2. 将下列长度的3根木棒首尾顺次相接，能组成直角三角形的是().
A.1,2,3
B.$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$
C.$\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5}$
D.6,8,10
A.1,2,3
B.$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$
C.$\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5}$
D.6,8,10
答案：D
解析：
根据勾股定理的逆定理，验证各选项中三边的平方是否满足两边的平方和等于最长边的平方：
1. 选项A：1²+2²=5≠3²=9，且1+2=3，无法构成三角形，不符合要求；
2. 选项B：$(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{5})^2=\frac{41}{400}≠(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，不符合要求；
3. 选项C：$(\sqrt{3})^2+(\sqrt{4})^2=7≠(\sqrt{5})^2=5$，不符合要求；
4. 选项D：$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，满足勾股定理逆定理，能组成直角三角形。
1. 选项A：1²+2²=5≠3²=9，且1+2=3，无法构成三角形，不符合要求；
2. 选项B：$(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{5})^2=\frac{41}{400}≠(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，不符合要求；
3. 选项C：$(\sqrt{3})^2+(\sqrt{4})^2=7≠(\sqrt{5})^2=5$，不符合要求；
4. 选项D：$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，满足勾股定理逆定理，能组成直角三角形。
3. 以下列各组数为三边边长的三角形是否为直角三角形？为什么？
(1) 5,12,13；
(2) $\frac{2}{3},\frac{2}{3},1$；
(3) $\frac{4}{3},\frac{5}{3},1$；
(4) 6.5,6,2.5.
(1) 5,12,13；
(2) $\frac{2}{3},\frac{2}{3},1$；
(3) $\frac{4}{3},\frac{5}{3},1$；
(4) 6.5,6,2.5.
答案：解：
(1) 是直角三角形，理由如下：
∵ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$，
∴ $5^2 + 12^2 = 13^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
(2) 不是直角三角形，理由如下：
∵ $(\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} + \frac{4}{9} = \frac{8}{9}$，$1^2 = 1$，
∴ $(\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 ≠ 1^2$，该三角形不是直角三角形。
(3) 是直角三角形，理由如下：
∵ $(\frac{4}{3})^2 + 1^2 = \frac{16}{9} + 1 = \frac{25}{9}$，$(\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{9}$，
∴ $(\frac{4}{3})^2 + 1^2 = (\frac{5}{3})^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
(4) 是直角三角形，理由如下：
∵ $6^2 + 2.5^2 = 36 + 6.25 = 42.25$，$6.5^2 = 42.25$，
∴ $6^2 + 2.5^2 = 6.5^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
(1) 是直角三角形，理由如下：
∵ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$，
∴ $5^2 + 12^2 = 13^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
(2) 不是直角三角形，理由如下：
∵ $(\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} + \frac{4}{9} = \frac{8}{9}$，$1^2 = 1$，
∴ $(\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 ≠ 1^2$，该三角形不是直角三角形。
(3) 是直角三角形，理由如下：
∵ $(\frac{4}{3})^2 + 1^2 = \frac{16}{9} + 1 = \frac{25}{9}$，$(\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{9}$，
∴ $(\frac{4}{3})^2 + 1^2 = (\frac{5}{3})^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
(4) 是直角三角形，理由如下：
∵ $6^2 + 2.5^2 = 36 + 6.25 = 42.25$，$6.5^2 = 42.25$，
∴ $6^2 + 2.5^2 = 6.5^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
4. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$E$在边$AC$上,$CE=5$,$BC=13$,$BE=12$.
(1) 判断$△ ABE$的形状,并说明理由;
(2) 求边$AB$的长.
(1) 判断$△ ABE$的形状,并说明理由;
(2) 求边$AB$的长.
答案：解：
(1) $△ ABE$是直角三角形，理由如下：
在$△ BCE$中，$CE=5$，$BE=12$，$BC=13$，
$\because CE^2 + BE^2 = 5^2 + 12^2 = 169$，$BC^2 = 13^2 = 169$，
$\therefore CE^2 + BE^2 = BC^2$，
$\therefore △ BCE$是直角三角形，且$∠ BEC=90°$，
$\therefore ∠ AEB = 180° - ∠ BEC = 90°$，
$\therefore △ ABE$是直角三角形。
(2) 设$AB=AC=x$，
$\because AC = AE + CE$，$CE=5$，
$\therefore AE = x - 5$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE^2 + BE^2 = AB^2$，
即$(x-5)^2 + 12^2 = x^2$，
展开整理得$10x = 169$，
解得$x=\frac{169}{10}=16.9$。
综上，$AB$的长为$16.9$（或$\frac{169}{10}$）。
(1) $△ ABE$是直角三角形，理由如下：
在$△ BCE$中，$CE=5$，$BE=12$，$BC=13$，
$\because CE^2 + BE^2 = 5^2 + 12^2 = 169$，$BC^2 = 13^2 = 169$，
$\therefore CE^2 + BE^2 = BC^2$，
$\therefore △ BCE$是直角三角形，且$∠ BEC=90°$，
$\therefore ∠ AEB = 180° - ∠ BEC = 90°$，
$\therefore △ ABE$是直角三角形。
(2) 设$AB=AC=x$，
$\because AC = AE + CE$，$CE=5$，
$\therefore AE = x - 5$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE^2 + BE^2 = AB^2$，
即$(x-5)^2 + 12^2 = x^2$，
展开整理得$10x = 169$，
解得$x=\frac{169}{10}=16.9$。
综上，$AB$的长为$16.9$（或$\frac{169}{10}$）。
5. 如图，每个小正方形的边长都为1，A，B，C，D均在网格格点上.
（1）求四边形ABCD的面积.
（2）∠C是直角吗？为什么？
（1）求四边形ABCD的面积.
（2）∠C是直角吗？为什么？
答案：解：
(1) 用割补法，将四边形ABCD置于长为6、宽为5的大矩形内，大矩形面积为$6×5=30$。
减去四边形外4个直角三角形的面积：
$S_1=\frac{1}{2}×1×5=2.5$，
$S_2=\frac{1}{2}×2×4=4$，
$S_3=\frac{1}{2}×2×1=1$，
$S_4=\frac{1}{2}×1×4=2$，
因此四边形ABCD的面积为$30-2.5-4-1-2=12.5$。
(2) $∠ C$是直角，理由如下：
连接BD，由勾股定理得：
$BC^2=2^2+4^2=20$，
$CD^2=2^2+1^2=5$，
$BD^2=4^2+3^2=25$，
$\therefore BC^2+CD^2=20+5=25=BD^2$，
根据勾股定理的逆定理，$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD=90°$，即$∠ C$是直角。
(1) 用割补法，将四边形ABCD置于长为6、宽为5的大矩形内，大矩形面积为$6×5=30$。
减去四边形外4个直角三角形的面积：
$S_1=\frac{1}{2}×1×5=2.5$，
$S_2=\frac{1}{2}×2×4=4$，
$S_3=\frac{1}{2}×2×1=1$，
$S_4=\frac{1}{2}×1×4=2$，
因此四边形ABCD的面积为$30-2.5-4-1-2=12.5$。
(2) $∠ C$是直角，理由如下：
连接BD，由勾股定理得：
$BC^2=2^2+4^2=20$，
$CD^2=2^2+1^2=5$，
$BD^2=4^2+3^2=25$，
$\therefore BC^2+CD^2=20+5=25=BD^2$，
根据勾股定理的逆定理，$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD=90°$，即$∠ C$是直角。