5. 如图，已知抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴的两个公共点分别为$A(x_1, 0)$，$B(x_2, 0)$，且$x_1+x_2=4$，$\frac{x_1}{x_2}=\frac{1}{3}$。
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）设抛物线与$y$轴交于点$C$，求直线$BC$对应的函数解析式；
（3）求$△ ABC$的面积。
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）设抛物线与$y$轴交于点$C$，求直线$BC$对应的函数解析式；
（3）求$△ ABC$的面积。
答案：解：
（1）由已知条件可得方程组：
$\begin{cases} x_1+x_2=4 \\ \dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{1}{3} \end{cases}$
解得$\begin{cases} x_1=1 \\ x_2=3 \end{cases}$，即点$A(1,0)$，点$B(3,0)$。
将$A(1,0)$、$B(3,0)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} -1+b+c=0 \\ -9+3b+c=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=4 \\ c=-3 \end{cases}$
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2+4x-3$。
（2）令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=-3$，即点$C(0,-3)$。
设直线$BC$对应的函数解析式为$y=kx+n$，将$B(3,0)$、$C(0,-3)$代入，得：
$\begin{cases} 3k+n=0 \\ n=-3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1 \\ n=-3 \end{cases}$
因此直线$BC$对应的函数解析式为$y=x-3$。
（3）由$A(1,0)$、$B(3,0)$得$AB=3-1=2$，点$C$到$x$轴的距离为$|-3|=3$，即$△ ABC$中$AB$边上的高为3。
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}× AB × 3=\dfrac{1}{2}×2×3=3$。
综上，（1）抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+4x-3}$；（2）直线$BC$解析式为$\boldsymbol{y=x-3}$；（3）$△ ABC$的面积为$\boldsymbol{3}$。
（1）由已知条件可得方程组：
$\begin{cases} x_1+x_2=4 \\ \dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{1}{3} \end{cases}$
解得$\begin{cases} x_1=1 \\ x_2=3 \end{cases}$，即点$A(1,0)$，点$B(3,0)$。
将$A(1,0)$、$B(3,0)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} -1+b+c=0 \\ -9+3b+c=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=4 \\ c=-3 \end{cases}$
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2+4x-3$。
（2）令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=-3$，即点$C(0,-3)$。
设直线$BC$对应的函数解析式为$y=kx+n$，将$B(3,0)$、$C(0,-3)$代入，得：
$\begin{cases} 3k+n=0 \\ n=-3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1 \\ n=-3 \end{cases}$
因此直线$BC$对应的函数解析式为$y=x-3$。
（3）由$A(1,0)$、$B(3,0)$得$AB=3-1=2$，点$C$到$x$轴的距离为$|-3|=3$，即$△ ABC$中$AB$边上的高为3。
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}× AB × 3=\dfrac{1}{2}×2×3=3$。
综上，（1）抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+4x-3}$；（2）直线$BC$解析式为$\boldsymbol{y=x-3}$；（3）$△ ABC$的面积为$\boldsymbol{3}$。
解析：
【分析】
（1）首先根据$x_1+x_2=4$和$\frac{x_1}{x_2}=\frac{1}{3}$联立方程组，求出$x_1$、$x_2$的值，得到A、B两点的坐标；再将A、B坐标代入抛物线表达式，通过待定系数法求解$b$、$c$的值，即可得到抛物线的函数解析式。
（2）令抛物线解析式中$x=0$，求出对应的$y$值，即可得到抛物线与$y$轴交点C的坐标；设直线BC的解析式为一次函数一般式，将B、C两点坐标代入，用待定系数法求解即可得到直线BC的解析式。
（3）$△ ABC$的底为线段AB的长度，即B、A两点横坐标的差，高为点C到$x$轴的距离（C点纵坐标的绝对值），代入三角形面积公式计算即可得到$△ ABC$的面积。
【解析】
（1）根据题意联立方程组：
$\begin{cases} x_1+x_2=4 \\ \dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{1}{3} \end{cases}$
解得$\begin{cases} x_1=1 \\ x_2=3 \end{cases}$，即$A(1,0)$，$B(3,0)$。
将$A(1,0)$、$B(3,0)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} -1+b+c=0 \\ -9+3b+c=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=4 \\ c=-3 \end{cases}$
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2+4x-3$。
（2）令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=-3$，即$C(0,-3)$。
设直线BC对应的函数解析式为$y=kx+n$，将$B(3,0)$、$C(0,-3)$代入，得：
