1. 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，$O$为坐标原点，$A(3,0)$，$B(3,1)$，$C(0,1)$，将$△ OAB$沿直线$OB$折叠，使得点$A$落在点$D$处，$OD$与$BC$交于点$E$，则$OD$所在直线的函数表达式为（
A.$y=\frac{5}{4}x$
B.$y=\frac{4}{5}x$
C.$y=\frac{4}{3}x$
D.$y=\frac{3}{4}x$
D
）A.$y=\frac{5}{4}x$
B.$y=\frac{4}{5}x$
C.$y=\frac{4}{3}x$
D.$y=\frac{3}{4}x$
答案：1.D 点拨:由O为坐标原点,A(3,0),B(3,1),C(0,1),知
四边形ABCO是长方形，
∴OA//BC,
∴∠EBO=∠AOB.
又
∵∠EOB=∠AOB,
∴∠EOB=∠EBO,
∴OE=BE.
设点E的坐标为(m,1),则CE=m,OE=BE=3−m.
在Rt△OCE中,OE²=OC²+CE²，
∴(3−m)²=1²+m²,解得m=4/3，
∴点E的坐标为(4/3,1).
设OD所在直线的函数表达式为y=kx，
将(4/3,1)代入y=kx中,得1=4/3 k,解得k=3/4，
∴OD所在直线的函数表达式为y=3/4 x.
四边形ABCO是长方形，
∴OA//BC,
∴∠EBO=∠AOB.
又
∵∠EOB=∠AOB,
∴∠EOB=∠EBO,
∴OE=BE.
设点E的坐标为(m,1),则CE=m,OE=BE=3−m.
在Rt△OCE中,OE²=OC²+CE²，
∴(3−m)²=1²+m²,解得m=4/3，
∴点E的坐标为(4/3,1).
设OD所在直线的函数表达式为y=kx，
将(4/3,1)代入y=kx中,得1=4/3 k,解得k=3/4，
∴OD所在直线的函数表达式为y=3/4 x.
2. 如图，一次函数$y=x-2$的图象与$y$轴交于点$A$，一次函数$y=4x+b$的图象与$y$轴交于点$B$，且与$x$轴以及一次函数$y=x-2$的图象分别交于点$C,D$，点$D$的坐标为$(-2,m)$。
(1)关于$x,y$的方程组$\begin{cases}y - x = -2, \\ y - 4x = b\end{cases}$的解为 ______ 。
(2)关于$x$的不等式$x - 2 ≥ 4x + b$的解集为。
(3)求四边形$OADC$的面积。
(4)在$x$轴上是否存在点$E$，使得以点$C,D,E$为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点$E$的坐标；若不存在，请说明理由。
(1)关于$x,y$的方程组$\begin{cases}y - x = -2, \\ y - 4x = b\end{cases}$的解为 ______ 。
(2)关于$x$的不等式$x - 2 ≥ 4x + b$的解集为。
(3)求四边形$OADC$的面积。
(4)在$x$轴上是否存在点$E$，使得以点$C,D,E$为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点$E$的坐标；若不存在，请说明理由。
答案：
2. (1)$\begin{cases}x=-2 \\ y=-4\end{cases}$
(2)$x≤ -2$
(3)解:在$y=x-2$中,令$x=0$,得$y=-2$,$\therefore A(0,-2)$.
由点$D(-2,-4)$在直线$y=4x+b$上，
得$-4=4×(-2)+b$,解得$b=4$，
$\therefore$直线$BC$的函数表达式为$y=4x+4$.
$\therefore C(-1,0),B(0,4)$，
$\therefore AB=6,OC=1,OB=4$，
$\therefore S_{四边形OADC}=S_{△ BAD}-S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×6×2-\frac{1}{2}×1×4=4$.
(4)解:存在.如答图,当E为直角顶点时,过点D作$DE_1⊥ x$轴于点$E_1$.
$\because D(-2,-4),\therefore E_1(-2,0)$.
当C为直角顶点时,x轴上不存在满足条件的点E；
当D为直角顶点时,过点D作$DE_2⊥ CD$交x轴于点$E_2$,设$E_2(t,0)$.
$\because C(-1,0),E_1(-2,0),\therefore CE_2=-1-t,E_1E_2=-2-t$.
$\because D(-2,-4),\therefore DE_1=4,CE_1=-1-(-2)=1$.
在$\mathrm{Rt}△ DE_1E_2$中，
$DE_2^2=DE_1^2+E_1E_2^2=4^2+(-2-t)^2=t^2+4t+20$.
在$\mathrm{Rt}△ CDE_1$中,$CD^2=1^2+4^2=17$.
在$\mathrm{Rt}△ CDE_2$中,$CE_2^2=DE_2^2+CD^2$，
即$(-1-t)^2=t^2+4t+20+17$,解得$t=-18$，
$\therefore E_2(-18,0)$.
综上,点E的坐标为$(-2,0)$或$(-18,0)$.
2. (1)$\begin{cases}x=-2 \\ y=-4\end{cases}$
(2)$x≤ -2$
(3)解:在$y=x-2$中,令$x=0$,得$y=-2$,$\therefore A(0,-2)$.
由点$D(-2,-4)$在直线$y=4x+b$上，
得$-4=4×(-2)+b$,解得$b=4$，
$\therefore$直线$BC$的函数表达式为$y=4x+4$.
$\therefore C(-1,0),B(0,4)$，
$\therefore AB=6,OC=1,OB=4$，
$\therefore S_{四边形OADC}=S_{△ BAD}-S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×6×2-\frac{1}{2}×1×4=4$.
(4)解:存在.如答图,当E为直角顶点时,过点D作$DE_1⊥ x$轴于点$E_1$.
$\because D(-2,-4),\therefore E_1(-2,0)$.
当C为直角顶点时,x轴上不存在满足条件的点E；
当D为直角顶点时,过点D作$DE_2⊥ CD$交x轴于点$E_2$,设$E_2(t,0)$.
$\because C(-1,0),E_1(-2,0),\therefore CE_2=-1-t,E_1E_2=-2-t$.
$\because D(-2,-4),\therefore DE_1=4,CE_1=-1-(-2)=1$.
在$\mathrm{Rt}△ DE_1E_2$中，
$DE_2^2=DE_1^2+E_1E_2^2=4^2+(-2-t)^2=t^2+4t+20$.
在$\mathrm{Rt}△ CDE_1$中,$CD^2=1^2+4^2=17$.
在$\mathrm{Rt}△ CDE_2$中,$CE_2^2=DE_2^2+CD^2$，
即$(-1-t)^2=t^2+4t+20+17$,解得$t=-18$，
$\therefore E_2(-18,0)$.
综上,点E的坐标为$(-2,0)$或$(-18,0)$.