25.（8分）新趋势 推导探究 如图，∠AOB的边OA上有一动点P，从距离点O 18 cm的点M处出发，沿线段MO及射线OB运动，速度为2 cm/s；同时动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为1 cm/s.设运动的时间是t s.
（1）当点P在MO上运动时，OP=
（2）当点P在MO上运动时，若OP=OQ，求t的值；
（3）若点Q运动到距离点O 16 cm的点N处时停止，则在点Q停止运动前，点P能否追上点Q？如果能，求出此时t的值；如果不能，请说明理由.
（1）当点P在MO上运动时，OP=
(18−2t)
cm；（用含t的代数式表示）（2）当点P在MO上运动时，若OP=OQ，求t的值；
（3）若点Q运动到距离点O 16 cm的点N处时停止，则在点Q停止运动前，点P能否追上点Q？如果能，求出此时t的值；如果不能，请说明理由.
答案：25. (1) $(18-2t)$
(2) 由题意,得$OP=(18-2t)\mathrm{cm}$,$OQ=t\ \mathrm{cm}$.若$OP=OQ$,则$18-2t=t$,解得$t=6$.
(3) 不能.理由如下:因为$ON=16\ \mathrm{cm}$,所以当点Q运动到点N时,$t=16÷1=16$,此时点P运动的路程为$2×16=32(\mathrm{cm})$.因为$OM+ON=18+16=34(\mathrm{cm})$,$32＜34$,所以点Q停止运动前,点P不能追上点Q.
(2) 由题意,得$OP=(18-2t)\mathrm{cm}$,$OQ=t\ \mathrm{cm}$.若$OP=OQ$,则$18-2t=t$,解得$t=6$.
(3) 不能.理由如下:因为$ON=16\ \mathrm{cm}$,所以当点Q运动到点N时,$t=16÷1=16$,此时点P运动的路程为$2×16=32(\mathrm{cm})$.因为$OM+ON=18+16=34(\mathrm{cm})$,$32＜34$,所以点Q停止运动前,点P不能追上点Q.
26. (8分)(2026·江苏镇江期末)如图,直线$l$上有$A,B$两点,$AB=12\ \mathrm{cm}$,$O$是线段$AB$上一点,$OA=2OB$.
(1) $OA=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$,$OB=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$;
(2) 若$C$是线段$AB$上一点,且满足$AC=OC+CB$,求$OC$的长;
(3) 若动点$P,Q$分别从$A,B$两点同时出发,向右运动,点$P$的速度为$2\ \mathrm{cm/s}$,点$Q$的速度为$1\ \mathrm{cm/s}$.设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$,当点$P$与点$Q$重合时,$P,Q$两点停止运动.
① 当$t$为何值时,$2OP - OQ=4\ \mathrm{cm}$?
② 当点$P$运动到点$O$时,动点$M$从点$O$出发,以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度也向右运动.当点$M$追上点$Q$后立即返回,以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$P$运动,遇到点$P$后再立即返回,以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$Q$运动,如此往返,直到$P,Q$两点停止运动时,点$M$也停止运动.在此过程中,点$M$运动的总路程是多少?
(1) $OA=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$,$OB=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$;
(2) 若$C$是线段$AB$上一点,且满足$AC=OC+CB$,求$OC$的长;
(3) 若动点$P,Q$分别从$A,B$两点同时出发,向右运动,点$P$的速度为$2\ \mathrm{cm/s}$,点$Q$的速度为$1\ \mathrm{cm/s}$.设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$,当点$P$与点$Q$重合时,$P,Q$两点停止运动.
① 当$t$为何值时,$2OP - OQ=4\ \mathrm{cm}$?
② 当点$P$运动到点$O$时,动点$M$从点$O$出发,以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度也向右运动.当点$M$追上点$Q$后立即返回,以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$P$运动,遇到点$P$后再立即返回,以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$Q$运动,如此往返,直到$P,Q$两点停止运动时,点$M$也停止运动.在此过程中,点$M$运动的总路程是多少?
答案：26. (1) 8 4
(2) 设$OC=x\ \mathrm{cm}$.分类讨论如下:① 当点C在线段OB上时,$AC=OA+OC=(8+x)\mathrm{cm}$,$OC+CB=OB=4\ \mathrm{cm}$.因为$AC=OC+CB$,所以$8+x=4$,解得$x=-4$,不合题意,舍去;② 当点C在线段OA上时,$AC=OA-OC=(8-x)\mathrm{cm}$,$CB=OC+OB=(x+4)\mathrm{cm}$.因为$AC=OC+CB$,所以$8-x=x+(x+4)$,解得$x=\frac{4}{3}$.综上所述,$OC$的长是$\frac{4}{3}\ \mathrm{cm}$.
(3) ① 当点P运动到点O时,$t=8÷2=4$;当P,Q两点停止运动时,$t=12÷(2-1)=12$.由题意,得$AP=2t\ \mathrm{cm}$,$OQ=OB+BQ=(4+t)\mathrm{cm}$.分类讨论如下:当$0≤t≤4$时,$OP=OA-AP=(8-2t)\mathrm{cm}$.若$2OP-OQ=4\ \mathrm{cm}$,则$2(8-2t)-(4+t)=4$,解得$t=1.6$;当$4＜t≤12$时,$OP=AP-OA=(2t-8)\mathrm{cm}$.若$2OP-OQ=4\ \mathrm{cm}$,则$2(2t-8)-(4+t)=4$,解得$t=8$.综上所述,当$t$的值为1.6或8时,$2OP-OQ=4\ \mathrm{cm}$.
② 由①,得点P运动到点O时,$t=4$;P,Q两点停止运动时,$t=12$.故点M运动的时间是$12-4=8(\mathrm{s})$,所以点M运动的总路程是$3×8=24(\mathrm{cm})$.
(2) 设$OC=x\ \mathrm{cm}$.分类讨论如下:① 当点C在线段OB上时,$AC=OA+OC=(8+x)\mathrm{cm}$,$OC+CB=OB=4\ \mathrm{cm}$.因为$AC=OC+CB$,所以$8+x=4$,解得$x=-4$,不合题意,舍去;② 当点C在线段OA上时,$AC=OA-OC=(8-x)\mathrm{cm}$,$CB=OC+OB=(x+4)\mathrm{cm}$.因为$AC=OC+CB$,所以$8-x=x+(x+4)$,解得$x=\frac{4}{3}$.综上所述,$OC$的长是$\frac{4}{3}\ \mathrm{cm}$.
(3) ① 当点P运动到点O时,$t=8÷2=4$;当P,Q两点停止运动时,$t=12÷(2-1)=12$.由题意,得$AP=2t\ \mathrm{cm}$,$OQ=OB+BQ=(4+t)\mathrm{cm}$.分类讨论如下:当$0≤t≤4$时,$OP=OA-AP=(8-2t)\mathrm{cm}$.若$2OP-OQ=4\ \mathrm{cm}$,则$2(8-2t)-(4+t)=4$,解得$t=1.6$;当$4＜t≤12$时,$OP=AP-OA=(2t-8)\mathrm{cm}$.若$2OP-OQ=4\ \mathrm{cm}$,则$2(2t-8)-(4+t)=4$,解得$t=8$.综上所述,当$t$的值为1.6或8时,$2OP-OQ=4\ \mathrm{cm}$.
② 由①,得点P运动到点O时,$t=4$;P,Q两点停止运动时,$t=12$.故点M运动的时间是$12-4=8(\mathrm{s})$,所以点M运动的总路程是$3×8=24(\mathrm{cm})$.