7. 一个二次函数的图象的顶点为 $(3, -1)$，与 $y$ 轴的交点为 $(0, -4)$，求这个二次函数的解析式。
答案：解：设这个二次函数的解析式为 $ y = a(x-3)^2 - 1 \ (a ≠ 0) $。
将点$(0, -4)$代入解析式，得：
$-4 = a(0-3)^2 - 1$
整理得 $ 9a - 1 = -4 $，
解得 $ a = -\frac{1}{3} $。
将$a=-\frac{1}{3}$代入顶点式展开整理：
$y = -\frac{1}{3}(x-3)^2 - 1 = -\frac{1}{3}x^2 + 2x - 4$
所以这个二次函数的解析式为 $ \boldsymbol{y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x - 4} $。
将点$(0, -4)$代入解析式，得：
$-4 = a(0-3)^2 - 1$
整理得 $ 9a - 1 = -4 $，
解得 $ a = -\frac{1}{3} $。
将$a=-\frac{1}{3}$代入顶点式展开整理：
$y = -\frac{1}{3}(x-3)^2 - 1 = -\frac{1}{3}x^2 + 2x - 4$
所以这个二次函数的解析式为 $ \boldsymbol{y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x - 4} $。
解析：
【分析】
已知二次函数的顶点坐标，优先选择顶点式设解析式，比一般式计算更简便。首先根据顶点坐标写出仅含参数a的顶点式，再将已知的与y轴交点坐标代入解析式求出a的值，最后将顶点式整理为一般式即可得到所求解析式。
【解析】
因为二次函数图象的顶点为$(3, -1)$，所以设这个二次函数的解析式为 $ y = a(x-3)^2 - 1 \ (a ≠ 0) $。
将与$y$轴的交点$(0, -4)$代入上述解析式，得：
$-4 = a(0-3)^2 - 1$
整理得 $9a - 1 = -4$，
解得 $ a = -\frac{1}{3} $。
将$a=-\frac{1}{3}$代入顶点式并展开整理：
$y = -\frac{1}{3}(x-3)^2 - 1 = -\frac{1}{3}(x^2 - 6x +9) -1 = -\frac{1}{3}x^2 + 2x - 3 -1 = -\frac{1}{3}x^2 + 2x - 4$
【答案】
$y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x - 4$
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的常规题型，解题核心是根据已知条件选择最优的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可大幅简化计算，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
已知二次函数的顶点坐标，优先选择顶点式设解析式，比一般式计算更简便。首先根据顶点坐标写出仅含参数a的顶点式，再将已知的与y轴交点坐标代入解析式求出a的值，最后将顶点式整理为一般式即可得到所求解析式。
【解析】
因为二次函数图象的顶点为$(3, -1)$，所以设这个二次函数的解析式为 $ y = a(x-3)^2 - 1 \ (a ≠ 0) $。
将与$y$轴的交点$(0, -4)$代入上述解析式，得：
$-4 = a(0-3)^2 - 1$
整理得 $9a - 1 = -4$，
解得 $ a = -\frac{1}{3} $。
将$a=-\frac{1}{3}$代入顶点式并展开整理：
$y = -\frac{1}{3}(x-3)^2 - 1 = -\frac{1}{3}(x^2 - 6x +9) -1 = -\frac{1}{3}x^2 + 2x - 3 -1 = -\frac{1}{3}x^2 + 2x - 4$
【答案】
$y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x - 4$
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的常规题型，解题核心是根据已知条件选择最优的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可大幅简化计算，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
8. 若二次函数$y=x^2 -4x +n$的图象与x轴只有一个公共点，求实数n.
