例1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？哪些是实数？
$-0.\dot{2}$，$\frac{π}{3}$，$0$，$\sqrt{4}$，$\sqrt[3]{9}$，$\frac{22}{7}$，$-\sqrt{8}$，$3.14$，$0.212\ 112\ 111\ 2···$（每两个2之间1的个数逐次增加），$\sqrt[3]{-1}$。
$-0.\dot{2}$，$\frac{π}{3}$，$0$，$\sqrt{4}$，$\sqrt[3]{9}$，$\frac{22}{7}$，$-\sqrt{8}$，$3.14$，$0.212\ 112\ 111\ 2···$（每两个2之间1的个数逐次增加），$\sqrt[3]{-1}$。
答案：解：
先对可化简的数进行化简：$\sqrt{4}=2$，$\sqrt[3]{-1}=-1$。
有理数有：$-0.\dot{2}$，$0$，$\sqrt{4}$，$\frac{22}{7}$，$3.14$，$\sqrt[3]{-1}$；
无理数有：$\frac{π}{3}$，$\sqrt[3]{9}$，$-\sqrt{8}$，$0.212\ 112\ 111\ 2···$（每两个2之间1的个数逐次增加）；
实数有：$-0.\dot{2}$，$\frac{π}{3}$，$0$，$\sqrt{4}$，$\sqrt[3]{9}$，$\frac{22}{7}$，$-\sqrt{8}$，$3.14$，$0.212\ 112\ 111\ 2···$（每两个2之间1的个数逐次增加），$\sqrt[3]{-1}$。
先对可化简的数进行化简：$\sqrt{4}=2$，$\sqrt[3]{-1}=-1$。
有理数有：$-0.\dot{2}$，$0$，$\sqrt{4}$，$\frac{22}{7}$，$3.14$，$\sqrt[3]{-1}$；
无理数有：$\frac{π}{3}$，$\sqrt[3]{9}$，$-\sqrt{8}$，$0.212\ 112\ 111\ 2···$（每两个2之间1的个数逐次增加）；
实数有：$-0.\dot{2}$，$\frac{π}{3}$，$0$，$\sqrt{4}$，$\sqrt[3]{9}$，$\frac{22}{7}$，$-\sqrt{8}$，$3.14$，$0.212\ 112\ 111\ 2···$（每两个2之间1的个数逐次增加），$\sqrt[3]{-1}$。
例2 求下列各数的值：
(1) $\pm\sqrt{\dfrac{4}{81}}$；
(3) $\sqrt{(-13)^2}$；
(1) $\pm\sqrt{\dfrac{4}{81}}$；
(3) $\sqrt{(-13)^2}$；
答案：解：
(1) $\because (\pm\frac{2}{9})^2=\frac{4}{81}$
$\therefore \pm\sqrt{\frac{4}{81}}=\pm\frac{2}{9}$
(2) $\because (-\frac{1}{3})^3=-\frac{1}{27}$
$\therefore -\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}=-(-\frac{1}{3})=\frac{1}{3}$
(3) $\sqrt{(-13)^2}=\sqrt{169}=13$
(4) 先计算被开方数：$2+\frac{10}{27}=\frac{54+10}{27}=\frac{64}{27}$
$\because (\frac{4}{3})^3=\frac{64}{27}$
$\therefore \sqrt[3]{2+\frac{10}{27}}=\sqrt[3]{\frac{64}{27}}=\frac{4}{3}$
(1) $\because (\pm\frac{2}{9})^2=\frac{4}{81}$
$\therefore \pm\sqrt{\frac{4}{81}}=\pm\frac{2}{9}$
(2) $\because (-\frac{1}{3})^3=-\frac{1}{27}$
$\therefore -\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}=-(-\frac{1}{3})=\frac{1}{3}$
(3) $\sqrt{(-13)^2}=\sqrt{169}=13$
(4) 先计算被开方数：$2+\frac{10}{27}=\frac{54+10}{27}=\frac{64}{27}$
$\because (\frac{4}{3})^3=\frac{64}{27}$
$\therefore \sqrt[3]{2+\frac{10}{27}}=\sqrt[3]{\frac{64}{27}}=\frac{4}{3}$
(1) 36 的平方根是，49 的算术平方根是，-64 的立方根是。
答案：解：
∵ (±6)² = 36，
∴ 36的平方根是±6；
∵ 7² = 49，算术平方根为非负的平方根，
∴ 49的算术平方根是7；
∵ (-4)³ = -64，
∴ -64的立方根是-4。
答案依次为：$\boldsymbol{\pm6}$，$\boldsymbol{7}$，$\boldsymbol{-4}$。
∵ (±6)² = 36，
∴ 36的平方根是±6；
∵ 7² = 49，算术平方根为非负的平方根，
∴ 49的算术平方根是7；
∵ (-4)³ = -64，
∴ -64的立方根是-4。
答案依次为：$\boldsymbol{\pm6}$，$\boldsymbol{7}$，$\boldsymbol{-4}$。
(2) 在实数0.23，$\sqrt{16}$，$2π$，$\sqrt{2}$，$\frac{1}{3}$，$-\sqrt[3]{49}$，0.202 002 000 2…(相邻两个2之间0的个数逐次增加)中，无理数有个.
