10. 新素养 推理能力 如图，将第1幅图中的正六边形进行分割得到第2幅图，再将第2幅图中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到第3幅图，再将第3幅图中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割……则第2026幅图中的正六边形共有
6076
个。答案：10. 6 076 解析: 由题图,得后一幅图中正六边形的个数比相邻前一幅图中多3,则第 n(n 为正整数)幅图中正六边形的个数为 3n−2,所以第 2 026 幅图中的正六边形共有 3×2 026−2=6 076(个).
解析：
【分析】
解题时先从已知的前3幅图入手，统计每幅图中正六边形的数量，观察相邻两幅图的数量变化特征：第1幅图有1个正六边形，第2幅图比第1幅多3个，第3幅图比第2幅多3个，可得出“每分割1次，正六边形总数增加3”的规律，据此推导第n幅图的正六边形个数的通用表达式，最后代入n=2026计算即可。
【解析】
首先统计前3幅图的正六边形数量：
第1幅图：正六边形个数为1；
第2幅图：在第1幅图基础上新增3个，总数为$1+3=4$；
第3幅图：在第2幅图基础上再新增3个，总数为$4+3=7$；
由此归纳规律：第$n$（$n$为正整数）幅图中，正六边形的个数为$1+3(n-1)=3n-2$。
将$n=2026$代入公式计算：
$3×2026 - 2=6078-2=6076$
【答案】
6076
【知识点】
图形规律探究，代数式求值，整式化简
【点评】
本题是典型的图形变化规律题，核心是通过对比相邻图形的数量差找到变化的共性，再推导一般规律代入计算，能够有效考查学生的观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的前3幅图入手，统计每幅图中正六边形的数量，观察相邻两幅图的数量变化特征：第1幅图有1个正六边形，第2幅图比第1幅多3个，第3幅图比第2幅多3个，可得出“每分割1次，正六边形总数增加3”的规律，据此推导第n幅图的正六边形个数的通用表达式，最后代入n=2026计算即可。
【解析】
首先统计前3幅图的正六边形数量：
第1幅图：正六边形个数为1；
第2幅图：在第1幅图基础上新增3个，总数为$1+3=4$；
第3幅图：在第2幅图基础上再新增3个，总数为$4+3=7$；
由此归纳规律：第$n$（$n$为正整数）幅图中，正六边形的个数为$1+3(n-1)=3n-2$。
将$n=2026$代入公式计算：
$3×2026 - 2=6078-2=6076$
【答案】
6076
【知识点】
图形规律探究，代数式求值，整式化简
【点评】
本题是典型的图形变化规律题，核心是通过对比相邻图形的数量差找到变化的共性，再推导一般规律代入计算，能够有效考查学生的观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
如图①,点C在线段AB上,图中共有3条线段:线段AB、线段AC和线段BC.若其中有一条线段的长是另一条线段长的2倍,则称点C是线段AB的“二倍点”.
(1) 一条线段的中点这条线段的“二倍点”;(填“是”或“不是”)
【深入研究】
如图②,在数轴上,点A表示的数为-10,点B表示的数为30.若点M从点B开始,以每秒3个单位长度的速度向点A运动,当点M到达点A时停止运动,设运动的时间为t s.
(2) 点M在运动过程中表示的数为;(用含t的代数式表示)
(3) 当t为何值时,点M是线段AB的“二倍点”?
(4) 同时点N从点A的位置开始,以每秒2个单位长度的速度向点B运动,并与点M同时停止,求点M是线段AN的“二倍点”时t的值.
【思路点拨】(1) 根据定义判断即可;(2) 由题意,得点M在运动过程中表示的数为30−3t;(3) 分三种情况:AM=2BM或AB=2AM=2BM或BM=2AM,分别列方程求解;(4) 分三种情况:AM=2MN或AN=2AM=2MN或MN=2AM,分别列方程求解.
【答案】(1) 是
(2) 30−3t
(3) 由题意,得AB=40,AM=30−3t−(−10)=40−3t,BM=3t.因为点M是线段AB的“二倍点”,所以分类讨论如下:① 当AM=2BM时,40−3t=2×3t,解得t=$\frac{40}{9}$;② 当AB=2AM=2BM时,40=2×3t,解得t=$\frac{20}{3}$;③ 当BM=2AM时,3t=2(40−3t),解得t=$\frac{80}{9}$.综上所述,当t的值为$\frac{40}{9}$或$\frac{20}{3}$或$\frac{80}{9}$时,点M是线段AB的“二倍点”.
