1. 已知某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元. 如果每件每降价1元，那么平均每天可多售出2件. 若要使该款童装每天的销售利润为1 200元，设每件降价x元，则根据题意可列方程为（）.
A.$(40-2x)(20+x)=1\ 200$
B.$(40-x)(20+2x)=1\ 200$
C.$(40+x)(20-2x)=1\ 200$
D.$(40+2x)(20-x)=1\ 200$
A.$(40-2x)(20+x)=1\ 200$
B.$(40-x)(20+2x)=1\ 200$
C.$(40+x)(20-2x)=1\ 200$
D.$(40+2x)(20-x)=1\ 200$
答案：B
解析：
【分析】
解决这道题首先要明确销售问题的核心等量关系：总利润=单件利润×销售总数量，我们只需要分别求出降价x元后的单件利润和销售总量，再结合总利润为1200元的条件列方程即可。首先看单件利润：原本每件盈利40元，降价x元后，每件的利润会减少x元；再看销售总量：原本每天卖20件，每降价1元多卖2件，降价x元后，多售出的数量是2x件，两个量相乘就等于总利润1200元。
【解析】
1. 计算降价x元后的单件利润：
原单件盈利40元，降价x元后，单件利润为 $\boldsymbol{(40 - x)}$ 元。
2. 计算降价x元后的销售总量：
原日均销量20件，每降价1元多售出2件，降价x元后多售出$2x$件，因此日均总销量为 $\boldsymbol{(20 + 2x)}$ 件。
3. 根据总利润公式列方程：
总利润=单件利润×销售总量，已知总利润为1200元，因此列方程为：
$\boldsymbol{(40 - x)(20 + 2x) = 1200}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
销售利润计算，一元二次方程实际应用，列代数式
【点评】
本题是销售类方程应用的基础题型，解题关键是准确梳理价格变动对应的单件利润、销量的变化，牢记总利润的等量关系就能快速求解，是这类问题的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确销售问题的核心等量关系：总利润=单件利润×销售总数量，我们只需要分别求出降价x元后的单件利润和销售总量，再结合总利润为1200元的条件列方程即可。首先看单件利润：原本每件盈利40元，降价x元后，每件的利润会减少x元；再看销售总量：原本每天卖20件，每降价1元多卖2件，降价x元后，多售出的数量是2x件，两个量相乘就等于总利润1200元。
【解析】
1. 计算降价x元后的单件利润：
原单件盈利40元，降价x元后，单件利润为 $\boldsymbol{(40 - x)}$ 元。
2. 计算降价x元后的销售总量：
原日均销量20件，每降价1元多售出2件，降价x元后多售出$2x$件，因此日均总销量为 $\boldsymbol{(20 + 2x)}$ 件。
3. 根据总利润公式列方程：
总利润=单件利润×销售总量，已知总利润为1200元，因此列方程为：
$\boldsymbol{(40 - x)(20 + 2x) = 1200}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
销售利润计算，一元二次方程实际应用，列代数式
【点评】
本题是销售类方程应用的基础题型，解题关键是准确梳理价格变动对应的单件利润、销量的变化，牢记总利润的等量关系就能快速求解，是这类问题的常考基础题。
【难度系数】
0.8
2. 参加足球联赛的每两支队伍之间都进行两场比赛，共要比赛90场. 设共有x支队伍参加比赛，则下列方程符合题意的是 ().
