5. 如图,将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起.
(1) ∠ACE
(2) 当∠DCE=15°时,求∠ACB的度数;
(3) 猜想∠ACB与∠DCE之间的数量关系,并说明理由;
(4) 将三角板ACD绕点C逆时针旋转一周,当直线CD平分∠BCE时,∠ECD=
(1) ∠ACE
=
∠BCD;(填“＞”“＜”或“=”)(2) 当∠DCE=15°时,求∠ACB的度数;
(3) 猜想∠ACB与∠DCE之间的数量关系,并说明理由;
(4) 将三角板ACD绕点C逆时针旋转一周,当直线CD平分∠BCE时,∠ECD=
$45°或135°$
.答案：
5. (1) = 解析: 因为 $∠ACD=∠BCE=90°$,所以 $∠ACD−∠DCE=∠BCE−∠DCE$,即 $∠ACE=∠BCD$.
(2) 因为 $∠BCE=90°$,$∠DCE=15°$,所以 $∠BCD=∠BCE−∠DCE=75°$. 因为 $∠ACD=90°$,所以 $∠ACB=∠ACD+∠BCD=165°$.
(3) $∠ACB+∠DCE=180°$. 理由如下: 因为 $∠ACD=∠BCE=90°$,所以 $∠ACD+∠BCE=180°$,所以 $∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE=180°$,即 $∠ACB+∠DCE=180°$.
(4) $45°或135°$ 解析: 因为直线 CD 平分$∠BCE$,所以分类讨论如下:① 当三角板 ACD 旋转到如图①所示位置时,因为直线 CD 平分$∠BCE$,所以 $∠ECD=\frac{1}{2}∠BCE=45°$;② 当三角板 ACD 旋转到如图②所示位置时,因为直线 CD 平分$∠BCE$,所以 $∠1=\frac{1}{2}∠BCE=45°$,所以 $∠ECD=180°−∠1=135°$. 综上所述,当直线 CD 平分$∠BCE$时,$∠ECD$ 的度数为$45°或135°$.
5. (1) = 解析: 因为 $∠ACD=∠BCE=90°$,所以 $∠ACD−∠DCE=∠BCE−∠DCE$,即 $∠ACE=∠BCD$.
(2) 因为 $∠BCE=90°$,$∠DCE=15°$,所以 $∠BCD=∠BCE−∠DCE=75°$. 因为 $∠ACD=90°$,所以 $∠ACB=∠ACD+∠BCD=165°$.
(3) $∠ACB+∠DCE=180°$. 理由如下: 因为 $∠ACD=∠BCE=90°$,所以 $∠ACD+∠BCE=180°$,所以 $∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE=180°$,即 $∠ACB+∠DCE=180°$.
(4) $45°或135°$ 解析: 因为直线 CD 平分$∠BCE$,所以分类讨论如下:① 当三角板 ACD 旋转到如图①所示位置时,因为直线 CD 平分$∠BCE$,所以 $∠ECD=\frac{1}{2}∠BCE=45°$;② 当三角板 ACD 旋转到如图②所示位置时,因为直线 CD 平分$∠BCE$,所以 $∠1=\frac{1}{2}∠BCE=45°$,所以 $∠ECD=180°−∠1=135°$. 综上所述,当直线 CD 平分$∠BCE$时,$∠ECD$ 的度数为$45°或135°$.