(4) 由题意,得AN=2t,AM=40−3t.因为点M是线段AN的“二倍点”,所以MN=AN−AM=2t−(40−3t)=5t−40.分类讨论如下:① 当AM=2MN时,40−3t=2(5t−40),解得t=$\frac{120}{13}$;② 当AN=2AM=2MN时,2t=2(40−3t),解得t=10;③ 当MN=2AM时,5t−40=2(40−3t),解得t=$\frac{120}{11}$.综上所述,当t的值为$\frac{120}{13}$或10或$\frac{120}{11}$时,点M是线段AN的“二倍点”.
要点提示▶根据新定义进行分类讨论,列一元一次方程计算,正确理解线段的位置及数量关系是解题的关键.
(1) 一条线段的中点这条线段的“二倍点”;(填“是”或“不是”)
【深入研究】
如图②,在数轴上,点A表示的数为-10,点B表示的数为30.若点M从点B开始,以每秒3个单位长度的速度向点A运动,当点M到达点A时停止运动,设运动的时间为t s.
(2) 点M在运动过程中表示的数为;(用含t的代数式表示)
(3) 当t为何值时,点M是线段AB的“二倍点”?
(4) 同时点N从点A的位置开始,以每秒2个单位长度的速度向点B运动,并与点M同时停止,求点M是线段AN的“二倍点”时t的值.
【思路点拨】(1) 根据定义判断即可;(2) 由题意,得点M在运动过程中表示的数为30−3t;(3) 分三种情况:AM=2BM或AB=2AM=2BM或BM=2AM,分别列方程求解;(4) 分三种情况:AM=2MN或AN=2AM=2MN或MN=2AM,分别列方程求解.
【答案】(1) 是
(2) 30−3t
(3) 由题意,得AB=40,AM=30−3t−(−10)=40−3t,BM=3t.因为点M是线段AB的“二倍点”,所以分类讨论如下:① 当AM=2BM时,40−3t=2×3t,解得t=$\frac{40}{9}$;② 当AB=2AM=2BM时,40=2×3t,解得t=$\frac{20}{3}$;③ 当BM=2AM时,3t=2(40−3t),解得t=$\frac{80}{9}$.综上所述,当t的值为$\frac{40}{9}$或$\frac{20}{3}$或$\frac{80}{9}$时,点M是线段AB的“二倍点”.
(4) 由题意,得AN=2t,AM=40−3t.因为点M是线段AN的“二倍点”,所以MN=AN−AM=2t−(40−3t)=5t−40.分类讨论如下:① 当AM=2MN时,40−3t=2(5t−40),解得t=$\frac{120}{13}$;② 当AN=2AM=2MN时,2t=2(40−3t),解得t=10;③ 当MN=2AM时,5t−40=2(40−3t),解得t=$\frac{120}{11}$.综上所述,当t的值为$\frac{120}{13}$或10或$\frac{120}{11}$时,点M是线段AN的“二倍点”.
要点提示▶根据新定义进行分类讨论,列一元一次方程计算,正确理解线段的位置及数量关系是解题的关键.
