8. 现有一列整数,第一个数为 1,第二个数为 $ x $（$ x $ 为正整数）,以后每一个数都由它前一个数与再前一个数差的绝对值得到.如:第三个数是由 $ x $ 与 1 差的绝对值得到,即为 $ |x-1| $,第四个数是由 $ |x-1| $ 与 $ x $ 差的绝对值得到,即为 $ ||x-1|-x|······ $要使这列数的前 100 个数中恰好有 30 个 0,则 $ x=\_\_\_\_\_\_ $.
答案：8. 6或7 解析:当 $x$ 为正偶数时,这列数为 $1,x,x-1$,$1,x-2,|x-3|,\dots,1,2,1,1,0,1,1,0,\dots$,所以这列数是从1开始,第2个数和第3个数分别是 $x,x-1$,后面的数依次是相邻前两个数差的绝对值,直至减到2后开始按 1,1,0 这 3 个数循环. 又这列数的前100 个数中恰好有 30 个 0,且 $100÷3=33······1$,所以前 10 个数中没有 0,且第 11~13 个数都可以为 0. 当第 11 个数为 0 时,$|x-3|=3$,解得 $x=0$(舍去)或$x=6$;当第 12 个数为 0 时,$|x-3|=2$ 或 $|x-3|=4$,此时 $x$ 都不合题意,舍去;当第 13 个数为 0 时,$|x-3|=5$ 或 $|x-3|=1$ 或 $|x-3|=7$,解得 $x=8$ 或 $x=2$ 或 $x=4$ 或 $x=10$. 经检验,当 $x=2$ 或 4 或 8 或10 时,都不合题意,舍去;当 $x=1$ 时,这列数为 1,1,0,1,1,0,…,所以前 100 个数中有 33 个 0,不合题意;当 $x$ 为大于 1 的奇数时,这列数为 $1,x,x-1,1,x-2,x-3,1,|x-4|,\dots,2,1,1,0,1,1,0,\dots$. 同理,得$|x-4|=3$,解得 $x=1$(舍去)或 $x=7$. 综上所述,$x$的值为 6 或 7.
解析：
【分析】
首先按照题目给出的数列生成规则写出前几项，可发现无论x是奇数还是偶数，数列最终都会进入“1,1,0”的3个数一循环的模式，每个循环恰好包含1个0。若前100个数全为循环段，100÷3=33余1，会有33个0，题目要求恰好30个0，说明前面有一段不含0的非循环段，需根据非循环段的长度分x为正偶数、正奇数两类讨论求解，最后检验解是否符合题意即可。
【解析】
数列生成规则：第1个数为1，第2个数为x，从第3个数开始，每个数等于前两个数差的绝对值。
1. 当x为正偶数时：
数列规律为：1，x，x-1，1，x-2，x-3，1，x-4，x-5，…，出现1,2,1后进入“1,1,0”的循环，循环周期为3，每个周期含1个0。
要前100个数有30个0，则循环段共30×3=90个数，即前10个数不含0。
经推导检验，x=6时，数列前10项为1,6,5,1,4,3,1,2,1,1，无0，后续90项刚好30个循环，共30个0，符合要求，其余偶数x均不符合题意，舍去。
2. 当x为正奇数时：
若x=1，数列为1,1,0,1,1,0…，前100个数有33个0，不符合要求；
x为大于1的奇数时，数列规律为：1，x，x-1，1，x-2，x-3，…，出现2,1,1后进入“1,1,0”的循环，周期为3。
经推导检验，x=7时，数列前10项为1,7,6,1,5,4,1,3,2,1，无0，后续90项共30个0，符合要求，其余奇数x均不符合题意，舍去。
综上，x的值为6或7。
【答案】
6或7
【知识点】
绝对值运算，数列规律探究，分类讨论思想
【点评】
本题需要先通过枚举数列前几项找到循环规律，再结合0的个数要求确定非循环段的长度，分类讨论x的奇偶性求解，解题时要注意对所得的解进行检验，排除不符合题意的情况，较好地考查了逻辑推理和规律探究能力。
【难度系数】
0.3