解析：
【分析】
（1）判断∠ACE和∠BCD的大小关系时，观察可知两个直角三角板的直角∠ACD、∠BCE均为90°，两个角都等于90°减去公共角∠DCE，因此可推出两角相等；
（2）计算∠ACB的度数时，先结合∠BCE=90°和已知的∠DCE=15°，用减法求出∠BCD的度数，再加上∠ACD的90°即可得到结果；
（3）推导∠ACB与∠DCE的数量关系时，可将∠ACB拆分为∠ACD+∠BCD，结合∠BCD=90°-∠DCE代入化简，即可得到两角的数量关系；
（4）直线CD平分∠BCE时要注意分类讨论：一种是CD在∠BCE内部，直接用角平分线性质计算∠ECD；另一种是CD的反向延长线平分∠BCE，结合平角的性质计算∠ECD，避免漏解。
【解析】
(1) 因为$∠ ACD=∠ BCE=90°$，所以$∠ ACD-∠ DCE=∠ BCE-∠ DCE$，即$∠ ACE=∠ BCD$。
(2) 已知$∠ BCE=90°$，$∠ DCE=15°$，
则$∠ BCD=∠ BCE-∠ DCE=90°-15°=75°$，
又因为$∠ ACD=90°$，
所以$∠ ACB=∠ ACD+∠ BCD=90°+75°=165°$。
(3) $∠ ACB+∠ DCE=180°$，理由如下：
因为$∠ ACD=∠ BCE=90°$，
所以$∠ ACD+∠ BCE=180°$，
即$∠ ACE+∠ DCE+∠ BCD+∠ DCE=180°$，
又因为$∠ ACE+∠ DCE+∠ BCD=∠ ACB$，
所以$∠ ACB+∠ DCE=180°$。
(4) 分两种情况讨论：
① 当CD在$∠ BCE$内部时，直线CD平分$∠ BCE$，$∠ BCE=90°$，所以$∠ ECD=\frac{1}{2}∠ BCE=\frac{1}{2}×90°=45°$；
② 当CD的反向延长线平分$∠ BCE$时，平分所得的角$∠1=\frac{1}{2}∠ BCE=45°$，此时$∠ ECD=180°-∠1=180°-45°=135°$。
综上可得$∠ ECD$的度数为$45°$或$135°$。
【答案】
(1) $=$
(2) $165°$
(3) $∠ ACB+∠ DCE=180°$
(4) $45°$或$135°$
【知识点】
同角的余角相等，角的和差计算，角平分线的定义
【点评】
本题以三角板叠放为背景考查角的相关计算，既包含基础的角的关系推导，也需要运用分类讨论思想解决多解问题，能有效锻炼学生的逻辑推理能力和思维严谨性。
【难度系数】
0.6
（1）判断∠ACE和∠BCD的大小关系时，观察可知两个直角三角板的直角∠ACD、∠BCE均为90°，两个角都等于90°减去公共角∠DCE，因此可推出两角相等；
（2）计算∠ACB的度数时，先结合∠BCE=90°和已知的∠DCE=15°，用减法求出∠BCD的度数，再加上∠ACD的90°即可得到结果；
（3）推导∠ACB与∠DCE的数量关系时，可将∠ACB拆分为∠ACD+∠BCD，结合∠BCD=90°-∠DCE代入化简，即可得到两角的数量关系；
（4）直线CD平分∠BCE时要注意分类讨论：一种是CD在∠BCE内部，直接用角平分线性质计算∠ECD；另一种是CD的反向延长线平分∠BCE，结合平角的性质计算∠ECD，避免漏解。
【解析】
(1) 因为$∠ ACD=∠ BCE=90°$，所以$∠ ACD-∠ DCE=∠ BCE-∠ DCE$，即$∠ ACE=∠ BCD$。
(2) 已知$∠ BCE=90°$，$∠ DCE=15°$，
则$∠ BCD=∠ BCE-∠ DCE=90°-15°=75°$，
又因为$∠ ACD=90°$，
所以$∠ ACB=∠ ACD+∠ BCD=90°+75°=165°$。
(3) $∠ ACB+∠ DCE=180°$，理由如下：
因为$∠ ACD=∠ BCE=90°$，
所以$∠ ACD+∠ BCE=180°$，
即$∠ ACE+∠ DCE+∠ BCD+∠ DCE=180°$，
又因为$∠ ACE+∠ DCE+∠ BCD=∠ ACB$，
所以$∠ ACB+∠ DCE=180°$。
(4) 分两种情况讨论：
① 当CD在$∠ BCE$内部时，直线CD平分$∠ BCE$，$∠ BCE=90°$，所以$∠ ECD=\frac{1}{2}∠ BCE=\frac{1}{2}×90°=45°$；
② 当CD的反向延长线平分$∠ BCE$时，平分所得的角$∠1=\frac{1}{2}∠ BCE=45°$，此时$∠ ECD=180°-∠1=180°-45°=135°$。
综上可得$∠ ECD$的度数为$45°$或$135°$。
【答案】
(1) $=$
(2) $165°$
(3) $∠ ACB+∠ DCE=180°$
(4) $45°$或$135°$
【知识点】
同角的余角相等，角的和差计算，角平分线的定义
【点评】