A.$\frac{1}{2}x(x+1)=90$
B.$x(x+1)=90$
C.$\frac{1}{2}x(x-1)=90$
D.$x(x-1)=90$
A.$\frac{1}{2}x(x+1)=90$
B.$x(x+1)=90$
C.$\frac{1}{2}x(x-1)=90$
D.$x(x-1)=90$
答案：D
解析：
【分析】首先明确本题为双循环赛制的列方程问题：共有x支队伍参赛，每支队伍需和除自身外的(x-1)支队伍对阵，因为每两队之间要进行2场比赛，计数时不存在重复，无需除以2，用队伍总数乘每支队伍的对阵数量即可得到总比赛场数，进而列出方程。
【解析】解：设共有x支队伍参加比赛。
每支队伍需要与其余$x-1$支队伍进行比赛；
由于每两支队伍之间要进行两场比赛，属于双循环赛制，每两队的两场比赛刚好对应两支队伍各自的计数，不需要去除重复计数；
因此总比赛场数为$x(x-1)$，结合总比赛场数为90场，可列方程：$x(x-1)=90$。
故选D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程应用；比赛计数问题
【点评】本题考查实际问题中一元二次方程的列写，核心是区分单循环和双循环赛制的计数规则，单循环每两队仅赛1场，总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，双循环每两队赛2场，总场数为$x(x-1)$，避免混淆赛制出现计算错误。
【难度系数】0.7
【解析】解：设共有x支队伍参加比赛。
每支队伍需要与其余$x-1$支队伍进行比赛；
由于每两支队伍之间要进行两场比赛，属于双循环赛制，每两队的两场比赛刚好对应两支队伍各自的计数，不需要去除重复计数；
因此总比赛场数为$x(x-1)$，结合总比赛场数为90场，可列方程：$x(x-1)=90$。
故选D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程应用；比赛计数问题
【点评】本题考查实际问题中一元二次方程的列写，核心是区分单循环和双循环赛制的计数规则，单循环每两队仅赛1场，总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，双循环每两队赛2场，总场数为$x(x-1)$，避免混淆赛制出现计算错误。
【难度系数】0.7
3. 某中学九年级（2）班学生毕业时，班上每名学生给其他学生都写了一条毕业祝福语，全班共写了2070条祝福语，问九年级（2）班共有多少名学生？设九年级（2）班共有x名学生，根据题意可列方程为。
答案：解：
设九年级（2）班共有$x$名学生，每名学生需要给除自己之外的$(x-1)$名学生各写1条祝福语，根据全班共写2070条祝福语，列方程得：
$x(x-1)=2070$
整理为一般形式：$x^2 - x - 2070 = 0$
解得：$x_1=46$，$x_2=-45$
经检验，学生人数不能为负数，$x=-45$不符合实际意义，舍去。
答：九年级（2）班共有46名学生，所列方程为$x(x-1)=2070$。
设九年级（2）班共有$x$名学生，每名学生需要给除自己之外的$(x-1)$名学生各写1条祝福语，根据全班共写2070条祝福语，列方程得：
$x(x-1)=2070$
整理为一般形式：$x^2 - x - 2070 = 0$
解得：$x_1=46$，$x_2=-45$
经检验，学生人数不能为负数，$x=-45$不符合实际意义，舍去。
答：九年级（2）班共有46名学生，所列方程为$x(x-1)=2070$。
解析：
【分析】
解题时首先确定题目中的等量关系：全班祝福语总条数=学生总人数×每名学生撰写的祝福语条数。由于学生不需要给自己写祝福语，若班级共有x名学生，则每名学生需要给其余(x-1)名学生各写1条祝福语，将对应量代入等量关系即可列出方程，求解一元二次方程后，结合“人数为正整数”的实际要求舍去不符合的根，即可得到班级人数。
【解析】
设九年级（2）班共有$x$名学生，每名学生需撰写$(x-1)$条祝福语，根据总祝福语为2070条，列方程：
$x(x-1)=2070$
整理为一般形式得：$x^2 - x - 2070 = 0$
解得：$x_1=46$，$x_2=-45$
由于学生人数不能为负数，因此$x=-45$不符合实际意义，舍去。
【答案】
$x(x-1)=2070$
【知识点】
一元二次方程应用、列等量关系、实际问题验根
【点评】
本题是典型的互送类实际问题，解题关键是区分互送类和握手类问题的差异：互送类中双方互送是两份不同的物品，因此总数量为$x(x-1)$，无需除以2；求解方程后注意要结合实际场景验证根的合理性，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
解题时首先确定题目中的等量关系：全班祝福语总条数=学生总人数×每名学生撰写的祝福语条数。由于学生不需要给自己写祝福语，若班级共有x名学生，则每名学生需要给其余(x-1)名学生各写1条祝福语，将对应量代入等量关系即可列出方程，求解一元二次方程后，结合“人数为正整数”的实际要求舍去不符合的根，即可得到班级人数。
【解析】
设九年级（2）班共有$x$名学生，每名学生需撰写$(x-1)$条祝福语，根据总祝福语为2070条，列方程：
$x(x-1)=2070$
整理为一般形式得：$x^2 - x - 2070 = 0$
解得：$x_1=46$，$x_2=-45$
由于学生人数不能为负数，因此$x=-45$不符合实际意义，舍去。
【答案】
