例 题 有一个电池组(电源电压保持不变)、一个开关、一个已知电阻$R_0$和导线若干,按下列两种情况分别设计一个测未知电阻$R_x$的值的电路,并列出$R_x$的测量表达式。
(1) 只有一个电流表时;(2) 只有一个电压表时。
解 析 由于只有一个电流表或电压表,无法同时测出通过未知电阻$R_x$上的电流和$R_x$两端的电压,需借助已知电阻$R_0$与$R_x$组成串联电路或并联电路,根据串、并联电路中电压与电流的关系设计电路。
(1) 当只有一个电流表时:
方法1: ① 用所给器材连成图14-5-3所示电路,② 断开开关S,测出电流表的示数为$I_0$,③ 闭合开关S,测出电流表的示数为$I$。
由于电源电压保持不变,得到$U=I_0R_0$和$U=I\frac{R_0R_x}{R_0+R_x}$,可求得$R_x=\frac{I_0}{I-I_0}R_0$。
方法2: ① 用所给器材连成图14-5-4所示电路,② 断开开关S,测出电流表的示数为$I$,③ 闭合开关S,测出电流表的示数为$I_0$。
由于电源电压不变,得到$U=I(R_0+R_x)$和$U=I_0R_0$,可求得$R_x=\frac{I_0-I}{I}R_0$。
(2) 只有一个电压表时: ① 用所给器材连成图14-5-5所示电路,② 断开开关S,测出电压表的示数为$U_0$,③ 闭合开关S,测出电压表的示数为$U$($U$为电源电压)。
在开关S断开时,$R_0$两端电压为$U_0$,$R_x$两端电压为$U-U_0$,根据串联分压原理得$\frac{U_0}{U-U_0}=\frac{R_0}{R_x}$,于是可求得$R_x=\frac{U-U_0}{U_0}R_0$。
说 明 从以上设计中可以看到,只用一个电表时必须测两次,两次的示数不能相等,而且任何一次的示数均不能为零。
(1) 只有一个电流表时;(2) 只有一个电压表时。
解 析 由于只有一个电流表或电压表,无法同时测出通过未知电阻$R_x$上的电流和$R_x$两端的电压,需借助已知电阻$R_0$与$R_x$组成串联电路或并联电路,根据串、并联电路中电压与电流的关系设计电路。
(1) 当只有一个电流表时:
方法1: ① 用所给器材连成图14-5-3所示电路,② 断开开关S,测出电流表的示数为$I_0$,③ 闭合开关S,测出电流表的示数为$I$。
由于电源电压保持不变,得到$U=I_0R_0$和$U=I\frac{R_0R_x}{R_0+R_x}$,可求得$R_x=\frac{I_0}{I-I_0}R_0$。
方法2: ① 用所给器材连成图14-5-4所示电路,② 断开开关S,测出电流表的示数为$I$,③ 闭合开关S,测出电流表的示数为$I_0$。
由于电源电压不变,得到$U=I(R_0+R_x)$和$U=I_0R_0$,可求得$R_x=\frac{I_0-I}{I}R_0$。
(2) 只有一个电压表时: ① 用所给器材连成图14-5-5所示电路,② 断开开关S,测出电压表的示数为$U_0$,③ 闭合开关S,测出电压表的示数为$U$($U$为电源电压)。
在开关S断开时,$R_0$两端电压为$U_0$,$R_x$两端电压为$U-U_0$,根据串联分压原理得$\frac{U_0}{U-U_0}=\frac{R_0}{R_x}$,于是可求得$R_x=\frac{U-U_0}{U_0}R_0$。
说 明 从以上设计中可以看到,只用一个电表时必须测两次,两次的示数不能相等,而且任何一次的示数均不能为零。
答案：解：
(1) 只有一个电流表时：
方法1：
① 按图14-5-3连接电路，闭合总开关$S_\mathrm{总}$，断开开关S，读出电流表示数为$I_0$，此时电路只有$R_0$工作，电源电压$U=I_0R_0$；
② 闭合开关S，$R_0$与$R_x$并联，读出电流表示数为干路总电流$I$，此时电源电压$U=I·\frac{R_0R_x}{R_0+R_x}$。
电源电压恒定，联立两式得：
$I_0R_0 = I·\frac{R_0R_x}{R_0+R_x}$
整理得测量表达式：
$R_x=\frac{I_0}{I-I_0}R_0$
