4. 如图，AD//BC，BD平分∠ABC.求证：AB=AD. 
（第4题）
（第4题）答案：证明：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC。
∵ AD//BC，
∴ ∠ADB = ∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠ABD = ∠ADB。
∴ AB = AD（等角对等边）。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC。
∵ AD//BC，
∴ ∠ADB = ∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠ABD = ∠ADB。
∴ AB = AD（等角对等边）。
5. 如图，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE，DE//BC. 求证：DB=EC. 
(第5题)
(第5题)答案：证明：
∵ AD = AE，
∴ ∠ADE = ∠AED。
∵ DE // BC，
∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C。
∴ ∠B = ∠C。
∴ AB = AC（等角对等边）。
又∵ AD = AE，
∴ AB - AD = AC - AE，
即 DB = EC。
∵ AD = AE，
∴ ∠ADE = ∠AED。
∵ DE // BC，
∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C。
∴ ∠B = ∠C。
∴ AB = AC（等角对等边）。
又∵ AD = AE，
∴ AB - AD = AC - AE，
即 DB = EC。
6. (1) 如图,在$△ ABC$中,$AD\bot BC$,垂足为$D$,$∠ BAD=∠ CAD$.求证:$AB=AC$.
[第6(1)题]
(2) 如图,在$△ ABC$中,$BD=CD$,$∠ BAD=∠ CAD$.求证:$AB=AC$.
[第6(2)题]
[第6(1)题]
(2) 如图,在$△ ABC$中,$BD=CD$,$∠ BAD=∠ CAD$.求证:$AB=AC$.
[第6(2)题]
答案：(1) 证明：
∵ $AD\bot BC$，
∴ $∠ ADB = ∠ ADC = 90°$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}∠ BAD = ∠ CAD, \\AD = AD, \\∠ ADB = ∠ ADC,\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ ACD$（ASA），
∴ $AB = AC$。
---
(2) 证明：
延长$AD$到点$E$，使$DE = AD$，连接$BE$。
在$△ BDE$和$△ CDA$中，
$\begin{cases}BD = CD, \\∠ BDE = ∠ CDA, \\DE = DA,\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CDA$（SAS），
∴ $BE = AC$，$∠ E = ∠ CAD$。
∵ $∠ BAD = ∠ CAD$，
∴ $∠ E = ∠ BAD$，
∴ $AB = BE$（等角对等边），
∴ $AB = AC$。
∵ $AD\bot BC$，
∴ $∠ ADB = ∠ ADC = 90°$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}∠ BAD = ∠ CAD, \\AD = AD, \\∠ ADB = ∠ ADC,\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ ACD$（ASA），
∴ $AB = AC$。
---
(2) 证明：
延长$AD$到点$E$，使$DE = AD$，连接$BE$。
在$△ BDE$和$△ CDA$中，
$\begin{cases}BD = CD, \\∠ BDE = ∠ CDA, \\DE = DA,\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CDA$（SAS），
∴ $BE = AC$，$∠ E = ∠ CAD$。
∵ $∠ BAD = ∠ CAD$，
∴ $∠ E = ∠ BAD$，
∴ $AB = BE$（等角对等边），
∴ $AB = AC$。