$\begin{cases} 3k+n=0 \\ n=-3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1 \\ n=-3 \end{cases}$
因此直线BC对应的函数解析式为$y=x-3$。
（3）由$A(1,0)$、$B(3,0)$可得AB的长度为$3-1=2$，点C到$x$轴的距离为$|-3|=3$，即$△ ABC$中AB边上的高为3。
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}× AB × 3=\dfrac{1}{2}×2×3=3$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=-x^2+4x-3}$；（2）$\boldsymbol{y=x-3}$；（3）$\boldsymbol{3}$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的交点问题；三角形面积计算
【点评】
本题属于函数基础综合题，解题的关键是先利用已知条件求出各交点坐标，再结合待定系数法、几何面积公式依次求解，有助于巩固函数的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）首先根据$x_1+x_2=4$和$\frac{x_1}{x_2}=\frac{1}{3}$联立方程组，求出$x_1$、$x_2$的值，得到A、B两点的坐标；再将A、B坐标代入抛物线表达式，通过待定系数法求解$b$、$c$的值，即可得到抛物线的函数解析式。
（2）令抛物线解析式中$x=0$，求出对应的$y$值，即可得到抛物线与$y$轴交点C的坐标；设直线BC的解析式为一次函数一般式，将B、C两点坐标代入，用待定系数法求解即可得到直线BC的解析式。
（3）$△ ABC$的底为线段AB的长度，即B、A两点横坐标的差，高为点C到$x$轴的距离（C点纵坐标的绝对值），代入三角形面积公式计算即可得到$△ ABC$的面积。
【解析】
（1）根据题意联立方程组：
$\begin{cases} x_1+x_2=4 \\ \dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{1}{3} \end{cases}$
解得$\begin{cases} x_1=1 \\ x_2=3 \end{cases}$，即$A(1,0)$，$B(3,0)$。
将$A(1,0)$、$B(3,0)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} -1+b+c=0 \\ -9+3b+c=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=4 \\ c=-3 \end{cases}$
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2+4x-3$。
（2）令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=-3$，即$C(0,-3)$。
设直线BC对应的函数解析式为$y=kx+n$，将$B(3,0)$、$C(0,-3)$代入，得：
$\begin{cases} 3k+n=0 \\ n=-3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1 \\ n=-3 \end{cases}$
因此直线BC对应的函数解析式为$y=x-3$。
（3）由$A(1,0)$、$B(3,0)$可得AB的长度为$3-1=2$，点C到$x$轴的距离为$|-3|=3$，即$△ ABC$中AB边上的高为3。
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}× AB × 3=\dfrac{1}{2}×2×3=3$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=-x^2+4x-3}$；（2）$\boldsymbol{y=x-3}$；（3）$\boldsymbol{3}$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的交点问题；三角形面积计算
【点评】
本题属于函数基础综合题，解题的关键是先利用已知条件求出各交点坐标，再结合待定系数法、几何面积公式依次求解，有助于巩固函数的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 用总长为40 cm的绳子围成一个矩形，则矩形面积y（单位：$\mathrm{cm}^2$）关于一边长x（单位：cm）的函数解析式为（）.
A.$y=x^2$
B.$y=-x^2+40x$
C.$y=-x^2+20x$
D.$y=-x^2+20$
A.$y=x^2$
B.$y=-x^2+40x$
C.$y=-x^2+20x$
D.$y=-x^2+20$
答案：C
解析：
【分析】
这是一道二次函数在几何图形中的应用题目，解题思路如下：第一步，先根据矩形的周长公式，已知绳子总长（即矩形周长）和其中一边长x，求出矩形另一边长的表达式；第二步，再根据矩形面积公式，将两边长代入即可得到面积y关于x的函数解析式，最后对比选项得出答案。
【解析】
已知矩形的周长为40 cm，一边长为x cm，
根据矩形周长公式：周长=2×（相邻两边长度之和），可得矩形另一相邻边长为：$\frac{40}{2} - x = (20 - x)$ cm，
再根据矩形面积公式：面积=长×宽，可得：
$y = x(20 - x)$
展开化简得：$y = -x^2 + 20x$（其中x的取值范围为$0＜x＜20$）
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 矩形周长与面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，核心考查几何图形基本公式与函数解析式的结合运用，解题的关键是先通过周长公式求出未知边的表达式，再代入面积公式化简即可。
【难度系数】
0.8
这是一道二次函数在几何图形中的应用题目，解题思路如下：第一步，先根据矩形的周长公式，已知绳子总长（即矩形周长）和其中一边长x，求出矩形另一边长的表达式；第二步，再根据矩形面积公式，将两边长代入即可得到面积y关于x的函数解析式，最后对比选项得出答案。
【解析】
已知矩形的周长为40 cm，一边长为x cm，
根据矩形周长公式：周长=2×（相邻两边长度之和），可得矩形另一相邻边长为：$\frac{40}{2} - x = (20 - x)$ cm，
再根据矩形面积公式：面积=长×宽，可得：
$y = x(20 - x)$
展开化简得：$y = -x^2 + 20x$（其中x的取值范围为$0＜x＜20$）
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 矩形周长与面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，核心考查几何图形基本公式与函数解析式的结合运用，解题的关键是先通过周长公式求出未知边的表达式，再代入面积公式化简即可。
【难度系数】
0.8