本题以三角板叠放为背景考查角的相关计算，既包含基础的角的关系推导，也需要运用分类讨论思想解决多解问题，能有效锻炼学生的逻辑推理能力和思维严谨性。
【难度系数】
0.6
典例⑥ 如图，$∠ A=∠ C$，$AD$，$BC$交于点$E$，$∠2=23°$，则$∠1$的度数为
（
）
A.$77°$
B.$67°$
C.$45°$
D.$23°$
【思路点拨】因为$∠ C+∠1+∠ CED=∠ A+∠2+∠ AEB=180°$，$∠ A=∠ C$，$∠ CED=∠ AEB$，所以$∠1=∠2=23°$。
【答案】D
名师大招▶两条直线相交所形成的四个角中任意的两个角不是对顶角就是互补的角。
（
）A.$77°$
B.$67°$
C.$45°$
D.$23°$
【思路点拨】因为$∠ C+∠1+∠ CED=∠ A+∠2+∠ AEB=180°$，$∠ A=∠ C$，$∠ CED=∠ AEB$，所以$∠1=∠2=23°$。
【答案】D
名师大招▶两条直线相交所形成的四个角中任意的两个角不是对顶角就是互补的角。
答案：D
解析：
【分析】
要求∠1的度数，可先分析∠1和已知角的关系：观察图形可知∠1在△CDE中，∠2在△ABE中，根据三角形内角和为180°，两个三角形的内角和均为180°；又已知∠A=∠C，且AD、BC交于点E，可得一组相等的对顶角∠CED=∠AEB，结合这三组相等的量，即可推导出∠1和∠2相等，进而求得∠1的度数。
【解析】
在△CDE中，由三角形内角和定理可得：$∠ C + ∠ 1 + ∠ CED = 180°$；
在△ABE中，由三角形内角和定理可得：$∠ A + ∠ 2 + ∠ AEB = 180°$。
∵ AD与BC相交于点E，∠CED与∠AEB是对顶角，
∴ $∠ CED = ∠ AEB$，
又
∵ $∠ A = ∠ C$，
∴ $∠ 1 = ∠ 2$，
∵ $∠ 2 = 23°$，
∴ $∠ 1 = 23°$。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是结合图形挖掘出隐含的对顶角相等的条件，结合已知的等角关系和三角形内角和性质，快速建立所求角与已知角的等量关系。
【难度系数】
0.85
要求∠1的度数，可先分析∠1和已知角的关系：观察图形可知∠1在△CDE中，∠2在△ABE中，根据三角形内角和为180°，两个三角形的内角和均为180°；又已知∠A=∠C，且AD、BC交于点E，可得一组相等的对顶角∠CED=∠AEB，结合这三组相等的量，即可推导出∠1和∠2相等，进而求得∠1的度数。
【解析】
在△CDE中，由三角形内角和定理可得：$∠ C + ∠ 1 + ∠ CED = 180°$；
在△ABE中，由三角形内角和定理可得：$∠ A + ∠ 2 + ∠ AEB = 180°$。
∵ AD与BC相交于点E，∠CED与∠AEB是对顶角，
∴ $∠ CED = ∠ AEB$，
又
∵ $∠ A = ∠ C$，
∴ $∠ 1 = ∠ 2$，
∵ $∠ 2 = 23°$，
∴ $∠ 1 = 23°$。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是结合图形挖掘出隐含的对顶角相等的条件，结合已知的等角关系和三角形内角和性质，快速建立所求角与已知角的等量关系。
【难度系数】
0.85
6. 如图，直线AB，CD相交于点O.若∠1=40°，∠3比∠2的2倍多10°，则∠2的度数为 （
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
C
）A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
答案：6. C
解析：
【分析】
首先观察图形，直线AB与CD相交于点O，根据对顶角相等的性质，可得∠AOD=∠3；又因为∠AOD由∠1和∠2组成，即∠AOD=∠1+∠2，因此可推导出∠1+∠2=∠3。题目已知∠1的度数，同时给出∠3与∠2的数量关系，我们可以设∠2的度数为未知数，根据上述等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠AOD与∠3是对顶角，根据对顶角相等可得：∠AOD=∠3。
又
∵∠AOD=∠1+∠2，
∴∠1+∠2=∠3。
设∠2的度数为$ x $，由题意可知∠3=2x+10°，且∠1=40°，代入等量关系得：
$ 40° + x = 2x + 10° $
移项计算得：$ x = 40° - 10° = 30° $
即∠2的度数为30°。
【答案】
C
【知识点】
1. 对顶角相等
2. 角的和差计算
3. 方程法求角度
【点评】