$x(x-1)=2070$
【知识点】
一元二次方程应用、列等量关系、实际问题验根
【点评】
本题是典型的互送类实际问题，解题关键是区分互送类和握手类问题的差异：互送类中双方互送是两份不同的物品，因此总数量为$x(x-1)$，无需除以2；求解方程后注意要结合实际场景验证根的合理性，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
4. 如图，小明在某月的日历表上用一个方框圈出4个数，若圈出的4个数中，最小数与最大数的乘积为513，则小明圈出的4个数中的最小数为。
29 30 31
29 30 31
答案：解：设小明圈出的4个数中的最小数为x，
根据日历排列规律，2×2方框中最大的数为x+8，
由题意列方程：
$x(x+8)=513$
整理得：
$x^2 + 8x - 513 = 0$
其中$a=1$，$b=8$，$c=-513$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 8^2 - 4×1×(-513) = 2116 = 46^2$，
由求根公式得：
$x=\frac{-8\pm46}{2}$
解得$x_1=19$，$x_2=-27$。
因为日期为正整数，$x=-27$不符合实际意义，舍去。
答：小明圈出的4个数中的最小数为$\boldsymbol{19}$。
根据日历排列规律，2×2方框中最大的数为x+8，
由题意列方程：
$x(x+8)=513$
整理得：
$x^2 + 8x - 513 = 0$
其中$a=1$，$b=8$，$c=-513$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 8^2 - 4×1×(-513) = 2116 = 46^2$，
由求根公式得：
$x=\frac{-8\pm46}{2}$
解得$x_1=19$，$x_2=-27$。
因为日期为正整数，$x=-27$不符合实际意义，舍去。
答：小明圈出的4个数中的最小数为$\boldsymbol{19}$。
解析：
【分析】
要解决这道题，首先需明确日历表中数字的排列规律：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7，因此用2×2方框圈出的4个数中，最大数比最小数大8（下一行右格的数比上一行左格的数多7+1=8）。接下来我们可以设最小数为未知数，根据“最小数与最大数的乘积为513”这一等量关系列一元二次方程，求解后结合日期为正整数的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到答案。
【解析】
解：设小明圈出的4个数中的最小数为x，
根据日历排列规律，2×2方框中最大的数为x+8，
由题意列方程：
$x(x+8)=513$
整理得：
$x^2 + 8x - 513 = 0$
其中$a=1$，$b=8$，$c=-513$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 8^2 - 4×1×(-513) = 2116 = 46^2$，
由求根公式得：
$x=\frac{-8\pm46}{2}$
解得$x_1=19$，$x_2=-27$。
因为日期为正整数，$x=-27$不符合实际意义，舍去。
【答案】
19
【知识点】
1. 日历数字规律 2. 一元二次方程的应用 3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题结合生活中的日历场景考查方程的实际应用，解题的核心是准确找出2×2方框内最大数与最小数的数量关系，同时要注意在求解一元二次方程后，需结合实际场景判断根的合理性，排除无意义的解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确日历表中数字的排列规律：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7，因此用2×2方框圈出的4个数中，最大数比最小数大8（下一行右格的数比上一行左格的数多7+1=8）。接下来我们可以设最小数为未知数，根据“最小数与最大数的乘积为513”这一等量关系列一元二次方程，求解后结合日期为正整数的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到答案。
【解析】
解：设小明圈出的4个数中的最小数为x，
根据日历排列规律，2×2方框中最大的数为x+8，
由题意列方程：
$x(x+8)=513$
整理得：
$x^2 + 8x - 513 = 0$
其中$a=1$，$b=8$，$c=-513$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 8^2 - 4×1×(-513) = 2116 = 46^2$，
由求根公式得：
$x=\frac{-8\pm46}{2}$
解得$x_1=19$，$x_2=-27$。
因为日期为正整数，$x=-27$不符合实际意义，舍去。
【答案】
19
【知识点】
1. 日历数字规律 2. 一元二次方程的应用 3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题结合生活中的日历场景考查方程的实际应用，解题的核心是准确找出2×2方框内最大数与最小数的数量关系，同时要注意在求解一元二次方程后，需结合实际场景判断根的合理性，排除无意义的解。
【难度系数】
0.7