首先按照题目给出的数列生成规则写出前几项，可发现无论x是奇数还是偶数，数列最终都会进入“1,1,0”的3个数一循环的模式，每个循环恰好包含1个0。若前100个数全为循环段，100÷3=33余1，会有33个0，题目要求恰好30个0，说明前面有一段不含0的非循环段，需根据非循环段的长度分x为正偶数、正奇数两类讨论求解，最后检验解是否符合题意即可。
【解析】
数列生成规则：第1个数为1，第2个数为x，从第3个数开始，每个数等于前两个数差的绝对值。
1. 当x为正偶数时：
数列规律为：1，x，x-1，1，x-2，x-3，1，x-4，x-5，…，出现1,2,1后进入“1,1,0”的循环，循环周期为3，每个周期含1个0。
要前100个数有30个0，则循环段共30×3=90个数，即前10个数不含0。
经推导检验，x=6时，数列前10项为1,6,5,1,4,3,1,2,1,1，无0，后续90项刚好30个循环，共30个0，符合要求，其余偶数x均不符合题意，舍去。
2. 当x为正奇数时：
若x=1，数列为1,1,0,1,1,0…，前100个数有33个0，不符合要求；
x为大于1的奇数时，数列规律为：1，x，x-1，1，x-2，x-3，…，出现2,1,1后进入“1,1,0”的循环，周期为3。
经推导检验，x=7时，数列前10项为1,7,6,1,5,4,1,3,2,1，无0，后续90项共30个0，符合要求，其余奇数x均不符合题意，舍去。
综上，x的值为6或7。
【答案】
6或7
【知识点】
绝对值运算，数列规律探究，分类讨论思想
【点评】
本题需要先通过枚举数列前几项找到循环规律，再结合0的个数要求确定非循环段的长度，分类讨论x的奇偶性求解，解题时要注意对所得的解进行检验，排除不符合题意的情况，较好地考查了逻辑推理和规律探究能力。
【难度系数】
0.3
典例 阅读下列解题过程，并解答下列问题.
解方程:|x+2|=3.解:由|x+2|=3,得x+2=±3.分类讨论如下:①若x+2=3,则x=1;②若x+2=-3,则x=-5.故原方程的解是x=1或x=-5.
(1) 解方程:|2x-5|-7=0;
(2) 若方程|x-3|=1的解也是方程4x+m=3x+1的解,求m的值.
【思路点拨】(1) 仿照题中所给方法进行求解即可;(2) 先得出方程|x-3|=1的解,然后代入求解即可.
【答案】(1) 由|2x-5|-7=0,得2x-5=±7.分类讨论如下:①若2x-5=7,则x=6;②若2x-5=-7,则x=-1.故原方程的解是x=6或x=-1.
(2) 由|x-3|=1,得x-3=±1.分类讨论如下:①若x-3=1,则x=4;②若x-3=-1,则x=2.故方程|x-3|=1的解是x=4或x=2.当x=2时,4×2+m=3×2+1,解得m=-1;当x=4时,4×4+m=3×4+1,解得m=-3.故m的值是-1或-3.
要点提示▶解含绝对值的方程时,要根据绝对值的非负性进行分类讨论.
解方程:|x+2|=3.解:由|x+2|=3,得x+2=±3.分类讨论如下:①若x+2=3,则x=1;②若x+2=-3,则x=-5.故原方程的解是x=1或x=-5.
(1) 解方程:|2x-5|-7=0;
(2) 若方程|x-3|=1的解也是方程4x+m=3x+1的解,求m的值.
【思路点拨】(1) 仿照题中所给方法进行求解即可;(2) 先得出方程|x-3|=1的解,然后代入求解即可.
【答案】(1) 由|2x-5|-7=0,得2x-5=±7.分类讨论如下:①若2x-5=7,则x=6;②若2x-5=-7,则x=-1.故原方程的解是x=6或x=-1.
(2) 由|x-3|=1,得x-3=±1.分类讨论如下:①若x-3=1,则x=4;②若x-3=-1,则x=2.故方程|x-3|=1的解是x=4或x=2.当x=2时,4×2+m=3×2+1,解得m=-1;当x=4时,4×4+m=3×4+1,解得m=-3.故m的值是-1或-3.
要点提示▶解含绝对值的方程时,要根据绝对值的非负性进行分类讨论.