方法2：
① 按图14-5-4连接电路，闭合总开关$S_\mathrm{总}$，断开开关S，$R_0$与$R_x$串联，读出电流表示数为$I$，电源电压$U=I(R_0+R_x)$；
② 闭合开关S，$R_x$被短路，电路只有$R_0$工作，读出电流表示数为$I_0$，电源电压$U=I_0R_0$。
电源电压恒定，联立两式得：
$I(R_0+R_x)=I_0R_0$
整理得测量表达式：
$R_x=\frac{I_0-I}{I}R_0$
(2) 只有一个电压表时：
① 按图14-5-5连接电路，闭合总开关$S_\mathrm{总}$，断开开关S，$R_0$与$R_x$串联，电压表测$R_0$两端电压，读出电压表示数为$U_0$；
② 闭合开关S，$R_x$被短路，电压表测电源电压，读出电压表示数为$U$。
串联电路电流处处相等，由欧姆定律得$\frac{U_0}{R_0}=\frac{U-U_0}{R_x}$，整理得测量表达式：
$R_x=\frac{U-U_0}{U_0}R_0$
(1) 只有一个电流表时：
方法1：
① 按图14-5-3连接电路，闭合总开关$S_\mathrm{总}$，断开开关S，读出电流表示数为$I_0$，此时电路只有$R_0$工作，电源电压$U=I_0R_0$；
② 闭合开关S，$R_0$与$R_x$并联，读出电流表示数为干路总电流$I$，此时电源电压$U=I·\frac{R_0R_x}{R_0+R_x}$。
电源电压恒定，联立两式得：
$I_0R_0 = I·\frac{R_0R_x}{R_0+R_x}$
整理得测量表达式：
$R_x=\frac{I_0}{I-I_0}R_0$
方法2：
① 按图14-5-4连接电路，闭合总开关$S_\mathrm{总}$，断开开关S，$R_0$与$R_x$串联，读出电流表示数为$I$，电源电压$U=I(R_0+R_x)$；
② 闭合开关S，$R_x$被短路，电路只有$R_0$工作，读出电流表示数为$I_0$，电源电压$U=I_0R_0$。
电源电压恒定，联立两式得：
$I(R_0+R_x)=I_0R_0$
整理得测量表达式：
$R_x=\frac{I_0-I}{I}R_0$
(2) 只有一个电压表时：
① 按图14-5-5连接电路，闭合总开关$S_\mathrm{总}$，断开开关S，$R_0$与$R_x$串联，电压表测$R_0$两端电压，读出电压表示数为$U_0$；
② 闭合开关S，$R_x$被短路，电压表测电源电压，读出电压表示数为$U$。
串联电路电流处处相等，由欧姆定律得$\frac{U_0}{R_0}=\frac{U-U_0}{R_x}$，整理得测量表达式：
$R_x=\frac{U-U_0}{U_0}R_0$
解析：
【分析】
本题为特殊方法测量未知电阻的题型，由于仅提供一个电流表或电压表，无法直接同时测量未知电阻$ R_x $的电流和两端电压，因此需借助已知定值电阻$ R_0 $，利用串并联电路的电流、电压特点，结合欧姆定律，通过两次不同电路状态的测量（如开关断开、闭合），建立电源电压恒定的等量关系，进而推导$ R_x $的表达式。分两种情况分析：①仅用电流表时，利用并联分流或串联电流规律，两次测量对应$ R_0 $单独工作和$ R_0 $与$ R_x $共同工作的电流，联立电源电压表达式求解；②仅用电压表时，利用串联分压规律，两次测量对应$ R_0 $两端电压和电源电压，结合串联电流相等推导$ R_x $。
【解析】
（1）只有一个电流表时：
方法1：
① 按图14-5-3连接电路，闭合总开关$ S_\mathrm{总} $，断开开关$ S $，此时电路仅$ R_0 $工作，读出电流表示数为$ I_0 $，根据欧姆定律得电源电压$ U = I_0R_0 $；
② 闭合开关$ S $，$ R_0 $与$ R_x $并联，电流表测干路总电流$ I $，此时电源电压$ U = I · \frac{R_0R_x}{R_0+R_x} $；
电源电压恒定，联立两式：$ I_0R_0 = I · \frac{R_0R_x}{R_0+R_x} $，整理得$ R_x = \frac{I_0}{I - I_0}R_0 $。
