2.（1）如果一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，那么这个两位数可以表示为
（2）如果一个数m能够被3整除得k，那么m=
（3）一个三位数能否被3整除，只要看这个数的各位数字之和能否被3整除，请说明其中的道理。
10a+b
；（用含a，b的式子表示）（2）如果一个数m能够被3整除得k，那么m=
3k
；（用含k的式子表示）（3）一个三位数能否被3整除，只要看这个数的各位数字之和能否被3整除，请说明其中的道理。
答案：（1）$10a+b$
（2）$3k$
（3）设任意一个三位数为$100a+10b+c$，则这个数的各数位上的数字之和为$a+b+c$。设$a+b+c=3k$（$k$为正整数），则$100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=3(33a+3b)+3k=3(33a+3b+k)$，即这个数能被3整除。
（2）$3k$
（3）设任意一个三位数为$100a+10b+c$，则这个数的各数位上的数字之和为$a+b+c$。设$a+b+c=3k$（$k$为正整数），则$100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=3(33a+3b)+3k=3(33a+3b+k)$，即这个数能被3整除。
解析：
【分析】
（1）解该小题要明确数位的计数单位：两位数的十位计数单位是10，十位数字为a就代表a个10，个位计数单位是1，个位数字为b就代表b个1，将两部分相加即可得到两位数的表达式。
（2）根据整除的定义，m被3整除得k，说明m除以3的商为k且无余数，结合“被除数=除数×商”即可写出m的表达式。
（3）要说明三位数被3整除的规律，首先用代数式表示出任意三位数，再将代数式拆分为两部分：一部分是确定能被3整除的式子，另一部分是各位数字之和，只要各位数字之和能被3整除，整个三位数就能被3整除，按这个思路推导即可。
【解析】
（1）十位数字a对应的数值是10a，个位数字b对应的数值是b，因此这个两位数为$10a + b$。
（2）由题意得$m÷3=k$，根据被除数、除数、商的关系，可得$m=3k$。
（3）设任意一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数可表示为$100a+10b+c$，其各位数字之和为$a+b+c$。
若$a+b+c=3k$（k为正整数），对三位数的代数式变形可得：
$100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=3(33a+3b)+3k=3(33a+3b+k)$
因为$33a+3b+k$是整数，所以这个三位数能被3整除，即三位数能否被3整除只需看各位数字之和能否被3整除。
【答案】
（1）$10a+b$
（2）$3k$
（3）设任意一个三位数为$100a+10b+c$，则这个数的各数位上的数字之和为$a+b+c$。设$a+b+c=3k$（$k$为正整数），则$100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=3(33a+3b)+3k=3(33a+3b+k)$，即这个数能被3整除。
【知识点】
1. 列代数式
2. 整除的概念
3. 数位的意义
【点评】
本题结合数的认识考查代数式的应用，前两问属于基础题，直接根据数位意义和整除定义即可作答；第三问需要通过代数式变形推导规律，能帮助学生理解3的倍数特征的本质，锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
（1）解该小题要明确数位的计数单位：两位数的十位计数单位是10，十位数字为a就代表a个10，个位计数单位是1，个位数字为b就代表b个1，将两部分相加即可得到两位数的表达式。
（2）根据整除的定义，m被3整除得k，说明m除以3的商为k且无余数，结合“被除数=除数×商”即可写出m的表达式。
（3）要说明三位数被3整除的规律，首先用代数式表示出任意三位数，再将代数式拆分为两部分：一部分是确定能被3整除的式子，另一部分是各位数字之和，只要各位数字之和能被3整除，整个三位数就能被3整除，按这个思路推导即可。
【解析】
（1）十位数字a对应的数值是10a，个位数字b对应的数值是b，因此这个两位数为$10a + b$。
（2）由题意得$m÷3=k$，根据被除数、除数、商的关系，可得$m=3k$。
（3）设任意一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数可表示为$100a+10b+c$，其各位数字之和为$a+b+c$。
若$a+b+c=3k$（k为正整数），对三位数的代数式变形可得：
$100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=3(33a+3b)+3k=3(33a+3b+k)$
因为$33a+3b+k$是整数，所以这个三位数能被3整除，即三位数能否被3整除只需看各位数字之和能否被3整除。
【答案】
（1）$10a+b$
（2）$3k$
（3）设任意一个三位数为$100a+10b+c$，则这个数的各数位上的数字之和为$a+b+c$。设$a+b+c=3k$（$k$为正整数），则$100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=3(33a+3b)+3k=3(33a+3b+k)$，即这个数能被3整除。
【知识点】
1. 列代数式
2. 整除的概念
3. 数位的意义
【点评】
本题结合数的认识考查代数式的应用，前两问属于基础题，直接根据数位意义和整除定义即可作答；第三问需要通过代数式变形推导规律，能帮助学生理解3的倍数特征的本质，锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