答案：解：
(1) 由$|2x-5|-7=0$，得$|2x-5|=7$，因此$2x-5=\pm7$。
分类讨论如下：
① 若$2x-5=7$，则$2x=12$，$x=6$；
② 若$2x-5=-7$，则$2x=-2$，$x=-1$。
故原方程的解是$x=6$或$x=-1$。
(2) 由$|x-3|=1$，得$x-3=\pm1$。
分类讨论如下：
① 若$x-3=1$，则$x=4$；
② 若$x-3=-1$，则$x=2$。
因此方程$|x-3|=1$的解是$x=4$或$x=2$。
将$x=2$代入$4x+m=3x+1$，得$4×2 + m = 3×2 +1$，解得$m=-1$；
将$x=4$代入$4x+m=3x+1$，得$4×4 + m = 3×4 +1$，解得$m=-3$。
故$m$的值是$-1$或$-3$。
(1) 由$|2x-5|-7=0$，得$|2x-5|=7$，因此$2x-5=\pm7$。
分类讨论如下：
① 若$2x-5=7$，则$2x=12$，$x=6$；
② 若$2x-5=-7$，则$2x=-2$，$x=-1$。
故原方程的解是$x=6$或$x=-1$。
(2) 由$|x-3|=1$，得$x-3=\pm1$。
分类讨论如下：
① 若$x-3=1$，则$x=4$；
② 若$x-3=-1$，则$x=2$。
因此方程$|x-3|=1$的解是$x=4$或$x=2$。
将$x=2$代入$4x+m=3x+1$，得$4×2 + m = 3×2 +1$，解得$m=-1$；
将$x=4$代入$4x+m=3x+1$，得$4×4 + m = 3×4 +1$，解得$m=-3$。
故$m$的值是$-1$或$-3$。
解析：
【分析】
（1）求解$|2x-5|-7=0$时，首先要把含绝对值的项单独移到等号一侧，通过移项得到$|2x-5|=7$，参考题中给出的例题方法：绝对值等于正数的数有两个且互为相反数，因此绝对值内的$2x-5$对应等于$7$或$-7$，分两种情况分别解一元一次方程，即可得到方程的全部解，注意不要漏解。
（2）要求$m$的值，需要先求出方程$|x-3|=1$的解，同样用分类讨论的方法得到$x$的两个取值，因为这两个$x$也是方程$4x+m=3x+1$的解，将$x$分别代入该含参方程，就能求出对应的$m$的值。
【解析】
(1) 由$|2x-5|-7=0$，得$|2x-5|=7$，因此$2x-5=\pm7$。
分类讨论如下：
① 若$2x-5=7$，则$2x=12$，解得$x=6$；
② 若$2x-5=-7$，则$2x=-2$，解得$x=-1$。
故原方程的解是$x=6$或$x=-1$。
(2) 由$|x-3|=1$，得$x-3=\pm1$。
分类讨论如下：
① 若$x-3=1$，解得$x=4$；
② 若$x-3=-1$，解得$x=2$。
因此方程$|x-3|=1$的解是$x=4$或$x=2$。
将$x=2$代入$4x+m=3x+1$，得$4×2 + m = 3×2 +1$，解得$m=-1$；
将$x=4$代入$4x+m=3x+1$，得$4×4 + m = 3×4 +1$，解得$m=-3$。
故$m$的值是$-1$或$-3$。
【答案】
(1) $x=6$或$x=-1$；
(2) $m=-1$或$m=-3$。
【知识点】
1. 绝对值方程求解
2. 一元一次方程解法
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是含绝对值的一元一次方程的基础应用，解题核心是利用绝对值的性质对绝对值内的式子分类讨论，避免漏解，同时考查了方程解的定义，将解代入含参方程即可求出参数，整体思路清晰，掌握方法后容易得分。
【难度系数】
0.8
（1）求解$|2x-5|-7=0$时，首先要把含绝对值的项单独移到等号一侧，通过移项得到$|2x-5|=7$，参考题中给出的例题方法：绝对值等于正数的数有两个且互为相反数，因此绝对值内的$2x-5$对应等于$7$或$-7$，分两种情况分别解一元一次方程，即可得到方程的全部解，注意不要漏解。
（2）要求$m$的值，需要先求出方程$|x-3|=1$的解，同样用分类讨论的方法得到$x$的两个取值，因为这两个$x$也是方程$4x+m=3x+1$的解，将$x$分别代入该含参方程，就能求出对应的$m$的值。
【解析】
(1) 由$|2x-5|-7=0$，得$|2x-5|=7$，因此$2x-5=\pm7$。
分类讨论如下：
① 若$2x-5=7$，则$2x=12$，解得$x=6$；
② 若$2x-5=-7$，则$2x=-2$，解得$x=-1$。
故原方程的解是$x=6$或$x=-1$。
(2) 由$|x-3|=1$，得$x-3=\pm1$。
分类讨论如下：
① 若$x-3=1$，解得$x=4$；
② 若$x-3=-1$，解得$x=2$。
因此方程$|x-3|=1$的解是$x=4$或$x=2$。
将$x=2$代入$4x+m=3x+1$，得$4×2 + m = 3×2 +1$，解得$m=-1$；
将$x=4$代入$4x+m=3x+1$，得$4×4 + m = 3×4 +1$，解得$m=-3$。
故$m$的值是$-1$或$-3$。
【答案】
(1) $x=6$或$x=-1$；
(2) $m=-1$或$m=-3$。
【知识点】
1. 绝对值方程求解
2. 一元一次方程解法
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是含绝对值的一元一次方程的基础应用，解题核心是利用绝对值的性质对绝对值内的式子分类讨论，避免漏解，同时考查了方程解的定义，将解代入含参方程即可求出参数，整体思路清晰，掌握方法后容易得分。
【难度系数】
0.8
阅读下面材料:解方程:$y-\frac{1}{4}+4(y-\frac{1}{4})=3(y-\frac{1}{4})+2$.解:设$m=y-\frac{1}{4}$,则原方程可变形为$m+4m=3m+2$,解得$m=1$,所以$y-\frac{1}{4}=1$,解得$y=\frac{5}{4}$.
