10.(2026·南通如东县期末)如图，AB=9 cm，BC=12 cm，∠B=∠C。如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q从C点出发沿射线CD运动。若经过t秒后同时停止，当△ABP与△CQP全等时，则点Q的运动速度是
3或$\frac{9}{2}$
cm/s.答案：10.3或$\frac{9}{2}$
三、解答题(共50分)
11.(12分)(2025·广州)如图，$BA=BE$，$∠ 1=∠ 2$，$BC=BD$.求证:$△ ABC ≌ △ EBD$.
11.(12分)(2025·广州)如图，$BA=BE$，$∠ 1=∠ 2$，$BC=BD$.求证:$△ ABC ≌ △ EBD$.
答案：11.证明:$\because ∠1=∠2,\therefore ∠1+∠EBC=∠2+∠EBC,$
$\therefore ∠ABC=∠EBD.$
在$△ ABC$和$△ EBD$中,$\begin{cases} AB=EB,\\ ∠ABC=∠EBD,\\ BC=BD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ EBD(\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ABC=∠EBD.$
在$△ ABC$和$△ EBD$中,$\begin{cases} AB=EB,\\ ∠ABC=∠EBD,\\ BC=BD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ EBD(\mathrm{SAS}).$
12.(12分)如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，AB//FC，AD=FC，求证：DE=EF.
答案：12.证明:$\because AB// FC,\therefore ∠A=∠ECF,∠ADE=∠F.$
又$\because AD=CF,\therefore △ ADE≌△ CFE(\mathrm{ASA}),$
$\therefore DE=EF.$
又$\because AD=CF,\therefore △ ADE≌△ CFE(\mathrm{ASA}),$
$\therefore DE=EF.$
13.(12分)如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,点$D$在$BC$边上,$∠ DAE=90°$,$AD=AE$,连接$CE$.试探究$BD$与$CE$的关系,并说明理由.
答案：13.解:$BD=CE$且$BD⊥CE$.理由如下:
$\because ∠BAC=∠DAE=90°,$
$\therefore ∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC,$
$\therefore ∠BAD=∠CAE.$
在$△ BAD$和$△ CAE$中,$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ACE=∠B,BD=CE.$
$\because ∠BAC=90°,∴∠ACB+∠B=90°,$
$\therefore ∠ACB+∠ACE=90°,$
$\therefore ∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,$
$\therefore BD=CE$且$BD⊥CE.$
$\because ∠BAC=∠DAE=90°,$
$\therefore ∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC,$
$\therefore ∠BAD=∠CAE.$
在$△ BAD$和$△ CAE$中,$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ACE=∠B,BD=CE.$
$\because ∠BAC=90°,∴∠ACB+∠B=90°,$
$\therefore ∠ACB+∠ACE=90°,$
$\therefore ∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,$
$\therefore BD=CE$且$BD⊥CE.$
14.(14分)(2025·宿迁泗阳县致远期中)如图,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,点D在BC的延长线上(CD＜BC),连接AD,E为AC边上一点,且CE=CD,连接BE并延长交AD于点F.
(1)猜想BF与AD的位置关系,并说明理由;
(2)求∠CFD的度数.
(1)猜想BF与AD的位置关系,并说明理由;
(2)求∠CFD的度数.
答案：
14.解:(1)$BF⊥AD$,理由如下:
在$△ ACD$和$△ BCE$中,$\begin{cases} AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCE=90°,\\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS}),\therefore ∠DAC=∠EBC.$
$\because ∠DAC+∠D=90°,∴∠EBC+∠D=90°,$
$\therefore ∠BFD=90°,∴BF⊥AD.$
(2)如答图,延长$AD$至点$H$,使$AH=BF$,
由(1)知,$∠HAC=∠FBC.$
在$△ ACH$和$△ BCF$中,$\begin{cases} AH=BF,\\ ∠HAC=∠FBC,\\ AC=BC, \end{cases}$
$\therefore △ ACH≌△ BCF(\mathrm{SAS}),$
$\therefore CF=CH,∠ACH=∠BCF,$
$\therefore ∠ACH-∠ACF=∠BCF-∠ACF,$
$\therefore ∠ACB=∠FCH.$
$\because ∠ACB=90°,∴∠FCH=90°.$
$\because CF=CH,∴△ FCH$是等腰直角三角形,
$\therefore ∠AHC=∠CFH=45°,∴∠CFD$的度数为$45°.$
14.解:(1)$BF⊥AD$,理由如下:
在$△ ACD$和$△ BCE$中,$\begin{cases} AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCE=90°,\\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS}),\therefore ∠DAC=∠EBC.$
$\because ∠DAC+∠D=90°,∴∠EBC+∠D=90°,$
$\therefore ∠BFD=90°,∴BF⊥AD.$
(2)如答图,延长$AD$至点$H$,使$AH=BF$,
由(1)知,$∠HAC=∠FBC.$
在$△ ACH$和$△ BCF$中,$\begin{cases} AH=BF,\\ ∠HAC=∠FBC,\\ AC=BC, \end{cases}$
$\therefore △ ACH≌△ BCF(\mathrm{SAS}),$
$\therefore CF=CH,∠ACH=∠BCF,$
$\therefore ∠ACH-∠ACF=∠BCF-∠ACF,$
$\therefore ∠ACB=∠FCH.$
$\because ∠ACB=90°,∴∠FCH=90°.$
$\because CF=CH,∴△ FCH$是等腰直角三角形,
$\therefore ∠AHC=∠CFH=45°,∴∠CFD$的度数为$45°.$