【分析】
解决这道题首先需要对含参数a的一元一次方程进行移项、合并同类项，将含未知数x的项合并到一起，用含a的代数式表示出方程的解x；再结合“解为正整数、a为整数”的条件，可知x的系数必须是常数项的正因数，由此即可求出整数a的取值。
【解析】
对原方程进行移项，将含x的项移到方程左边，常数项移到方程右边，移项要变号：
$ax - 3x = 1 + 4$
合并同类项得：
$(a - 3)x = 5$
当$a - 3 ≠ 0$即$a≠3$时，方程的解为$x = \frac{5}{a-3}$
因为方程的解x是正整数，a是整数，所以$a-3$是5的正因数
5的正因数有1和5，因此：
当$a - 3 = 1$时，解得$a = 4$，此时$x=\frac{5}{1}=5$，符合正整数要求；
当$a - 3 = 5$时，解得$a = 8$，此时$x=\frac{5}{5}=1$，符合正整数要求。
综上，整数a的值为4或8。
【答案】
4或8
【知识点】
1. 一元一次方程的解法 2. 整数解的应用
【点评】
本题考查含参数一元一次方程的整数解问题，解题关键是先通过解方程用参数表示出未知数，再结合解的限制条件推导参数的可能取值，求解时注意要保证未知数的系数不为0。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先观察已知的摆六边形的小棒数量规律：1个六边形需要6根小棒，每多摆1个六边形就增加5根小棒，由此可总结出摆n个六边形所需小棒数的通用表达式为$5n+1$。第一问直接将$n=5$代入表达式即可求解；第二问设可摆$x$个六边形，根据小棒总数列一元一次方程，用移项解方程的方法求出$x$的值即可。
【解析】
先推导摆$n$个六边形的小棒数规律：
摆1个六边形：$6=5×1+1$根
摆2个六边形：$11=5×2+1$根
摆3个六边形：$16=5×3+1$根
可得规律：摆$n$个六边形需要$(5n+1)$根小棒。
1. 计算摆5个六边形的小棒数：
将$n=5$代入$5n+1$，得$5×5+1=26$根。
2. 计算151根小棒可摆的六边形个数：
设151根小棒可摆$x$个六边形，列方程：
$5x+1=151$
移项得：$5x=151-1$
计算得：$5x=150$
系数化为1得：$x=30$
【答案】
26；30
【知识点】
图形规律探究，一元一次方程的应用
【点评】
本题需要先从已知的图形和数据中总结出通用数量规律，再结合规律列方程求解，既考查了规律探究能力，也考查了一元一次方程的解法，是很常见的结合类题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题为程序运算类题型，解题需结合输出结果逆向推导，分情况讨论运算次数：首先考虑单次运算直接得到输出结果的情况，再考虑多次运算后得到输出结果的情况，同时结合x为正整数的条件筛选符合要求的解。
【解析】
已知最后输出结果为11，分情况计算：
1. 单次运算即输出结果：
此时满足方程$2x+1=11$，
移项得：$2x=11-1$，
化简得：$2x=10$，
解得：$x=5$。
验证：输入$x=5$时，$2×5+1=11＞10$，符合输出条件，且5是正整数，有效。
2. 两次运算后输出结果：
说明第一次运算的结果不大于10，将其作为新的输入值运算后得到11，即第一次运算结果为5，因此满足方程$2x+1=5$，
移项得：$2x=5-1$，
化简得：$2x=4$，
解得：$x=2$。
验证：输入$x=2$时，$2×2+1=5≤10$，返回再次运算得$2×5+1=11＞10$，符合输出条件，且2是正整数，有效。
3. 若为三次运算后输出结果，则第一次运算结果为2，满足$2x+1=2$，解得$x=0.5$，不是正整数，不符合要求，舍去。
综上，符合条件的x的值为2或5。
【答案】
2或5
【知识点】
解一元一次方程，程序运算，分类讨论
【点评】
本题将程序运算和一元一次方程求解相结合，解题时要注意考虑多次运算的情况，避免漏解，同时要紧扣题目中x为正整数的限制条件，排除不符合的解。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 要求使$y_1$与$y_2$值相等的$x$，可直接根据题意令两个表达式相等，得到关于$x$的一元一次方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得到结果。
(2) 互为相反数的两个数之和为0，若$y_1$与$y_2$互为相反数，则满足$y_1+y_2=0$，代入两个表达式列出方程，通过解方程判断是否有解，即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意得：$2x+3=4-2x$
移项，得：$2x+2x=4-3$
合并同类项，得：$4x=1$
系数化为1，得：$x=\frac{1}{4}$
所以当$x=\frac{1}{4}$时，$y_1$与$y_2$的值相等。
(2) 不存在。理由：
由互为相反数的性质得：$y_1+y_2=0$，代入表达式可得：
$2x+3+4-2x=0$
合并同类项后得：$7=0$，该等式不成立，即此方程无解。
所以不存在$x$的值，使$y_1$与$y_2$的值互为相反数。
【答案】
(1) $x=\frac{1}{4}$；(2) 不存在，所列方程无解。
【知识点】
解一元一次方程，相反数的性质，列方程求解
【点评】
本题侧重考察基础知识点的应用，将函数值的等量关系转化为一元一次方程是解题的关键，整体难度较低，掌握基本概念和解一元一次方程的步骤即可顺利得分。
【难度系数】
0.85

【分析】
首先明确数表排列规律：每行共9个正整数，从左到右依次递增1，同列上下行数值差为9，以此为基础逐个分析问题：
(1) 先计算前3行的总个数，推出第4行首数，再推导第6个数即可；
(2) 用2026除以9，根据商和余数判断所在的行与列；
(3) 观察T型格子的数的关系，设最小数为x，用含x的代数式表示另外3个数，根据和为113列方程求解，再验证x的位置是否符合T型摆放要求；
(4) 前m-1行共有$9(m-1)$个数，第m行第n个数就是前m-1行总个数加列数n。
【解析】
(1) 前3行总共有$3×9=27$个数，因此第4行第1个数是28，第4行第6个数为$28+(6-1)=33$，即$P_{4,6}=33$。
(2) 计算$2026÷9=225······1$，说明前225行刚好填满2025个数，2026是第226行的第1个数，因此$m=226$，$n=1$。
(3) 解：能。
设4个数中最小的数为$x$，观察T型结构可知，另外三个数分别为$x+1$、$x+2$、$x+1+9=x+10$。
根据4个数之和为113列方程：
$x+(x+1)+(x+2)+(x+10)=113$
合并同类项得$4x+13=113$
移项计算得$4x=100$
解得$x=25$
验证：25是第3行第7个数，右侧存在26、27两个数，可摆放T型格子，符合要求。
因此所覆盖的4个数之和能等于113，其中最小数为25。
(4) 前$m-1$行共有$9(m-1)$个正整数，因此第$m$行第$n$个数为$9(m-1)+n$，即$P_{m,n}=9(m-1)+n$。
【答案】
(1)$33$；(2)$226$，$1$；(3)能，最小数为$25$；(4)$9(m-1)+n$
【知识点】
数表规律探究，一元一次方程的应用，列代数式
【点评】
本题是规律探究类综合题，解题核心是先掌握数表的排列规则，再结合规则列代数式或方程求解，涉及图形覆盖数的问题时要注意验证所求数值的位置是否符合图形的摆放要求。
【难度系数】
0.7