1.如图,点O在直线AE上,OC平分∠AOE,OB平分∠AOC,OD平分∠COE,图中互余的角有x对,互补的角有y对,则x+y的值为 (
A.16
B.17
C.18
D.20
B
)A.16
B.17
C.18
D.20
答案：1.B 点拨:因为点O在直线AE上,所以∠AOE=180°.因为OC平分∠AOE,所以∠AOC=∠COE=90°.同理,∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=45°,所以∠AOB+∠BOC=90°,∠AOB+∠COD=90°,∠AOB+∠DOE=90°,∠BOC+∠COD=90°,∠BOC+∠DOE=90°,∠COD+∠DOE=90°,所以共有6对互余的角,从而x=6.易知∠AOD=∠BOE=135°,从而∠AOB,∠BOC,∠COD,∠DOE与这两个角中的任意一个角都互补,共有8对,又两个直角互补,得∠AOC,∠BOD,∠COE三个角中两两互补,共有3对互补的角,于是y=8+3=11,所以x+y=6+11=17.
2.若$∠ α$与$∠ β$互余，$∠ α$与$∠ \gamma$互补，$∠ β$与$∠ \gamma$的和等于周角的$\frac{1}{3}$，则$∠ α +∠ β +∠ \gamma=$
195°
.答案：2. 195° 点拨:由题意,得∠α+∠β=90°,∠α+∠γ=180°,∠β+∠γ=120°,三式相加,得2∠α+2∠β+2∠γ=390°,故∠α+∠β+∠γ=195°.
3.(2024·宿城期末)如图①,将一块直角三角尺的直角顶点O放置于直线MN上,其中∠AOB=90°,然后将三角尺AOB绕点O顺时针旋转,设∠AOM=α,从点O引射线OC和OD,OC平分∠BON,∠BOD=$\frac{1}{3}$∠MOB.
(1)如图②,当α=30°时,∠CON=
(2)如图②,当0°＜α＜90°时,求∠COD的度数(用含α的代数式表示);
(3)如图③,当90°＜α＜180°时,请判断∠COD−$\frac{1}{6}$∠BON的值是否为定值.若为定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
(1)如图②,当α=30°时,∠CON=
30
°;(2)如图②,当0°＜α＜90°时,求∠COD的度数(用含α的代数式表示);
(3)如图③,当90°＜α＜180°时,请判断∠COD−$\frac{1}{6}$∠BON的值是否为定值.若为定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
答案：3.(1)30
(2)解:当0°＜α＜90°时,
因为∠AOM=α,∠AOB=90°,
所以∠BON=∠MON-∠AOM-∠AOB=180°-α-90°=90°-α.
因为OC平分∠BON,所以∠BOC=$\frac{1}{2}$(90°-α).
因为∠MOB=∠MOA+∠AOB=90°+α,
所以∠BOD=$\frac{1}{3}$(90°+α),
所以∠COD=∠BOD+∠BOC=$\frac{1}{3}$(90°+α)+$\frac{1}{2}$(90°-α)=75°-$\frac{1}{6}$α.
(3)解:∠COD−$\frac{1}{6}$∠BON的值是定值.当90°＜α＜180°时,
因为∠BOM=360°-90°-α=270°-α,
所以∠BOD=$\frac{1}{3}$∠BOM=$\frac{1}{3}$(270°-α)=90°-$\frac{1}{3}$α.
因为OC平分∠BON,∠BON=90°+α-180°=α-90°,
所以∠COB=$\frac{1}{2}$∠BON=$\frac{1}{2}$(α-90°)=$\frac{1}{2}$α-45°,
所以∠COD = ∠BOD + ∠COB = (90°−$\frac{1}{3}$α) + ($\frac{1}{2}$α−45°)=$\frac{1}{6}$α+45°.
所以∠COD−$\frac{1}{6}$∠BON=($\frac{1}{6}$α+45°)−$\frac{1}{6}$(α−90°)=60°.
(2)解:当0°＜α＜90°时,
因为∠AOM=α,∠AOB=90°,
所以∠BON=∠MON-∠AOM-∠AOB=180°-α-90°=90°-α.
因为OC平分∠BON,所以∠BOC=$\frac{1}{2}$(90°-α).
因为∠MOB=∠MOA+∠AOB=90°+α,
所以∠BOD=$\frac{1}{3}$(90°+α),
所以∠COD=∠BOD+∠BOC=$\frac{1}{3}$(90°+α)+$\frac{1}{2}$(90°-α)=75°-$\frac{1}{6}$α.
(3)解:∠COD−$\frac{1}{6}$∠BON的值是定值.当90°＜α＜180°时,
因为∠BOM=360°-90°-α=270°-α,
所以∠BOD=$\frac{1}{3}$∠BOM=$\frac{1}{3}$(270°-α)=90°-$\frac{1}{3}$α.
因为OC平分∠BON,∠BON=90°+α-180°=α-90°,
所以∠COB=$\frac{1}{2}$∠BON=$\frac{1}{2}$(α-90°)=$\frac{1}{2}$α-45°,
所以∠COD = ∠BOD + ∠COB = (90°−$\frac{1}{3}$α) + ($\frac{1}{2}$α−45°)=$\frac{1}{6}$α+45°.
所以∠COD−$\frac{1}{6}$∠BON=($\frac{1}{6}$α+45°)−$\frac{1}{6}$(α−90°)=60°.