典例③ 按如图所示的程序计算，若开始输入$x$的值为3，则最后输出的结果为。
【思路点拨】把$x=3$代入程序计算，得$\frac{x(x+1)}{2}=\frac{3×(3+1)}{2}=6$。因为$6＜100$，不符合输出要求“＞100”，所以不能输出。把$x=6$代入程序计算，可得$\frac{x(x+1)}{2}=\frac{6×(6+1)}{2}=21$。因为$21＜100$，不符合输出要求“＞100”，所以不能输出。把$x=21$代入程序计算，可得$\frac{x(x+1)}{2}=\frac{21×(21+1)}{2}=231$。因为$231＞100$，符合输出要求“＞100”，所以最后输出的结果为231。
【答案】231
名师大招▶根据程序按步骤代入计算，直到符合输出要求。
【思路点拨】把$x=3$代入程序计算，得$\frac{x(x+1)}{2}=\frac{3×(3+1)}{2}=6$。因为$6＜100$，不符合输出要求“＞100”，所以不能输出。把$x=6$代入程序计算，可得$\frac{x(x+1)}{2}=\frac{6×(6+1)}{2}=21$。因为$21＜100$，不符合输出要求“＞100”，所以不能输出。把$x=21$代入程序计算，可得$\frac{x(x+1)}{2}=\frac{21×(21+1)}{2}=231$。因为$231＞100$，符合输出要求“＞100”，所以最后输出的结果为231。
【答案】231
名师大招▶根据程序按步骤代入计算，直到符合输出要求。
答案：解：当输入$x=3$时，
$\frac{x(x+1)}{2}=\frac{3×(3+1)}{2}=6$，
$\because 6＜100$，不满足输出条件，将$x=6$返回代入计算；
当$x=6$时，
$\frac{x(x+1)}{2}=\frac{6×(6+1)}{2}=21$，
$\because 21＜100$，不满足输出条件，将$x=21$返回代入计算；
当$x=21$时，
$\frac{x(x+1)}{2}=\frac{21×(21+1)}{2}=231$，
$\because 231＞100$，满足输出条件。
最后输出的结果为$\boldsymbol{231}$。
$\frac{x(x+1)}{2}=\frac{3×(3+1)}{2}=6$，
$\because 6＜100$，不满足输出条件，将$x=6$返回代入计算；
当$x=6$时，
$\frac{x(x+1)}{2}=\frac{6×(6+1)}{2}=21$，
$\because 21＜100$，不满足输出条件，将$x=21$返回代入计算；
当$x=21$时，
$\frac{x(x+1)}{2}=\frac{21×(21+1)}{2}=231$，
$\because 231＞100$，满足输出条件。
最后输出的结果为$\boldsymbol{231}$。
解析：
【分析】
解题时首先明确程序的运算规则：将输入的$x$代入代数式$\frac{x(x+1)}{2}$计算，若结果大于100则直接输出，若结果不大于100，就将该结果作为新的$x$再次代入代数式计算，循环操作直到计算结果大于100为止。已知初始输入$x=3$，按照该规则逐步计算、判断即可得到最终输出结果。
【解析】
当输入$x=3$时，
$\frac{x(x+1)}{2}=\frac{3×(3+1)}{2}=6$，
$\because 6＜100$，不满足输出条件，将$x=6$返回代入计算；
当$x=6$时，
$\frac{x(x+1)}{2}=\frac{6×(6+1)}{2}=21$，
$\because 21＜100$，不满足输出条件，将$x=21$返回代入计算；
当$x=21$时，
$\frac{x(x+1)}{2}=\frac{21×(21+1)}{2}=231$，
$\because 231＞100$，满足输出条件，可输出该结果。
【答案】
231
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算；程序框图运算
【点评】
本题属于基础的程序运算类题目，只要严格按照给定的程序步骤逐步代入计算，每次计算后准确判断是否满足输出条件，计算过程细心，即可顺利得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确程序的运算规则：将输入的$x$代入代数式$\frac{x(x+1)}{2}$计算，若结果大于100则直接输出，若结果不大于100，就将该结果作为新的$x$再次代入代数式计算，循环操作直到计算结果大于100为止。已知初始输入$x=3$，按照该规则逐步计算、判断即可得到最终输出结果。
【解析】
当输入$x=3$时，
$\frac{x(x+1)}{2}=\frac{3×(3+1)}{2}=6$，
$\because 6＜100$，不满足输出条件，将$x=6$返回代入计算；
当$x=6$时，
$\frac{x(x+1)}{2}=\frac{6×(6+1)}{2}=21$，
$\because 21＜100$，不满足输出条件，将$x=21$返回代入计算；
当$x=21$时，
$\frac{x(x+1)}{2}=\frac{21×(21+1)}{2}=231$，
$\because 231＞100$，满足输出条件，可输出该结果。
【答案】
231
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算；程序框图运算
【点评】
本题属于基础的程序运算类题目，只要严格按照给定的程序步骤逐步代入计算，每次计算后准确判断是否满足输出条件，计算过程细心，即可顺利得到正确结果。
【难度系数】
0.8
3. 小慧设计了一个如图所示的运算程序，程序每执行一次运算后按条件进行判断，然后输出结果或继续执行下一次运算.
