典例6 新素养 应用意识 某校组织部分师生从学校(A地)到300 km外的B地进行红色之旅,租用了客运公司甲、乙两辆车,其中乙车的速度是甲车速度的$\frac{4}{5}$,两车同时从学校出发,以各自的速度匀速行驶,行驶2 h后甲车到达服务区C地,此时两车相距40 km,甲车在服务区休息15 min后按原速度开往B地,乙车行驶过程中未停留.
(1) 求甲、乙两车的速度；
(2) 甲车在C地结束休息后再行驶多长时间,甲、乙两车相距30 km?(不考虑甲车到达B地后的情况)
【思路点拨】(1) 设甲车的速度为$x$ km/h,2 h后,甲、乙两车的位置如图①所示,根据示意图列方程求解;(2) 如图②,由(1)中所求数据,$15\ \mathrm{min}=\frac{1}{4}\ \mathrm{h}$,可求出$2\frac{1}{4}\ \mathrm{h}$后甲车到A地的距离为200 km,乙车到A地的距离为180 km,此时甲车仍然在乙车的前面.继续行驶,当甲、乙两车相距30 km时,甲车行驶的路程$=$乙车行驶的路程$+30\ \mathrm{km}$,据此列方程求解.
【答案】(1) 设甲车的速度为$x$ km/h,则乙车的速度为$\frac{4}{5}x$ km/h.由题意,得$2x=40+2×\frac{4}{5}x$,解得$x=100$,所以$\frac{4}{5}x=80$.故甲、乙两车的速度分别为100 km/h,80 km/h.
(2) 设甲车在C地结束休息后再行驶$y$ h,甲、乙两车相距30 km.因为$15\ \mathrm{min}=\frac{1}{4}\ \mathrm{h}$,$\frac{1}{4}×80=20(\mathrm{km})$,$20＜40$,所以易知乙车此时还在甲车的后面.由题意,得$100y+20-80y=30$,解得$y=\frac{1}{2}$,此时$200+100×\frac{1}{2}=250(\mathrm{km})$,$250＜300$,符合题意.故甲车在C地结束休息后再行驶$\frac{1}{2}$ h,甲、乙两车相距30 km.
名师大招▶借助示意图(如线段图)分析数量关系,能直观地寻找相等关系.
(1) 求甲、乙两车的速度；
(2) 甲车在C地结束休息后再行驶多长时间,甲、乙两车相距30 km?(不考虑甲车到达B地后的情况)
【思路点拨】(1) 设甲车的速度为$x$ km/h,2 h后,甲、乙两车的位置如图①所示,根据示意图列方程求解;(2) 如图②,由(1)中所求数据,$15\ \mathrm{min}=\frac{1}{4}\ \mathrm{h}$,可求出$2\frac{1}{4}\ \mathrm{h}$后甲车到A地的距离为200 km,乙车到A地的距离为180 km,此时甲车仍然在乙车的前面.继续行驶,当甲、乙两车相距30 km时,甲车行驶的路程$=$乙车行驶的路程$+30\ \mathrm{km}$,据此列方程求解.
【答案】(1) 设甲车的速度为$x$ km/h,则乙车的速度为$\frac{4}{5}x$ km/h.由题意,得$2x=40+2×\frac{4}{5}x$,解得$x=100$,所以$\frac{4}{5}x=80$.故甲、乙两车的速度分别为100 km/h,80 km/h.
(2) 设甲车在C地结束休息后再行驶$y$ h,甲、乙两车相距30 km.因为$15\ \mathrm{min}=\frac{1}{4}\ \mathrm{h}$,$\frac{1}{4}×80=20(\mathrm{km})$,$20＜40$,所以易知乙车此时还在甲车的后面.由题意,得$100y+20-80y=30$,解得$y=\frac{1}{2}$,此时$200+100×\frac{1}{2}=250(\mathrm{km})$,$250＜300$,符合题意.故甲车在C地结束休息后再行驶$\frac{1}{2}$ h,甲、乙两车相距30 km.
名师大招▶借助示意图(如线段图)分析数量关系,能直观地寻找相等关系.
