点确定一条直线”的性质，对n=3、4、5的情况分别连线计数即可：因为任意三点不共线，每两个点之间有且仅有1条直线，数出所有不重复的直线数量即可得到对应结果。
(2) 解决第二问时，可从计数逻辑推导通用规律：每个点可以和除自身外的其余(n-1)个点各画1条直线，n个点初步计算共得到n(n-1)条，但每条直线会被它的两个端点各计算1次，存在重复计数，因此实际数量要除以2，即可得到通用公式。
【解析】
(1) 按照要求连线：
当n=3时，3个点两两连线，无重复，共可画3条直线；
当n=4时，4个点两两连线，剔除重复计数的情况，共可画6条直线；
当n=5时，5个点两两连线，剔除重复计数的情况，共可画10条直线。
(2) 推导通用规律：
平面内有n个点，每个点都能和剩下的(n-1)个点画出1条直线，初步计算总条数为$n(n-1)$；
由于每一条直线都被它的两个端点各计算了1次，相当于每条直线都被重复计数1次，因此实际直线总条数为$\frac{n(n-1)}{2}$。
【答案】
(1)如答图所示.
当n=3时，可以画3条直线；当n=4时，可以画6条直线；当n=5时，可以画10条直线.
(2)一共可以画$\frac{n(n-1)}{2}$条直线.
【知识点】
1. 两点确定一条直线
2. 直线计数规律
3. 归纳推理
【点评】
本题是直线性质的规律探究题，既考查了对直线基本性质的掌握，也锻炼了从特殊案例推导一般规律的思维能力，解题时要注意规避计数时的重复计算问题，是几何计数类的基础典型题。
【难度系数】
0.7