本题是角度计算的基础题型，将相交线的性质与方程思想结合考查，解题的核心是找准角度之间的等量关系，熟练掌握对顶角的性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，直线AB与CD相交于点O，根据对顶角相等的性质，可得∠AOD=∠3；又因为∠AOD由∠1和∠2组成，即∠AOD=∠1+∠2，因此可推导出∠1+∠2=∠3。题目已知∠1的度数，同时给出∠3与∠2的数量关系，我们可以设∠2的度数为未知数，根据上述等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠AOD与∠3是对顶角，根据对顶角相等可得：∠AOD=∠3。
又
∵∠AOD=∠1+∠2，
∴∠1+∠2=∠3。
设∠2的度数为$ x $，由题意可知∠3=2x+10°，且∠1=40°，代入等量关系得：
$ 40° + x = 2x + 10° $
移项计算得：$ x = 40° - 10° = 30° $
即∠2的度数为30°。
【答案】
C
【知识点】
1. 对顶角相等
2. 角的和差计算
3. 方程法求角度
【点评】
本题是角度计算的基础题型，将相交线的性质与方程思想结合考查，解题的核心是找准角度之间的等量关系，熟练掌握对顶角的性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
典例⑦ 如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,AC⊥CD,AB=2,AD=3,则AC长的取值范围是 
()
A.$AC＞2$
B.$AC＜3$
C.$2＜AC＜3$
D.$1＜AC＜5$
【思路点拨】由“垂线段最短”,得$AB＜AC＜AD$.因为$AB=2,AD=3$,所以AC长的取值范围是$2＜AC＜3$.
【答案】C
名师大招▶“垂线段最短”这个性质,可以用于寻找图形中最短的线段,在解决中考动态问题时,经常用这个知识来确定动线段的取值范围、动点的运动范围、动线段的最小值等.
()A.$AC＞2$
B.$AC＜3$
C.$2＜AC＜3$
D.$1＜AC＜5$
【思路点拨】由“垂线段最短”,得$AB＜AC＜AD$.因为$AB=2,AD=3$,所以AC长的取值范围是$2＜AC＜3$.
【答案】C
名师大招▶“垂线段最短”这个性质,可以用于寻找图形中最短的线段,在解决中考动态问题时,经常用这个知识来确定动线段的取值范围、动点的运动范围、动线段的最小值等.
答案：C
解析：
【分析】
解题时先观察图形中的两个直角三角形：首先看Rt△ABC，∠B是直角，AC是斜边，根据相关性质可知斜边长度大于直角边，因此AC比AB长；再看Rt△ACD，∠ACD是直角，AD是斜边，AC是直角边，因此AC比AD短。最后代入已知的AB、AD长度，就能推导得出AC的取值范围。
【解析】
解：
∵AB⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，且AC为斜边，
根据直角三角形中斜边大于任意一条直角边，可得AC＞AB，
∵AB=2，
∴AC＞2；
又
∵AC⊥CD，
∴△ACD是直角三角形，且AD为斜边，
同理可得AC＜AD，
∵AD=3，
∴AC＜3；
综上，AC长的取值范围是2＜AC＜3。
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短；直角三角形斜边大于直角边
【点评】
本题考查垂线段最短和直角三角形边的大小关系的应用，解题关键是找准不同直角三角形中斜边与直角边的对应关系，从而准确判断线段的大小，这类方法是几何中求解线段取值范围的常用基础方法。
【难度系数】
0.75
解题时先观察图形中的两个直角三角形：首先看Rt△ABC，∠B是直角，AC是斜边，根据相关性质可知斜边长度大于直角边，因此AC比AB长；再看Rt△ACD，∠ACD是直角，AD是斜边，AC是直角边，因此AC比AD短。最后代入已知的AB、AD长度，就能推导得出AC的取值范围。
【解析】
解：
∵AB⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，且AC为斜边，
根据直角三角形中斜边大于任意一条直角边，可得AC＞AB，
∵AB=2，
∴AC＞2；
又
∵AC⊥CD，
∴△ACD是直角三角形，且AD为斜边，
同理可得AC＜AD，
∵AD=3，
∴AC＜3；
综上，AC长的取值范围是2＜AC＜3。
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短；直角三角形斜边大于直角边
【点评】
本题考查垂线段最短和直角三角形边的大小关系的应用，解题关键是找准不同直角三角形中斜边与直角边的对应关系，从而准确判断线段的大小，这类方法是几何中求解线段取值范围的常用基础方法。
【难度系数】
0.75