答案：解：
(1) 设甲车的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则乙车的速度为$\frac{4}{5}x\ \mathrm{km/h}$。
由题意，得
$2x = 40 + 2×\frac{4}{5}x$，
解得$x=100$，
所以$\frac{4}{5}x = 80$。
(2) 设甲车在C地结束休息后再行驶$y\ \mathrm{h}$，甲、乙两车相距30 km。
因为$15\ \mathrm{min}=\frac{1}{4}\ \mathrm{h}$，$\frac{1}{4}×80=20\ \mathrm{km}$，$20＜40$，可知甲车休息结束时乙车仍在甲车后方。
由题意，得
$100y + 20 - 80y = 30$，
解得$y=\frac{1}{2}$。
此时甲车行驶的总路程为$200 + 100×\frac{1}{2}=250\ \mathrm{km}$，$250＜300$，符合题意。
答：甲、乙两车的速度分别为100 km/h、80 km/h；甲车在C地结束休息后再行驶$\frac{1}{2}\ \mathrm{h}$，甲、乙两车相距30 km。
(1) 设甲车的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则乙车的速度为$\frac{4}{5}x\ \mathrm{km/h}$。
由题意，得
$2x = 40 + 2×\frac{4}{5}x$，
解得$x=100$，
所以$\frac{4}{5}x = 80$。
(2) 设甲车在C地结束休息后再行驶$y\ \mathrm{h}$，甲、乙两车相距30 km。
因为$15\ \mathrm{min}=\frac{1}{4}\ \mathrm{h}$，$\frac{1}{4}×80=20\ \mathrm{km}$，$20＜40$，可知甲车休息结束时乙车仍在甲车后方。
由题意，得
$100y + 20 - 80y = 30$，
解得$y=\frac{1}{2}$。
此时甲车行驶的总路程为$200 + 100×\frac{1}{2}=250\ \mathrm{km}$，$250＜300$，符合题意。
答：甲、乙两车的速度分别为100 km/h、80 km/h；甲车在C地结束休息后再行驶$\frac{1}{2}\ \mathrm{h}$，甲、乙两车相距30 km。
解析：
【分析】
(1) 求解两车速度时，已知乙车速度是甲车的$\frac{4}{5}$，可设甲车速度为$x$ km/h，乙车速度即为$\frac{4}{5}x$ km/h。两车同时行驶2小时后相距40 km，甲车速度更快，因此存在等量关系：甲车2小时行驶的路程=乙车2小时行驶的路程+40 km，根据该等量关系列方程求解即可。
(2) 先换算单位，$15\ \mathrm{min}=\frac{1}{4}\ \mathrm{h}$，甲车在服务区休息时乙车仍在行驶，先计算休息结束时两车的距离：原本2小时后两车相差40 km，休息时段乙车行驶了$80×\frac{1}{4}=20$ km，因此休息结束时甲车仍在乙车前方，两车相距20 km。设甲车休息后再行驶$y$ h两车相距30 km，根据“甲车后续行驶路程+原有领先路程-乙车后续行驶路程=30 km”列方程求解，最后验证甲车此时未到达B地，确保结果符合题意。
【解析】
(1) 设甲车的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则乙车的速度为$\frac{4}{5}x\ \mathrm{km/h}$。
由题意得：
$2x = 40 + 2×\frac{4}{5}x$
整理得$\frac{2}{5}x=40$，
解得$x=100$，
因此乙车速度为$\frac{4}{5}x = \frac{4}{5}×100=80$（km/h）。
(2) 设甲车在C地结束休息后再行驶$y\ \mathrm{h}$，甲、乙两车相距30 km。
换算单位得$15\ \mathrm{min}=\frac{1}{4}\ \mathrm{h}$，
甲车休息时段乙车行驶的路程为$\frac{1}{4}×80=20(\mathrm{km})$，
因为$20＜40$，可知甲车休息结束时乙车仍在甲车后方。
由题意得：
$100y + 20 - 80y = 30$
整理得$20y=10$，
解得$y=\frac{1}{2}$。
验证：此时甲车行驶的总路程为$200 + 100×\frac{1}{2}=250(\mathrm{km})$，$250＜300$，说明甲车未到达B地，符合题意。
【答案】
(1) 甲车速度为100 km/h，乙车速度为80 km/h；
(2) 甲车在C地结束休息后再行驶$\frac{1}{2}\ \mathrm{h}$，甲、乙两车相距30 km。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程追及问题
3. 路程速度时间关系
【点评】
本题是典型的行程类应用题，借助线段图分析两车的位置关系可以快速梳理等量关系，解题时要注意甲车休息时段乙车仍在行驶，不要漏算这段时间乙车的行驶路程，求出结果后需验证是否符合题目的限制条件，保证答案的合理性。
