7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$BC=5$,$AC=3$,$AB=4$,$D$是$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线的交点,则点$D$到$BC$的距离为 (
A.1
B.2
C.3
D.3.5
A
)A.1
B.2
C.3
D.3.5
答案：7.A
8.(2025·南京一模)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$,外角$∠ EAC$的平分线$BP$,$AP$交于点$P$,$PM⊥ AB$,$PN⊥ BC$,垂足为$M$,$N$.若$∠ BAC=88°$,则$∠ BPC=$
44
$°$.答案：8.44
9.(2025·常州月考)如图,在$△ ABC$中,BD平分$∠ ABC$,CD平分$∠ ACB$,$DE⊥ AB$于点E.
(1)若$∠ A=70°$,求$∠ BDC$的度数;
(2)若$DE=4$,$BC=9$,求$△ BCD$的面积.
(1)若$∠ A=70°$,求$∠ BDC$的度数;
(2)若$DE=4$,$BC=9$,求$△ BCD$的面积.
答案：
9.解:(1)
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,
∴∠ABD=∠CBD,∠ACD=∠BCD.
∵∠A=70°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°,
∴∠DBC+∠DCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$×110°=55°,
∴∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-55°=125°.
(2)如答图,过点D作DF⊥BC于点F.
∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DE=DF.
∵DE=4,
∴DF=4.
∵BC=9,
∴$S_{△BCD}=\frac{1}{2} BC·DF=\frac{1}{2}×9×4=18$.
9.解:(1)
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,
∴∠ABD=∠CBD,∠ACD=∠BCD.
∵∠A=70°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°,
∴∠DBC+∠DCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$×110°=55°,
∴∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-55°=125°.
(2)如答图,过点D作DF⊥BC于点F.
∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DE=DF.
∵DE=4,
∴DF=4.
∵BC=9,
∴$S_{△BCD}=\frac{1}{2} BC·DF=\frac{1}{2}×9×4=18$.
10.(2025·南通期末)如图,在△ABC中,点D在BC边上,∠BAD=100°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作EF⊥AB,垂足为F,且∠AEF=50°,连接DE.
(1)求∠DAE的度数;
(2)求证:DE平分∠ADC;
(3)若AB=6,AD=4,CD=12,△ACD的面积是24,求△ABE的面积.
(1)求∠DAE的度数;
(2)求证:DE平分∠ADC;
(3)若AB=6,AD=4,CD=12,△ACD的面积是24,求△ABE的面积.
答案：
10.(1)解:
∵EF⊥AB,
∴∠F=90°.
∵∠AEF=50°,
∴∠BAE=∠F+∠AEF=90°+50°=140°.
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠BAD=100°,
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=140°-100°=40°.
(2)证明:如答图,过点E作EG⊥AD于点G,EH⊥BC于点H.
∵∠F=90°,∠AEF=50°,
∴∠EAF=180°-∠F-∠AEF=180°-90°-50°=40°.
由(1)可知,∠CAD=40°,
∴∠EAF=∠CAD=40°,
∴AE平分∠FAD.
∵EF⊥AF,EG⊥AD,
∴EF=EG.
∵BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC,
∴EF=EH,
∴EG=EH.
∵EG⊥AD,EH⊥BC,
∴DE平分∠ADC.
(3)解:
∵$S_{△ACD}=18$,
∴$S_{△ADE}+S_{△CDE}=24$,
∴$\frac{1}{2} AD·EG + \frac{1}{2} CD·EH=24$.
∵AD=4,CD=8,EG=EH,
∴$\frac{1}{2}×4×EH + \frac{1}{2}×12×EH=24$,
∴EH=3,
∴EF=3.
∵AB=6,
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2} AB·EF=\frac{1}{2}×6×3=9$.
10.(1)解:
∵EF⊥AB,
∴∠F=90°.
∵∠AEF=50°,
∴∠BAE=∠F+∠AEF=90°+50°=140°.
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠BAD=100°,
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=140°-100°=40°.
(2)证明:如答图,过点E作EG⊥AD于点G,EH⊥BC于点H.
∵∠F=90°,∠AEF=50°,
∴∠EAF=180°-∠F-∠AEF=180°-90°-50°=40°.
由(1)可知,∠CAD=40°,
∴∠EAF=∠CAD=40°,
∴AE平分∠FAD.
∵EF⊥AF,EG⊥AD,
∴EF=EG.
∵BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC,
∴EF=EH,
∴EG=EH.
∵EG⊥AD,EH⊥BC,
∴DE平分∠ADC.
(3)解:
∵$S_{△ACD}=18$,
∴$S_{△ADE}+S_{△CDE}=24$,
∴$\frac{1}{2} AD·EG + \frac{1}{2} CD·EH=24$.
∵AD=4,CD=8,EG=EH,
∴$\frac{1}{2}×4×EH + \frac{1}{2}×12×EH=24$,
∴EH=3,
∴EF=3.
∵AB=6,
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2} AB·EF=\frac{1}{2}×6×3=9$.