答案：解：
(1) 是
(2) $30-3t$
(3) 由题意得，$AB=30-(-10)=40$，
点M表示的数为$30-3t$，因此$AM=(30-3t)-(-10)=40-3t$，$BM=3t$。
因为点M是线段AB的“二倍点”，分类讨论如下：
① 当$AM=2BM$时，$40-3t=2× 3t$，
解得$t=\frac{40}{9}$；
② 当$AB=2BM$（此时$AM=BM$）时，$40=2× 3t$，
解得$t=\frac{20}{3}$；
③ 当$BM=2AM$时，$3t=2(40-3t)$，
解得$t=\frac{80}{9}$。
综上，当$t$的值为$\frac{40}{9}$或$\frac{20}{3}$或$\frac{80}{9}$时，点M是线段AB的“二倍点”。
(4) 由题意得，点N表示的数为$-10+2t$，因此$AN=2t$，$AM=40-3t$，
$MN=AN-AM=2t-(40-3t)=5t-40$。
因为点M是线段AN的“二倍点”，分类讨论如下：
① 当$AM=2MN$时，$40-3t=2(5t-40)$，
解得$t=\frac{120}{13}$；
② 当$AN=2AM$（此时$AM=MN$）时，$2t=2(40-3t)$，
解得$t=10$；
③ 当$MN=2AM$时，$5t-40=2(40-3t)$，
解得$t=\frac{120}{11}$。
综上，当$t$的值为$\frac{120}{13}$或$10$或$\frac{120}{11}$时，点M是线段AN的“二倍点”。
(1) 是
(2) $30-3t$
(3) 由题意得，$AB=30-(-10)=40$，
点M表示的数为$30-3t$，因此$AM=(30-3t)-(-10)=40-3t$，$BM=3t$。
因为点M是线段AB的“二倍点”，分类讨论如下：
① 当$AM=2BM$时，$40-3t=2× 3t$，
解得$t=\frac{40}{9}$；
② 当$AB=2BM$（此时$AM=BM$）时，$40=2× 3t$，
解得$t=\frac{20}{3}$；
③ 当$BM=2AM$时，$3t=2(40-3t)$，
解得$t=\frac{80}{9}$。
综上，当$t$的值为$\frac{40}{9}$或$\frac{20}{3}$或$\frac{80}{9}$时，点M是线段AB的“二倍点”。
(4) 由题意得，点N表示的数为$-10+2t$，因此$AN=2t$，$AM=40-3t$，
$MN=AN-AM=2t-(40-3t)=5t-40$。
因为点M是线段AN的“二倍点”，分类讨论如下：
① 当$AM=2MN$时，$40-3t=2(5t-40)$，
解得$t=\frac{120}{13}$；
② 当$AN=2AM$（此时$AM=MN$）时，$2t=2(40-3t)$，
解得$t=10$；
③ 当$MN=2AM$时，$5t-40=2(40-3t)$，
解得$t=\frac{120}{11}$。
综上，当$t$的值为$\frac{120}{13}$或$10$或$\frac{120}{11}$时，点M是线段AN的“二倍点”。
解析：
【分析】
(1) 根据“二倍点”的定义，线段中点将原线段分为两条等长的短线段，原线段长度是每条短线段的2倍，满足“有一条线段的长是另一条线段长的2倍”的条件，因此可判断中点是二倍点。
(2) 点M从数轴上表示30的点B向左运动，每秒运动3个单位长度，t秒共运动3t个单位，因此t秒后点M表示的数为起点数减去运动路程，即30-3t。
(3) 先计算AB的总长度为30-(-10)=40，再用含t的代数式分别表示AM=40-3t、BM=3t。根据“二倍点”的定义分三种情况讨论：①AM=2BM；②AB=2BM（此时M是AB中点，AM=BM）；③BM=2AM，分别列一元一次方程求解，即可得到符合条件的t值。
(4) 先表示点N的运动相关线段长度：N从A向右运动，每秒2个单位，t秒后AN=2t，MN=AN-AM=5t-40。再根据“二倍点”定义分三种情况：①AM=2MN；②AN=2AM（此时M是AN中点，AM=MN）；③MN=2AM，分别列方程求解，检验解在运动时间范围内即可。
【解析】
(1) 线段的中点将线段分为两条相等的线段，原线段长是每条短线段的2倍，符合“二倍点”的定义，故填是。
(2) 点M从点B（表示数30）以每秒3个单位长度向左运动，t秒运动的路程为3t，因此点M表示的数为$30-3t$。
(3) 由题意得，$AB=30-(-10)=40$，
点M表示的数为$30-3t$，因此$AM=(30-3t)-(-10)=40-3t$，$BM=3t$。
因为点M是线段AB的“二倍点”，分类讨论如下：
① 当$AM=2BM$时，$40-3t=2× 3t$，
解得$t=\frac{40}{9}$；
② 当$AB=2BM$（此时$AM=BM$）时，$40=2× 3t$，
解得$t=\frac{20}{3}$；
③ 当$BM=2AM$时，$3t=2(40-3t)$，
解得$t=\frac{80}{9}$。
