1. 一次函数$y=kx-2k+3(k≠0)$的图象过定点________；点$(a+1,2a-3)$一定在直线________上。
答案：1. $(2,3)\ \ y=2x-5$ 点拨:$\because y=kx-2k+3=k(x-2)+3$，
$\therefore$当$x=2$时，$y=3$，
$\therefore$直线$y=kx-2k+3$必过定点$(2,3)$。
$\because 2a-3=2(a+1)-5$，
$\therefore$点$(a+1,2a-3)$一定在直线$y=2x-5$上。
$\therefore$当$x=2$时，$y=3$，
$\therefore$直线$y=kx-2k+3$必过定点$(2,3)$。
$\because 2a-3=2(a+1)-5$，
$\therefore$点$(a+1,2a-3)$一定在直线$y=2x-5$上。
2.在平面直角坐标系$xOy$中，直线$y=-2x+2$与坐标轴交于点$A$和点$B$，$P(m+1,2m)$是平面内一点，且$m＜0$.若$△ ABP$的面积等于$6$，则$m$的值为
-3
.答案：
2. $-3$ 点拨:$\because$直线$y=-2x+2$与坐标轴交于点$A$和点$B$，
$\therefore$不妨设与$x$轴的交点为$A$，与$y$轴的交点为$B$，
$\therefore A(1,0),B(0,2)$。
$\because P(m+1,2m),\therefore$令$x=m+1,y=2m$,则$y=2(x-1)=2x-2$,即点$P$在直线$y=2x-2$上，作图如答图所示。设直线$AP$与$y$轴交点为$E$,$\therefore E(0,-2)$,$\therefore BE=4$。
$\because S_{△ ABP}=6＞2$,且$m＜0$,$\therefore$点$P$位于直线$AE$在第三象限的部分上，
$\therefore S_{△ ABP}=S_{△ BEP}+S_{△ BEA}=\frac{1}{2}BE· |x_P|+\frac{1}{2}BE· AO=\frac{1}{2}×4×(-m-1)+\frac{1}{2}×4×1=-2m-2+2=6$,
解得$m=-3$。
2. $-3$ 点拨:$\because$直线$y=-2x+2$与坐标轴交于点$A$和点$B$，
$\therefore$不妨设与$x$轴的交点为$A$，与$y$轴的交点为$B$，
$\therefore A(1,0),B(0,2)$。
$\because P(m+1,2m),\therefore$令$x=m+1,y=2m$,则$y=2(x-1)=2x-2$,即点$P$在直线$y=2x-2$上，作图如答图所示。设直线$AP$与$y$轴交点为$E$,$\therefore E(0,-2)$,$\therefore BE=4$。
$\because S_{△ ABP}=6＞2$,且$m＜0$,$\therefore$点$P$位于直线$AE$在第三象限的部分上，
$\therefore S_{△ ABP}=S_{△ BEP}+S_{△ BEA}=\frac{1}{2}BE· |x_P|+\frac{1}{2}BE· AO=\frac{1}{2}×4×(-m-1)+\frac{1}{2}×4×1=-2m-2+2=6$,
解得$m=-3$。
3. 如图，$A(4,0),B(0,4)$，点$P$在线段$AB$上运动，$PQ⊥ PO$且$PQ=PO$.
(1) 试说明点$Q$在某一确定的直线上；
(2) $M$是线段$OQ$的中点，当点$P$从点$A$运动到点$B$时，求点$M$运动的路径长.
(1) 试说明点$Q$在某一确定的直线上；
(2) $M$是线段$OQ$的中点，当点$P$从点$A$运动到点$B$时，求点$M$运动的路径长.