【难度系数】
0.7
(1) 求解两车速度时，已知乙车速度是甲车的$\frac{4}{5}$，可设甲车速度为$x$ km/h，乙车速度即为$\frac{4}{5}x$ km/h。两车同时行驶2小时后相距40 km，甲车速度更快，因此存在等量关系：甲车2小时行驶的路程=乙车2小时行驶的路程+40 km，根据该等量关系列方程求解即可。
(2) 先换算单位，$15\ \mathrm{min}=\frac{1}{4}\ \mathrm{h}$，甲车在服务区休息时乙车仍在行驶，先计算休息结束时两车的距离：原本2小时后两车相差40 km，休息时段乙车行驶了$80×\frac{1}{4}=20$ km，因此休息结束时甲车仍在乙车前方，两车相距20 km。设甲车休息后再行驶$y$ h两车相距30 km，根据“甲车后续行驶路程+原有领先路程-乙车后续行驶路程=30 km”列方程求解，最后验证甲车此时未到达B地，确保结果符合题意。
【解析】
(1) 设甲车的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则乙车的速度为$\frac{4}{5}x\ \mathrm{km/h}$。
由题意得：
$2x = 40 + 2×\frac{4}{5}x$
整理得$\frac{2}{5}x=40$，
解得$x=100$，
因此乙车速度为$\frac{4}{5}x = \frac{4}{5}×100=80$（km/h）。
(2) 设甲车在C地结束休息后再行驶$y\ \mathrm{h}$，甲、乙两车相距30 km。
换算单位得$15\ \mathrm{min}=\frac{1}{4}\ \mathrm{h}$，
甲车休息时段乙车行驶的路程为$\frac{1}{4}×80=20(\mathrm{km})$，
因为$20＜40$，可知甲车休息结束时乙车仍在甲车后方。
由题意得：
$100y + 20 - 80y = 30$
整理得$20y=10$，
解得$y=\frac{1}{2}$。
验证：此时甲车行驶的总路程为$200 + 100×\frac{1}{2}=250(\mathrm{km})$，$250＜300$，说明甲车未到达B地，符合题意。
【答案】
(1) 甲车速度为100 km/h，乙车速度为80 km/h；
(2) 甲车在C地结束休息后再行驶$\frac{1}{2}\ \mathrm{h}$，甲、乙两车相距30 km。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程追及问题
3. 路程速度时间关系
【点评】
本题是典型的行程类应用题，借助线段图分析两车的位置关系可以快速梳理等量关系，解题时要注意甲车休息时段乙车仍在行驶，不要漏算这段时间乙车的行驶路程，求出结果后需验证是否符合题目的限制条件，保证答案的合理性。
【难度系数】
0.7
6. 某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每名快递员派送150件，则还剩60件；若每名快递员派送170件，则还差20件。该快递分派站现共有
4
名快递员。答案：6. 4
解析：
【分析】
这是典型的盈亏类应用题，解题核心是找到题目中的不变量：包裹的总件数是固定的。我们可以设快递员的人数为未知数x，分别用两种派送方案表示出包裹总件数，根据总件数相等列出一元一次方程，再求解即可得到快递员人数。
【解析】
解：设该快递分派站共有$ x $名快递员。
根据包裹总件数不变，可列方程：
$ 150x + 60 = 170x - 20 $
移项得：$ 60 + 20 = 170x - 150x $
合并同类项得：$ 80 = 20x $
系数化为1得：$ x = 4 $
经检验，$ x=4 $符合题意。
【答案】
4
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 盈亏问题
【点评】
本题属于一元一次方程应用的基础题型，解题关键是抓住题目中的不变量建立等量关系，掌握找不变量列方程的思路，即可快速解决同类型的分配类应用题。
【难度系数】
0.8
这是典型的盈亏类应用题，解题核心是找到题目中的不变量：包裹的总件数是固定的。我们可以设快递员的人数为未知数x，分别用两种派送方案表示出包裹总件数，根据总件数相等列出一元一次方程，再求解即可得到快递员人数。
【解析】
解：设该快递分派站共有$ x $名快递员。
根据包裹总件数不变，可列方程：
$ 150x + 60 = 170x - 20 $
移项得：$ 60 + 20 = 170x - 150x $
合并同类项得：$ 80 = 20x $
系数化为1得：$ x = 4 $
经检验，$ x=4 $符合题意。
【答案】
4
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 盈亏问题
【点评】
本题属于一元一次方程应用的基础题型，解题关键是抓住题目中的不变量建立等量关系，掌握找不变量列方程的思路，即可快速解决同类型的分配类应用题。
【难度系数】
0.8
典例⑦有一个两位数，两个数位上的数字之和为8.如果把个位上的数字与十位上的数字对调，那么所得的新两位数比原两位数大18.求原两位数.