答案：$\boldsymbol{4}$
解析：
解：
根据无理数的定义逐一判断：
$0.23$是有限小数，属于有理数；
$\sqrt{16}=4$，是整数，属于有理数；
$2π$是无限不循环小数，属于无理数；
$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无理数；
$\frac{1}{3}$是分数，属于有理数；
$-\sqrt[3]{49}$是开立方开不尽的数，属于无理数；
$0.2020020002···$（相邻两个2之间0的个数逐次增加）是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有4个。
根据无理数的定义逐一判断：
$0.23$是有限小数，属于有理数；
$\sqrt{16}=4$，是整数，属于有理数；
$2π$是无限不循环小数，属于无理数；
$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无理数；
$\frac{1}{3}$是分数，属于有理数；
$-\sqrt[3]{49}$是开立方开不尽的数，属于无理数；
$0.2020020002···$（相邻两个2之间0的个数逐次增加）是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有4个。
(3) $\sqrt[3]{-\dfrac{8}{27}}$的倒数是，$2-\sqrt{5}$的绝对值是。
答案：$-\dfrac{3}{2}$；$\sqrt{5}-2$
解析：
解：
$\because \sqrt[3]{-\dfrac{8}{27}}=\sqrt[3]{(-\dfrac{2}{3})^3}=-\dfrac{2}{3}$，
$\therefore \sqrt[3]{-\dfrac{8}{27}}$的倒数是$-\dfrac{3}{2}$。
$\because \sqrt{5}＞2$，
$\therefore 2-\sqrt{5}＜0$，
$\therefore |2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$。
$\because \sqrt[3]{-\dfrac{8}{27}}=\sqrt[3]{(-\dfrac{2}{3})^3}=-\dfrac{2}{3}$，
$\therefore \sqrt[3]{-\dfrac{8}{27}}$的倒数是$-\dfrac{3}{2}$。
$\because \sqrt{5}＞2$，
$\therefore 2-\sqrt{5}＜0$，
$\therefore |2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$。
（4）下列关于$\sqrt{13}$的说法中，正确的有________（填序号）。
① 13 的平方根是$\sqrt{13}$；② $\sqrt{13}$是13 的算术平方根；③ $\sqrt{13}$是无理数；④ $3＜\sqrt{13}＜4$。
① 13 的平方根是$\sqrt{13}$；② $\sqrt{13}$是13 的算术平方根；③ $\sqrt{13}$是无理数；④ $3＜\sqrt{13}＜4$。
答案：解：
13的平方根是$\pm\sqrt{13}$，故①说法错误；
根据算术平方根的定义，$\sqrt{13}$是13的算术平方根，故②说法正确；
$\sqrt{13}$是无限不循环小数，属于无理数，故③说法正确；
由$3^2=9$，$4^2=16$，$9＜13＜16$，可得$3＜\sqrt{13}＜4$，故④说法正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{②③④}$。
13的平方根是$\pm\sqrt{13}$，故①说法错误；
根据算术平方根的定义，$\sqrt{13}$是13的算术平方根，故②说法正确；
$\sqrt{13}$是无限不循环小数，属于无理数，故③说法正确；
由$3^2=9$，$4^2=16$，$9＜13＜16$，可得$3＜\sqrt{13}＜4$，故④说法正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{②③④}$。
(5) 1 062 000 精确到万位是，近似值1.29万是精确到位。
答案：$\boldsymbol{1.06×10^6}$（或106万）；$\boldsymbol{百}$
解析：
解：
对1 062 000精确到万位，观察千位数字为2，按四舍五入规则舍去千位及之后的数位，结果为$1.06×10^6$（或106万）；
将近似值1.29万还原为原数得12900，末尾的有效数字9对应百位，因此1.29万精确到百位。
对1 062 000精确到万位，观察千位数字为2，按四舍五入规则舍去千位及之后的数位，结果为$1.06×10^6$（或106万）；
将近似值1.29万还原为原数得12900，末尾的有效数字9对应百位，因此1.29万精确到百位。