答案：
3. 解:(1)如答图，过点$P$作$CD⊥ y$轴于点$D$，过点$Q$作$QC⊥ CD$于点$C$，则点$Q$的横坐标为线段$CD$的长。
设$PD=m,DO=n$,则$P(m,n)$。
$\because A(4,0),B(0,4)$，
$\therefore$设直线$AB$的函数表达式为$y=kx+4$，
则$4k+4=0$,解得$k=-1$，
$\therefore$直线$AB$的函数表达式为$y=-x+4$，
$\therefore n=-m+4$,$\therefore m+n=4$。
$\because PD⊥ OD,PC⊥ CQ,OP⊥ PQ$，
$\therefore ∠ ODP=∠ PCQ=∠ OPQ=90°$，
$\therefore ∠ DOP+∠ DPO=∠ DPO+∠ CPQ=90°$，
$\therefore ∠ DOP=∠ CPQ$。
又$\because PQ=PO$,$\therefore △ ODP≌ △ PCQ(\mathrm{AAS})$,$\therefore PC=DO$。
$\because CD=CP+PD$,$\therefore CD=OD+PD=m+n=4$，
$\therefore$点$Q$的横坐标为4，
$\therefore$当点$P$在线段$AB$上运动时，点$Q$的横坐标始终为4，
$\therefore$点$Q$在确定的直线$x=4$上。
(2)由(1)知，当点$P(m,n)$在线段$AB$上运动时，点$Q$的横坐标为4，
由题意知$M$是线段$OQ$的中点，设$M(a,b)$,则$a=\frac{0+4}{2}=2$，
$\therefore$点$M$在直线$x=2$上。
当点$P$运动到与点$A$重合时，由答图可知，点$Q$与点$Q_2(4,-4)$重合，此时$a=2,b=\frac{0-4}{2}=-2$，
$\therefore$点$M$与点$M_2(2,-2)$重合。
同理，当点$P$运动到与点$B$重合时，点$M$与点$M_1(2,2)$重合。
$\therefore$当点$P$从点$A$运动到点$B$时，点$M$运动的路径长就是线段$M_1M_2$的长。
$\because M_1M_2=2-(-2)=4$，
$\therefore$点$P$从点$A$运动到点$B$时，点$M$运动的路径长为4。
3. 解:(1)如答图，过点$P$作$CD⊥ y$轴于点$D$，过点$Q$作$QC⊥ CD$于点$C$，则点$Q$的横坐标为线段$CD$的长。
设$PD=m,DO=n$,则$P(m,n)$。
$\because A(4,0),B(0,4)$，
$\therefore$设直线$AB$的函数表达式为$y=kx+4$，
则$4k+4=0$,解得$k=-1$，
$\therefore$直线$AB$的函数表达式为$y=-x+4$，
$\therefore n=-m+4$,$\therefore m+n=4$。
$\because PD⊥ OD,PC⊥ CQ,OP⊥ PQ$，
$\therefore ∠ ODP=∠ PCQ=∠ OPQ=90°$，
$\therefore ∠ DOP+∠ DPO=∠ DPO+∠ CPQ=90°$，
$\therefore ∠ DOP=∠ CPQ$。
又$\because PQ=PO$,$\therefore △ ODP≌ △ PCQ(\mathrm{AAS})$,$\therefore PC=DO$。
$\because CD=CP+PD$,$\therefore CD=OD+PD=m+n=4$，
$\therefore$点$Q$的横坐标为4，
$\therefore$当点$P$在线段$AB$上运动时，点$Q$的横坐标始终为4，
$\therefore$点$Q$在确定的直线$x=4$上。
(2)由(1)知，当点$P(m,n)$在线段$AB$上运动时，点$Q$的横坐标为4，
由题意知$M$是线段$OQ$的中点，设$M(a,b)$,则$a=\frac{0+4}{2}=2$，
$\therefore$点$M$在直线$x=2$上。
当点$P$运动到与点$A$重合时，由答图可知，点$Q$与点$Q_2(4,-4)$重合，此时$a=2,b=\frac{0-4}{2}=-2$，
$\therefore$点$M$与点$M_2(2,-2)$重合。
同理，当点$P$运动到与点$B$重合时，点$M$与点$M_1(2,2)$重合。
$\therefore$当点$P$从点$A$运动到点$B$时，点$M$运动的路径长就是线段$M_1M_2$的长。
$\because M_1M_2=2-(-2)=4$，
$\therefore$点$P$从点$A$运动到点$B$时，点$M$运动的路径长为4。