【思路点拨】设原两位数个位上的数字为$x$，列表如下：
根据“新两位数－原两位数＝18”，列方程求解.
【答案】设原两位数个位上的数字为$x$.由题意，得$10x+(8-x)-[10(8-x)+x]=18$，解得$x=5$，则$8-x=3$.故原两位数为35.
【名师大招】当题目中的数量关系比较复杂时，可列表分析等量关系.
【思路点拨】设原两位数个位上的数字为$x$，列表如下：
根据“新两位数－原两位数＝18”，列方程求解.
【答案】设原两位数个位上的数字为$x$.由题意，得$10x+(8-x)-[10(8-x)+x]=18$，解得$x=5$，则$8-x=3$.故原两位数为35.
【名师大招】当题目中的数量关系比较复杂时，可列表分析等量关系.
答案：解：设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为8-x。
根据题意，得
$10x+(8-x)-[10(8-x)+x]=18$
去括号，得
$10x+8-x-80+10x-x=18$
合并同类项，得
$18x-72=18$
移项，得
$18x=90$
系数化为1，得
$x=5$
则十位上的数字为$8-x=8-5=3$，
原两位数为$3×10+5=35$。
答：原两位数是35。
根据题意，得
$10x+(8-x)-[10(8-x)+x]=18$
去括号，得
$10x+8-x-80+10x-x=18$
合并同类项，得
$18x-72=18$
移项，得
$18x=90$
系数化为1，得
$x=5$
则十位上的数字为$8-x=8-5=3$，
原两位数为$3×10+5=35$。
答：原两位数是35。
解析：
【分析】
本题属于数字类一元一次方程应用题，解题思路如下：首先回忆两位数的表示规则：两位数 = 十位数字×10 + 个位数字；再根据题目中“两个数位上的数字之和为8”的条件，设原两位数个位数字为x，即可得到十位数字为8-x，分别表示出原两位数和对调后新两位数的代数式；最后根据“新两位数比原两位数大18”的等量关系列方程，解方程求出x后即可计算得到原两位数。
【解析】
设原两位数个位上的数字为$x$，则十位上的数字为$8-x$。
根据题意列方程：
$10x+(8-x)-[10(8-x)+x]=18$
去括号，得：
$10x+8-x-80+10x-x=18$
合并同类项，得：
$18x-72=18$
移项，得：
$18x=90$
系数化为1，得：
$x=5$
则十位上的数字为$8-x=8-5=3$，
原两位数为$3×10+5=35$。
【答案】
35
【知识点】
一元一次方程的应用、两位数的表示、一元一次方程的解法
【点评】
本题是数字类方程应用的基础典型题，解题的关键是掌握两位数的正确表示方法，准确梳理题目中的等量关系列方程求解，借助列表梳理数量关系能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
本题属于数字类一元一次方程应用题，解题思路如下：首先回忆两位数的表示规则：两位数 = 十位数字×10 + 个位数字；再根据题目中“两个数位上的数字之和为8”的条件，设原两位数个位数字为x，即可得到十位数字为8-x，分别表示出原两位数和对调后新两位数的代数式；最后根据“新两位数比原两位数大18”的等量关系列方程，解方程求出x后即可计算得到原两位数。
【解析】
设原两位数个位上的数字为$x$，则十位上的数字为$8-x$。
根据题意列方程：
$10x+(8-x)-[10(8-x)+x]=18$
去括号，得：
$10x+8-x-80+10x-x=18$
合并同类项，得：
$18x-72=18$
移项，得：
$18x=90$
系数化为1，得：
$x=5$
则十位上的数字为$8-x=8-5=3$，
原两位数为$3×10+5=35$。
【答案】
35
【知识点】
一元一次方程的应用、两位数的表示、一元一次方程的解法
【点评】
本题是数字类方程应用的基础典型题，解题的关键是掌握两位数的正确表示方法，准确梳理题目中的等量关系列方程求解，借助列表梳理数量关系能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7