方法2：
① 按图14-5-4连接电路，闭合总开关$ S_\mathrm{总} $，断开开关$ S $，$ R_0 $与$ R_x $串联，读出电流表示数为$ I $，电源电压$ U = I(R_0 + R_x) $；
② 闭合开关$ S $，$ R_x $被短路，电路仅$ R_0 $工作，读出电流表示数为$ I_0 $，电源电压$ U = I_0R_0 $；
联立得：$ I(R_0 + R_x) = I_0R_0 $，整理得$ R_x = \frac{I_0 - I}{I}R_0 $。
（2）只有一个电压表时：
① 按图14-5-5连接电路，闭合总开关$ S_\mathrm{总} $，断开开关$ S $，$ R_0 $与$ R_x $串联，电压表测$ R_0 $两端电压，读出电压表示数为$ U_0 $；
② 闭合开关$ S $，$ R_x $被短路，电压表测电源电压，读出电压表示数为$ U $；
串联电路电流处处相等，由欧姆定律得$ \frac{U_0}{R_0} = \frac{U - U_0}{R_x} $，整理得$ R_x = \frac{U - U_0}{U_0}R_0 $。
【答案】
解：
(1) 只有一个电流表时：
方法1：
① 按图14-5-3连接电路，闭合总开关$ S_\mathrm{总} $，断开开关$ S $，读出电流表示数为$ I_0 $，此时电路只有$ R_0 $工作，电源电压$ U=I_0R_0 $；
② 闭合开关$ S $，$ R_0 $与$ R_x $并联，读出电流表示数为干路总电流$ I $，此时电源电压$ U=I·\frac{R_0R_x}{R_0+R_x} $。
电源电压恒定，联立两式得：
$ I_0R_0 = I·\frac{R_0R_x}{R_0+R_x} $
整理得测量表达式：
$ R_x=\frac{I_0}{I-I_0}R_0 $
方法2：
① 按图14-5-4连接电路，闭合总开关$ S_\mathrm{总} $，断开开关$ S $，$ R_0 $与$ R_x $串联，读出电流表示数为$ I $，电源电压$ U=I(R_0+R_x) $；
② 闭合开关$ S $，$ R_x $被短路，电路只有$ R_0 $工作，读出电流表示数为$ I_0 $，电源电压$ U=I_0R_0 $。
电源电压恒定，联立两式得：
$ I(R_0+R_x)=I_0R_0 $
整理得测量表达式：
$ R_x=\frac{I_0-I}{I}R_0 $
(2) 只有一个电压表时：
① 按图14-5-5连接电路，闭合总开关$ S_\mathrm{总} $，断开开关$ S $，$ R_0 $与$ R_x $串联，电压表测$ R_0 $两端电压，读出电压表示数为$ U_0 $；
② 闭合开关$ S $，$ R_x $被短路，电压表测电源电压，读出电压表示数为$ U $。
串联电路电流处处相等，由欧姆定律得$ \frac{U_0}{R_0}=\frac{U-U_0}{R_x} $，整理得测量表达式：
$ R_x=\frac{U-U_0}{U_0}R_0 $
【知识点】
欧姆定律、串并联电路规律、电阻的特殊测量
【点评】
本题考查特殊方法测未知电阻，核心是利用已知定值电阻与未知电阻的串并联关系，结合单电表两次测量建立等量关系，体现了电学实验中电路设计和公式推导的能力，是初中电学的重点题型，需灵活运用串并联电路特点和欧姆定律。
【难度系数】
0.5
本题为特殊方法测量未知电阻的题型，由于仅提供一个电流表或电压表，无法直接同时测量未知电阻$ R_x $的电流和两端电压，因此需借助已知定值电阻$ R_0 $，利用串并联电路的电流、电压特点，结合欧姆定律，通过两次不同电路状态的测量（如开关断开、闭合），建立电源电压恒定的等量关系，进而推导$ R_x $的表达式。分两种情况分析：①仅用电流表时，利用并联分流或串联电流规律，两次测量对应$ R_0 $单独工作和$ R_0 $与$ R_x $共同工作的电流，联立电源电压表达式求解；②仅用电压表时，利用串联分压规律，两次测量对应$ R_0 $两端电压和电源电压，结合串联电流相等推导$ R_x $。
