答案：解：
1. 由线段和关系可得：$m + n = c$
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$
3. 由直角三角形面积公式，$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$，化简得：$ab = ch$
4. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：$b^2 = m^2 + h^2$
5. 在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：$a^2 = n^2 + h^2$
将$a^2 = n^2 + h^2$、$b^2 = m^2 + h^2$代入$a^2 + b^2 = (m+n)^2$，得：
$n^2 + h^2 + m^2 + h^2 = m^2 + 2mn + n^2$
化简得：$h^2 = mn$
将$h^2 = mn$代入$a^2 = n^2 + h^2$，得：
$a^2 = n^2 + mn = n(m+n) = cn$
即$a^2 = cn$，同理可得：$b^2 = cm$
由$ab=ch$得$h=\frac{ab}{c}$，代入推导得：
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2b^2} = \frac{c^2}{c^2h^2} = \frac{1}{h^2}$
即$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$
综上，这些线段的数量关系为：
$\boldsymbol{m+n=c}$，$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$，$\boldsymbol{ab=ch}$，$\boldsymbol{a^2=cn}$，$\boldsymbol{b^2=cm}$，$\boldsymbol{h^2=mn}$，$\boldsymbol{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}}$。

答案：解：
在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，则DC=a-x，AD=h。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$h^2 = c^2 - x^2$
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$h^2 = b^2 - (a-x)^2$
联立两式得：
$c^2 - x^2 = b^2 - (a-x)^2$
展开整理：
$c^2 - x^2 = b^2 - a^2 + 2ax - x^2$
消去$-x^2$，解得：
$x=\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a}$
将x代入$h^2 = c^2 - x^2$，由平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}h^2&=c^2 - (\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a})^2\\&=(c - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a})(c + \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a})\\&=\frac{2ac - a^2 - c^2 + b^2}{2a} · \frac{2ac + a^2 + c^2 - b^2}{2a}\\&=\frac{[b^2 - (a-c)^2][(a+c)^2 - b^2]}{4a^2}\\&=\frac{(b - a + c)(b + a - c)(a + c - b)(a + b + c)}{4a^2}\end{aligned}$
由半周长定义$p=\frac{a+b+c}{2}$，可得：
$a+b+c=2p$，$b+c-a=2(p-a)$，$a+b-c=2(p-c)$，$a+c-b=2(p-b)$
代入上式：
$\begin{aligned}h^2&=\frac{2(p-a) · 2(p-c) · 2(p-b) · 2p}{4a^2}\\&=\frac{16p(p-a)(p-b)(p-c)}{4a^2}\\&=\frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2}\end{aligned}$
因此$h=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}$
三角形面积$S=\frac{1}{2} · a · h$，代入h得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2} · a · \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}\\&=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\end{aligned}$
海伦—秦九韶公式推导完成。

答案：C