答案：解：
∵二次函数$y=x^2 -4x +n$的图象与x轴只有一个公共点，
∴对应的一元二次方程$x^2 -4x +n=0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
将$a=1$，$b=-4$，$c=n$代入得：
$(-4)^2 - 4×1× n = 0$
即$16 - 4n = 0$，
解得$n=4$。
∵二次函数$y=x^2 -4x +n$的图象与x轴只有一个公共点，
∴对应的一元二次方程$x^2 -4x +n=0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
将$a=1$，$b=-4$，$c=n$代入得：
$(-4)^2 - 4×1× n = 0$
即$16 - 4n = 0$，
解得$n=4$。
解析：
【分析】
解题时首先要明确二次函数图象与x轴的交点个数和对应的一元二次方程根的情况的对应关系：当图象与x轴只有1个公共点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，此时判别式Δ=0。接下来只要确定二次函数对应一元二次方程的a、b、c的值，代入判别式等于0的式子，解关于n的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
∵二次函数$y=x^2 -4x +n$的图象与x轴只有一个公共点，
∴对应的一元二次方程$x^2 -4x +n=0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=n$，代入得：
$(-4)^2 - 4×1× n = 0$
即$16 - 4n = 0$，
解得$n=4$。
【答案】
$n=4$
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础常考题，核心是掌握二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系，熟练代入系数计算即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确二次函数图象与x轴的交点个数和对应的一元二次方程根的情况的对应关系：当图象与x轴只有1个公共点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，此时判别式Δ=0。接下来只要确定二次函数对应一元二次方程的a、b、c的值，代入判别式等于0的式子，解关于n的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
∵二次函数$y=x^2 -4x +n$的图象与x轴只有一个公共点，
∴对应的一元二次方程$x^2 -4x +n=0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=n$，代入得：
$(-4)^2 - 4×1× n = 0$
即$16 - 4n = 0$，
解得$n=4$。
【答案】
$n=4$
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础常考题，核心是掌握二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系，熟练代入系数计算即可求解。
【难度系数】
0.8
9. 如图，抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的两个交点分别为$A(-2,4)$，$B(1,1)$，求关于$x$的一元二次方程$ax^2=bx+c$的根。
答案：解：
∵ 抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2=bx+c$的根，
又∵ 抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的两个交点坐标分别为$A(-2,4)$，$B(1,1)$，
∴ 方程$ax^2=bx+c$的根为$x_1=-2$，$x_2=1$。
∵ 抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2=bx+c$的根，
又∵ 抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的两个交点坐标分别为$A(-2,4)$，$B(1,1)$，
∴ 方程$ax^2=bx+c$的根为$x_1=-2$，$x_2=1$。
解析：
【分析】
求解关于x的一元二次方程$ax^2=bx+c$的根，本质是找使$y=ax^2$和$y=bx+c$函数值相等的x的值，对应到函数图象上，就是抛物线与直线交点的横坐标。已知两个交点的坐标，直接提取交点的横坐标即可得到方程的根。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2=bx+c$的根，
又
∵ 抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的两个交点坐标分别为$A(-2,4)$，$B(1,1)$，
∴ 方程$ax^2=bx+c$的根为$x_1=-2$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=-2$，$x_2=1$
【知识点】
函数图象交点的意义；一元二次方程的根
【点评】
本题考查函数与方程的联系，不需要复杂计算，掌握两个函数图象交点的横坐标即为对应方程的根这一规律即可快速解题，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
求解关于x的一元二次方程$ax^2=bx+c$的根，本质是找使$y=ax^2$和$y=bx+c$函数值相等的x的值，对应到函数图象上，就是抛物线与直线交点的横坐标。已知两个交点的坐标，直接提取交点的横坐标即可得到方程的根。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2=bx+c$的根，
又
∵ 抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的两个交点坐标分别为$A(-2,4)$，$B(1,1)$，
∴ 方程$ax^2=bx+c$的根为$x_1=-2$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=-2$，$x_2=1$
【知识点】
函数图象交点的意义；一元二次方程的根
【点评】
本题考查函数与方程的联系，不需要复杂计算，掌握两个函数图象交点的横坐标即为对应方程的根这一规律即可快速解题，属于基础题型。
【难度系数】
0.9