以上这种解一元一次方程的方法叫作换元法.请用上述方法解方程:$2x-\frac{2}{3}+4(2x-\frac{2}{3})=3(2x-\frac{2}{3})$.
以上这种解一元一次方程的方法叫作换元法.请用上述方法解方程:$2x-\frac{2}{3}+4(2x-\frac{2}{3})=3(2x-\frac{2}{3})$.
答案：设 $n=2x-\frac{2}{3}$,则原方程可变形为 $n+4n=3n$,解得 $n=0$,所以 $2x-\frac{2}{3}=0$,解得 $x=\frac{1}{3}$.
解析：
【分析】
观察待解方程的结构，发现代数式$2x-\frac{2}{3}$在方程中多次重复出现，因此可以借鉴材料中的换元法，将这个重复的整体设为新的未知数$n$，把原方程转化为只含$n$的简单一元一次方程，先求解$n$的值，再将$n$的值代回所设的式子，即可求出$x$的值，这样能避免直接展开计算的繁琐，减少运算错误。
【解析】
解：设$n=2x-\frac{2}{3}$，则原方程可变形为：
$n + 4n = 3n$
合并同类项，得：$5n = 3n$
移项，得：$5n - 3n = 0$，即$2n = 0$
系数化为1，得：$n = 0$
将$n=0$代入$n=2x-\frac{2}{3}$，得：
$2x - \frac{2}{3} = 0$
移项，得：$2x = \frac{2}{3}$
系数化为1，得：$x = \frac{1}{3}$
【答案】
$x=\frac{1}{3}$
【知识点】
换元法，解一元一次方程，整体思想
【点评】
本题重点考查换元法在解方程中的应用，解题的核心是准确识别方程中重复出现的整体结构，通过换元将复杂方程简化为基础的一元一次方程，能有效降低运算难度，提升解题效率，是整体思想在代数运算中的典型应用。
【难度系数】
0.8
观察待解方程的结构，发现代数式$2x-\frac{2}{3}$在方程中多次重复出现，因此可以借鉴材料中的换元法，将这个重复的整体设为新的未知数$n$，把原方程转化为只含$n$的简单一元一次方程，先求解$n$的值，再将$n$的值代回所设的式子，即可求出$x$的值，这样能避免直接展开计算的繁琐，减少运算错误。
【解析】
解：设$n=2x-\frac{2}{3}$，则原方程可变形为：
$n + 4n = 3n$
合并同类项，得：$5n = 3n$
移项，得：$5n - 3n = 0$，即$2n = 0$
系数化为1，得：$n = 0$
将$n=0$代入$n=2x-\frac{2}{3}$，得：
$2x - \frac{2}{3} = 0$
移项，得：$2x = \frac{2}{3}$
系数化为1，得：$x = \frac{1}{3}$
【答案】
$x=\frac{1}{3}$
【知识点】
换元法，解一元一次方程，整体思想
【点评】
本题重点考查换元法在解方程中的应用，解题的核心是准确识别方程中重复出现的整体结构，通过换元将复杂方程简化为基础的一元一次方程，能有效降低运算难度，提升解题效率，是整体思想在代数运算中的典型应用。
【难度系数】
0.8