26. (8分)新趋势 推导探究 如图,线段$AB=24$,动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动,M为AP的中点.设运动的时间为$t\ \mathrm{s}(t＞0)$.
(1) 若点P在线段AB上运动:
① 当t为何值时,$BP=2AM$?
② 求$2BM-BP$的值;
(2) 当点P在线段AB的延长线上运动时,N为BP的中点,说明线段MN的长不变,并求出其值;
(3) 在点P运动的过程中,N为BP的中点.是否存在这样的t值,使M,N,B三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点?若有,请求出t的值;若没有,请说明理由.
(1) 若点P在线段AB上运动:
① 当t为何值时,$BP=2AM$?
② 求$2BM-BP$的值;
(2) 当点P在线段AB的延长线上运动时,N为BP的中点,说明线段MN的长不变,并求出其值;
(3) 在点P运动的过程中,N为BP的中点.是否存在这样的t值,使M,N,B三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点?若有,请求出t的值;若没有,请说明理由.
答案：26. (1) ① 由题意,得$AP=2t$.因为$AB=24$,所以$BP=AB-AP=24-2t$.因为$M$为$AP$的中点,所以$AM=\frac{1}{2}AP=t$.因为$BP=2AM$,所以$24-2t=2t$,解得$t=6$.故当$t=6$时,$BP=2AM$.
② 因为$AM=t$,所以$BM=AB-AM=24-t$.因为$BP=24-2t$,所以$2BM-BP=2(24-t)-(24-2t)=24$.
(2) 当点$P$在线段$AB$的延长线上运动时,$BP=AP-AB=2t-24$.因为$N$为$BP$的中点,所以$PN=\frac{1}{2}BP=t-12$.因为$PM=\frac{1}{2}AP=t$,所以$MN=PM-PN=t-(t-12)=12$.故线段$MN$的长不变,且其值为12.
(3) 将线段$AB$所在直线看作数轴,设点$A$表示的数是0,点$B$表示的数是24,则点$M$表示的数是$t$,点$P$表示的数是$2t$.因为$N$为$BP$的中点,所以点$N$表示的数是$\frac{2t+24}{2}=t+12$.分类讨论如下:若$M$为$NB$的中点,则$2t=t+12+24$,解得$t=36$;若$N$为$MB$的中点,则$2(t+12)=t+24$,解得$t=0$,不合题意,舍去;若$B$为$MN$的中点,则$2×24=t+12+t$,解得$t=18$.综上所述,存在满足题意的$t$,且$t$的值为18或36.
② 因为$AM=t$,所以$BM=AB-AM=24-t$.因为$BP=24-2t$,所以$2BM-BP=2(24-t)-(24-2t)=24$.
(2) 当点$P$在线段$AB$的延长线上运动时,$BP=AP-AB=2t-24$.因为$N$为$BP$的中点,所以$PN=\frac{1}{2}BP=t-12$.因为$PM=\frac{1}{2}AP=t$,所以$MN=PM-PN=t-(t-12)=12$.故线段$MN$的长不变,且其值为12.
(3) 将线段$AB$所在直线看作数轴,设点$A$表示的数是0,点$B$表示的数是24,则点$M$表示的数是$t$,点$P$表示的数是$2t$.因为$N$为$BP$的中点,所以点$N$表示的数是$\frac{2t+24}{2}=t+12$.分类讨论如下:若$M$为$NB$的中点,则$2t=t+12+24$,解得$t=36$;若$N$为$MB$的中点,则$2(t+12)=t+24$,解得$t=0$,不合题意,舍去;若$B$为$MN$的中点,则$2×24=t+12+t$,解得$t=18$.综上所述,存在满足题意的$t$,且$t$的值为18或36.