综上，当$t$的值为$\frac{40}{9}$或$\frac{20}{3}$或$\frac{80}{9}$时，点M是线段AB的“二倍点”。
(4) 由题意得，点N表示的数为$-10+2t$，因此$AN=2t$，$AM=40-3t$，
$MN=AN-AM=2t-(40-3t)=5t-40$。
因为点M是线段AN的“二倍点”，分类讨论如下：
① 当$AM=2MN$时，$40-3t=2(5t-40)$，
解得$t=\frac{120}{13}$；
② 当$AN=2AM$（此时$AM=MN$）时，$2t=2(40-3t)$，
解得$t=10$；
③ 当$MN=2AM$时，$5t-40=2(40-3t)$，
解得$t=\frac{120}{11}$。
综上，当$t$的值为$\frac{120}{13}$或$10$或$\frac{120}{11}$时，点M是线段AN的“二倍点”。
【答案】
(1) 是
(2) $30-3t$
(3) $\frac{40}{9}$或$\frac{20}{3}$或$\frac{80}{9}$
(4) $\frac{120}{13}$或$10$或$\frac{120}{11}$
【知识点】
新定义问题，数轴动点问题，一元一次方程应用
【点评】
本题结合新定义和数轴动点场景考查分类讨论思想，解题核心是准确理解“二倍点”的三种数量关系，不重不漏地分情况列方程求解，同时需注意结合动点运动范围验证解的合理性，对逻辑思维和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
(1) 根据“二倍点”的定义，线段中点将原线段分为两条等长的短线段，原线段长度是每条短线段的2倍，满足“有一条线段的长是另一条线段长的2倍”的条件，因此可判断中点是二倍点。
(2) 点M从数轴上表示30的点B向左运动，每秒运动3个单位长度，t秒共运动3t个单位，因此t秒后点M表示的数为起点数减去运动路程，即30-3t。
(3) 先计算AB的总长度为30-(-10)=40，再用含t的代数式分别表示AM=40-3t、BM=3t。根据“二倍点”的定义分三种情况讨论：①AM=2BM；②AB=2BM（此时M是AB中点，AM=BM）；③BM=2AM，分别列一元一次方程求解，即可得到符合条件的t值。
(4) 先表示点N的运动相关线段长度：N从A向右运动，每秒2个单位，t秒后AN=2t，MN=AN-AM=5t-40。再根据“二倍点”定义分三种情况：①AM=2MN；②AN=2AM（此时M是AN中点，AM=MN）；③MN=2AM，分别列方程求解，检验解在运动时间范围内即可。
【解析】
(1) 线段的中点将线段分为两条相等的线段，原线段长是每条短线段的2倍，符合“二倍点”的定义，故填是。
(2) 点M从点B（表示数30）以每秒3个单位长度向左运动，t秒运动的路程为3t，因此点M表示的数为$30-3t$。
(3) 由题意得，$AB=30-(-10)=40$，
点M表示的数为$30-3t$，因此$AM=(30-3t)-(-10)=40-3t$，$BM=3t$。
因为点M是线段AB的“二倍点”，分类讨论如下：
① 当$AM=2BM$时，$40-3t=2× 3t$，
解得$t=\frac{40}{9}$；
② 当$AB=2BM$（此时$AM=BM$）时，$40=2× 3t$，
解得$t=\frac{20}{3}$；
③ 当$BM=2AM$时，$3t=2(40-3t)$，
解得$t=\frac{80}{9}$。
综上，当$t$的值为$\frac{40}{9}$或$\frac{20}{3}$或$\frac{80}{9}$时，点M是线段AB的“二倍点”。
(4) 由题意得，点N表示的数为$-10+2t$，因此$AN=2t$，$AM=40-3t$，
$MN=AN-AM=2t-(40-3t)=5t-40$。
因为点M是线段AN的“二倍点”，分类讨论如下：
① 当$AM=2MN$时，$40-3t=2(5t-40)$，
解得$t=\frac{120}{13}$；
② 当$AN=2AM$（此时$AM=MN$）时，$2t=2(40-3t)$，
解得$t=10$；
③ 当$MN=2AM$时，$5t-40=2(40-3t)$，
解得$t=\frac{120}{11}$。
综上，当$t$的值为$\frac{120}{13}$或$10$或$\frac{120}{11}$时，点M是线段AN的“二倍点”。
【答案】
(1) 是
(2) $30-3t$
(3) $\frac{40}{9}$或$\frac{20}{3}$或$\frac{80}{9}$
(4) $\frac{120}{13}$或$10$或$\frac{120}{11}$
【知识点】
新定义问题，数轴动点问题，一元一次方程应用
【点评】
本题结合新定义和数轴动点场景考查分类讨论思想，解题核心是准确理解“二倍点”的三种数量关系，不重不漏地分情况列方程求解，同时需注意结合动点运动范围验证解的合理性，对逻辑思维和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.3