【解析】
（1）只有一个电流表时：
方法1：
① 按图14-5-3连接电路，闭合总开关$ S_\mathrm{总} $，断开开关$ S $，此时电路仅$ R_0 $工作，读出电流表示数为$ I_0 $，根据欧姆定律得电源电压$ U = I_0R_0 $；
② 闭合开关$ S $，$ R_0 $与$ R_x $并联，电流表测干路总电流$ I $，此时电源电压$ U = I · \frac{R_0R_x}{R_0+R_x} $；
电源电压恒定，联立两式：$ I_0R_0 = I · \frac{R_0R_x}{R_0+R_x} $，整理得$ R_x = \frac{I_0}{I - I_0}R_0 $。
方法2：
① 按图14-5-4连接电路，闭合总开关$ S_\mathrm{总} $，断开开关$ S $，$ R_0 $与$ R_x $串联，读出电流表示数为$ I $，电源电压$ U = I(R_0 + R_x) $；
② 闭合开关$ S $，$ R_x $被短路，电路仅$ R_0 $工作，读出电流表示数为$ I_0 $，电源电压$ U = I_0R_0 $；
联立得：$ I(R_0 + R_x) = I_0R_0 $，整理得$ R_x = \frac{I_0 - I}{I}R_0 $。
（2）只有一个电压表时：
① 按图14-5-5连接电路，闭合总开关$ S_\mathrm{总} $，断开开关$ S $，$ R_0 $与$ R_x $串联，电压表测$ R_0 $两端电压，读出电压表示数为$ U_0 $；
② 闭合开关$ S $，$ R_x $被短路，电压表测电源电压，读出电压表示数为$ U $；
串联电路电流处处相等，由欧姆定律得$ \frac{U_0}{R_0} = \frac{U - U_0}{R_x} $，整理得$ R_x = \frac{U - U_0}{U_0}R_0 $。
【答案】
解：
(1) 只有一个电流表时：
方法1：
① 按图14-5-3连接电路，闭合总开关$ S_\mathrm{总} $，断开开关$ S $，读出电流表示数为$ I_0 $，此时电路只有$ R_0 $工作，电源电压$ U=I_0R_0 $；
② 闭合开关$ S $，$ R_0 $与$ R_x $并联，读出电流表示数为干路总电流$ I $，此时电源电压$ U=I·\frac{R_0R_x}{R_0+R_x} $。
电源电压恒定，联立两式得：
$ I_0R_0 = I·\frac{R_0R_x}{R_0+R_x} $
整理得测量表达式：
$ R_x=\frac{I_0}{I-I_0}R_0 $
方法2：
① 按图14-5-4连接电路，闭合总开关$ S_\mathrm{总} $，断开开关$ S $，$ R_0 $与$ R_x $串联，读出电流表示数为$ I $，电源电压$ U=I(R_0+R_x) $；
② 闭合开关$ S $，$ R_x $被短路，电路只有$ R_0 $工作，读出电流表示数为$ I_0 $，电源电压$ U=I_0R_0 $。
电源电压恒定，联立两式得：
$ I(R_0+R_x)=I_0R_0 $
整理得测量表达式：
$ R_x=\frac{I_0-I}{I}R_0 $
(2) 只有一个电压表时：
① 按图14-5-5连接电路，闭合总开关$ S_\mathrm{总} $，断开开关$ S $，$ R_0 $与$ R_x $串联，电压表测$ R_0 $两端电压，读出电压表示数为$ U_0 $；
② 闭合开关$ S $，$ R_x $被短路，电压表测电源电压，读出电压表示数为$ U $。
串联电路电流处处相等，由欧姆定律得$ \frac{U_0}{R_0}=\frac{U-U_0}{R_x} $，整理得测量表达式：
$ R_x=\frac{U-U_0}{U_0}R_0 $
【知识点】
欧姆定律、串并联电路规律、电阻的特殊测量
【点评】
本题考查特殊方法测未知电阻，核心是利用已知定值电阻与未知电阻的串并联关系，结合单电表两次测量建立等量关系，体现了电学实验中电路设计和公式推导的能力，是初中电学的重点题型，需灵活运用串并联电路特点和欧姆定律。
【难度系数】
0.5