(1) 当$a=2,k=3,m=15$时，
① 若输入$x=3$，则输出的结果为
② 若输入$x$执行2次运算后输出的结果等于$6x-1$，求$x$的值；
(2) 当$a=-2$时，若输入$x$的值能使程序进入无限循环，且每次执行运算的结果都相同，则输入$x$的值为
(1) 当$a=2,k=3,m=15$时，
① 若输入$x=3$，则输出的结果为
21
；② 若输入$x$执行2次运算后输出的结果等于$6x-1$，求$x$的值；
(2) 当$a=-2$时，若输入$x$的值能使程序进入无限循环，且每次执行运算的结果都相同，则输入$x$的值为
$\dfrac{k}{3}$
.(用含$k$的代数式表示)答案：(1) ① 21
② 由题意，得$2(2x+3)+3=6x-1$，所以$x=5$。
(2) $\dfrac{k}{3}$
② 由题意，得$2(2x+3)+3=6x-1$，所以$x=5$。
(2) $\dfrac{k}{3}$
解析：
【分析】
首先明确运算程序的逻辑：输入x后，先计算$ax+k$，若结果大于m则直接输出；若不大于m，就将该结果作为新的x再次代入计算，直到结果大于m再输出。
(1)①：先代入$x=3$计算第一次结果，判断是否大于15，若不满足则再次代入计算，直到结果大于15即可得到输出值。
(1)②：执行2次运算才输出，说明第一次运算的结果≤15，第二次运算的结果＞15，且第二次运算结果等于$6x-1$，先写出第二次运算的表达式，列方程求解即可。
(2)：程序进入无限循环且每次运算结果相同，说明x经过一次运算后的结果仍等于x，据此列方程求解即可。
【解析】
(1)① 当$x=3$，$a=2$，$k=3$，$m=15$时：
第一次运算：$2×3 + 3 = 9$，$9＜15$，不满足输出条件，将9作为新的x代入；
第二次运算：$2×9 + 3 = 21$，$21＞15$，满足输出条件。
② 由题意，第一次运算结果为$2x+3$，第二次运算将$2x+3$作为新的x代入，可得第二次运算结果为$2(2x+3)+3$，结合第二次结果等于$6x-1$，列方程：
$\begin{aligned}2(2x+3)+3&=6x-1\\4x+6+3&=6x-1\\4x+9&=6x-1\\2x&=10\\x&=5\end{aligned}$
(2) 当$a=-2$时，每次运算结果相同且无限循环，说明运算后结果等于原x，列方程：
$\begin{aligned}-2x +k &=x\\3x&=k\\x&=\frac{k}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) ①$\boxed{21}$；②$\boxed{x=5}$；(2)$\boxed{\dfrac{k}{3}}$
【知识点】
代数式求值；一元一次方程的应用；程序运算
【点评】
本题结合程序流程图考查代数式运算和一元一次方程的求解，解题关键是准确理解流程图的运算逻辑，根据题目要求列出对应的式子或方程求解，需要注意对运算次数、循环条件的准确理解。
【难度系数】
0.7
首先明确运算程序的逻辑：输入x后，先计算$ax+k$，若结果大于m则直接输出；若不大于m，就将该结果作为新的x再次代入计算，直到结果大于m再输出。
(1)①：先代入$x=3$计算第一次结果，判断是否大于15，若不满足则再次代入计算，直到结果大于15即可得到输出值。
(1)②：执行2次运算才输出，说明第一次运算的结果≤15，第二次运算的结果＞15，且第二次运算结果等于$6x-1$，先写出第二次运算的表达式，列方程求解即可。
(2)：程序进入无限循环且每次运算结果相同，说明x经过一次运算后的结果仍等于x，据此列方程求解即可。
【解析】
(1)① 当$x=3$，$a=2$，$k=3$，$m=15$时：
第一次运算：$2×3 + 3 = 9$，$9＜15$，不满足输出条件，将9作为新的x代入；
第二次运算：$2×9 + 3 = 21$，$21＞15$，满足输出条件。
② 由题意，第一次运算结果为$2x+3$，第二次运算将$2x+3$作为新的x代入，可得第二次运算结果为$2(2x+3)+3$，结合第二次结果等于$6x-1$，列方程：
$\begin{aligned}2(2x+3)+3&=6x-1\\4x+6+3&=6x-1\\4x+9&=6x-1\\2x&=10\\x&=5\end{aligned}$
(2) 当$a=-2$时，每次运算结果相同且无限循环，说明运算后结果等于原x，列方程：
$\begin{aligned}-2x +k &=x\\3x&=k\\x&=\frac{k}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) ①$\boxed{21}$；②$\boxed{x=5}$；(2)$\boxed{\dfrac{k}{3}}$
【知识点】
代数式求值；一元一次方程的应用；程序运算
【点评】
本题结合程序流程图考查代数式运算和一元一次方程的求解，解题关键是准确理解流程图的运算逻辑，根据题目要求列出对应的式子或方程求解，需要注意对运算次数、循环条件的准确理解。
【难度系数】
0.7