7.(2025·宿迁泗阳县期中)如图,某小区的三栋单元楼分别位于$△ ABC$的三个顶点处,要在$△ ABC$内建一个快递站,并使快递站到每一栋单元楼的距离相等,则快递站应建在$△ ABC$的 (
A.三条角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条高所在直线的交点
D.三条中线的交点
B
)A.三条角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条高所在直线的交点
D.三条中线的交点
答案：7.B
8.如图,在△ABC中,边BC的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E,若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为
6
.答案：8.6
9.已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且$∠ ACB=50°$，$∠ ADB=90°$，则$∠ CAD=$
110°或20°
.答案：9.110°或20°
10.(2025·三门峡湖滨新区期末)如图,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在$AC,BC$边上,连接$AE,BD$交于点$F$,且$BD$垂直平分$AE$,连接$DE$.
(1)若$△ ABC$的周长为$22$,$△ DEC$的周长为$8$,求$AB$的长;
(2)若$∠ ABC=30°$,$∠ C=50°$,求$∠ CDE$的度数.
(1)若$△ ABC$的周长为$22$,$△ DEC$的周长为$8$,求$AB$的长;
(2)若$∠ ABC=30°$,$∠ C=50°$,求$∠ CDE$的度数.
答案：10.解:(1)
∵BD是线段AE的垂直平分线，
∴AB=BE,AD=DE.
∵△ABC的周长为22,△DEC的周长为8,
∴AB+BE+EC+CD+AD=22,
CD+EC+DE=CD+CE+AD=8,
∴AB+BE=22-8=14,
∴AB=$\frac{1}{2}$×14=7.
(2)由(1)知,BA=BE,
在△BAD和△BED中,$\begin{cases} BA=BE, \\ BD=BD, \\ DA=DE, \end{cases}$
∴△BAD≌△BED(SSS),
∴∠ADB=∠EDB,∠ABD=∠EBD.
∵∠ABC=30°,∠C=50°,
∴∠ABD=15°,
∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-30°-50°=100°,
∴∠ADB=∠EDB=180°-∠BAC-∠ABD=180°-100°-15°=65°,
∴∠CDE=180°-∠ADE=180°-2∠ADB=180°-2×65°=50°.
∵BD是线段AE的垂直平分线，
∴AB=BE,AD=DE.
∵△ABC的周长为22,△DEC的周长为8,
∴AB+BE+EC+CD+AD=22,
CD+EC+DE=CD+CE+AD=8,
∴AB+BE=22-8=14,
∴AB=$\frac{1}{2}$×14=7.
(2)由(1)知,BA=BE,
在△BAD和△BED中,$\begin{cases} BA=BE, \\ BD=BD, \\ DA=DE, \end{cases}$
∴△BAD≌△BED(SSS),
∴∠ADB=∠EDB,∠ABD=∠EBD.
∵∠ABC=30°,∠C=50°,
∴∠ABD=15°,
∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-30°-50°=100°,
∴∠ADB=∠EDB=180°-∠BAC-∠ABD=180°-100°-15°=65°,
∴∠CDE=180°-∠ADE=180°-2∠ADB=180°-2×65°=50°.
11.(2025·宿迁月考)如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求证:OE垂直平分BD.
答案：11.证明:在△AOB与△COD中,$\begin{cases} ∠A=∠C, \\ OA=OC, \\ ∠AOB=∠COD, \end{cases}$
∴△AOB≌△COD(ASA),
∴OB=OD,
∴点O在线段BD的垂直平分线上.
∵BE=DE,
∴点E在线段BD的垂直平分线上,
∴OE垂直平分BD.
∴△AOB≌△COD(ASA),
∴OB=OD,
∴点O在线段BD的垂直平分线上.
∵BE=DE,
∴点E在线段BD的垂直平分线上,
∴OE垂直平分BD.
12.(2025·宿迁期末)如图,在△ABC中,∠BAC=80°,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
(1)求∠PAQ的度数.
(2)若△APQ的周长为12,BC的长为8,求PQ的长.
(1)求∠PAQ的度数.
(2)若△APQ的周长为12,BC的长为8,求PQ的长.
答案：12.解:(1)
∵MP垂直平分AB,
∴∠PMA=∠PMB=90°,PA=PB.
在Rt△PMA与Rt△PMB中,$\begin{cases} PM=PM, \\ PA=PB, \end{cases}$
∴Rt△PMA≌Rt△PMB(HL),
∴∠MAP=∠B.
同理可得∠C=∠NAQ.
设∠PAQ=x,∠CAP=y,∠BAQ=z,
∴∠B=∠MAP=x+z,∠C=∠NAQ=x+y.
∵∠BAC=80°,
∴∠B+∠C=100°,
即x+y+z=80°,x+z+x+y=100°,
∴x=20°,
∴∠PAQ=20°.
(2)
∵△APQ的周长为12,
∴AQ+PQ+AP=12.
∵AQ=CQ,AP=PB,
∴CQ+PQ+PB=12,
即CQ+BQ+2PQ=12,BC+2PQ=12.
∵BC=8,
∴PQ=2.
∵MP垂直平分AB,
∴∠PMA=∠PMB=90°,PA=PB.
在Rt△PMA与Rt△PMB中,$\begin{cases} PM=PM, \\ PA=PB, \end{cases}$
∴Rt△PMA≌Rt△PMB(HL),
∴∠MAP=∠B.
同理可得∠C=∠NAQ.
设∠PAQ=x,∠CAP=y,∠BAQ=z,
∴∠B=∠MAP=x+z,∠C=∠NAQ=x+y.
∵∠BAC=80°,
∴∠B+∠C=100°,
即x+y+z=80°,x+z+x+y=100°,
∴x=20°,
∴∠PAQ=20°.
(2)
∵△APQ的周长为12,
∴AQ+PQ+AP=12.
∵AQ=CQ,AP=PB,
∴CQ+PQ+PB=12,
即CQ+BQ+2PQ=12,BC+2PQ=12.
∵BC=8,
∴PQ=2.