4. 如图，在等腰直角三角形OAB中，OA=1，将△OAB绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点$B_1$的坐标为（）。
A.$(2, 0)$
B.$(\sqrt{2}, 0)$
C.$(0, \sqrt{2})$
D.$(0, 2)$
A.$(2, 0)$
B.$(\sqrt{2}, 0)$
C.$(0, \sqrt{2})$
D.$(0, 2)$
答案：C
解析：
【分析】
解题时先从已知的等腰直角三角形条件入手：首先根据等腰直角△OAB的边长OA=1，可算出斜边OB的长度，再结合旋转的性质，旋转不改变线段长度，所以OB₁=OB，再判断旋转后OB的位置：原本OB与x轴负方向夹角为45°，顺时针旋转45°后刚好与y轴正方向重合，即可直接写出B₁的坐标。
【解析】
∵△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=90°，OA=1
∴AB=OA=1
由勾股定理可得：$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
由等腰直角三角形性质可知，∠BOA=45°，将△OAB绕原点O顺时针旋转45°后，OB旋转至y轴正半轴位置，即点B₁在y轴正半轴上。
根据旋转的性质，$OB_1=OB=\sqrt{2}$，因此点B₁的坐标为$(0,\sqrt{2})$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是坐标与图形旋转的基础题，解题的关键是熟练掌握旋转不改变线段长度的性质，结合等腰直角三角形的角度特征判断旋转后点的位置，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等腰直角三角形条件入手：首先根据等腰直角△OAB的边长OA=1，可算出斜边OB的长度，再结合旋转的性质，旋转不改变线段长度，所以OB₁=OB，再判断旋转后OB的位置：原本OB与x轴负方向夹角为45°，顺时针旋转45°后刚好与y轴正方向重合，即可直接写出B₁的坐标。
【解析】
∵△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=90°，OA=1
∴AB=OA=1
由勾股定理可得：$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
由等腰直角三角形性质可知，∠BOA=45°，将△OAB绕原点O顺时针旋转45°后，OB旋转至y轴正半轴位置，即点B₁在y轴正半轴上。
根据旋转的性质，$OB_1=OB=\sqrt{2}$，因此点B₁的坐标为$(0,\sqrt{2})$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是坐标与图形旋转的基础题，解题的关键是熟练掌握旋转不改变线段长度的性质，结合等腰直角三角形的角度特征判断旋转后点的位置，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. 直线 $y=-\dfrac{4}{3}x+4$ 与x轴、y轴分别交于A，B两点，△AOB绕点A顺时针旋转 $90°$ 得到△$AO'B'$，则点B的对应点$B'$的坐标为。
答案：解：
在直线$y=-\dfrac{4}{3}x+4$中：
令$y=0$，得$0=-\dfrac{4}{3}x+4$，解得$x=3$，因此$A(3,0)$，$OA=3$；
令$x=0$，得$y=4$，因此$B(0,4)$，$OB=4$。
由旋转的性质可得：
$AO'=AO=3$，$O'B'=OB=4$，$∠ O'AO=90°$，$∠ AO'B'=∠ AOB=90°$。
由$∠ O'AO=90°$可知$AO'⊥ x$轴，因此$O'$的横坐标与点$A$横坐标相等，为$3$，结合$AO'=3$，得$O'(3,3)$。
由$∠ AO'B'=90°$可知$O'B'// x$轴，因此$B'$的纵坐标与点$O'$纵坐标相等，为$3$，结合$O'B'=4$，得$B'$的横坐标为$3+4=7$。
因此点$B'$的坐标为$\boldsymbol{(7,3)}$。
在直线$y=-\dfrac{4}{3}x+4$中：
令$y=0$，得$0=-\dfrac{4}{3}x+4$，解得$x=3$，因此$A(3,0)$，$OA=3$；
令$x=0$，得$y=4$，因此$B(0,4)$，$OB=4$。
由旋转的性质可得：
$AO'=AO=3$，$O'B'=OB=4$，$∠ O'AO=90°$，$∠ AO'B'=∠ AOB=90°$。
由$∠ O'AO=90°$可知$AO'⊥ x$轴，因此$O'$的横坐标与点$A$横坐标相等，为$3$，结合$AO'=3$，得$O'(3,3)$。
由$∠ AO'B'=90°$可知$O'B'// x$轴，因此$B'$的纵坐标与点$O'$纵坐标相等，为$3$，结合$O'B'=4$，得$B'$的横坐标为$3+4=7$。
因此点$B'$的坐标为$\boldsymbol{(7,3)}$。
解析：
【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，先求出直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度；第二步，根据旋转的性质，明确旋转后对应边长度不变、对应角相等，旋转角为90°，先确定旋转后点O'的坐标；第三步，结合O'的坐标和O'B'的长度、方向，最终推导得到点B'的坐标。
【解析】
在直线$y=-\dfrac{4}{3}x+4$中：
令$y=0$，得$0=-\dfrac{4}{3}x+4$，解得$x=3$，因此$A(3,0)$，$OA=3$；
令$x=0$，得$y=4$，因此$B(0,4)$，$OB=4$。
由旋转的性质可得：
$AO'=AO=3$，$O'B'=OB=4$，$∠ O'AO=90°$，$∠ AO'B'=∠ AOB=90°$。
由$∠ O'AO=90°$可知$AO'⊥ x$轴，因此$O'$的横坐标与点$A$横坐标相等，为$3$，结合$AO'=3$，得$O'(3,3)$。
由$∠ AO'B'=90°$可知$O'B'// x$轴，因此$B'$的纵坐标与点$O'$纵坐标相等，为$3$，结合$O'B'=4$，得$B'$的横坐标为$3+4=7$。
因此点$B'$的坐标为$(7,3)$。
【答案】
$(7,3)$
【知识点】
1. 一次函数与坐标轴交点求解
2. 旋转的性质
3. 平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是熟练掌握一次函数图象交点的求法和旋转的性质，推导坐标时要注意旋转方向，避免出现坐标加减方向的错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，先求出直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度；第二步，根据旋转的性质，明确旋转后对应边长度不变、对应角相等，旋转角为90°，先确定旋转后点O'的坐标；第三步，结合O'的坐标和O'B'的长度、方向，最终推导得到点B'的坐标。
【解析】
在直线$y=-\dfrac{4}{3}x+4$中：
令$y=0$，得$0=-\dfrac{4}{3}x+4$，解得$x=3$，因此$A(3,0)$，$OA=3$；
令$x=0$，得$y=4$，因此$B(0,4)$，$OB=4$。
由旋转的性质可得：
$AO'=AO=3$，$O'B'=OB=4$，$∠ O'AO=90°$，$∠ AO'B'=∠ AOB=90°$。
由$∠ O'AO=90°$可知$AO'⊥ x$轴，因此$O'$的横坐标与点$A$横坐标相等，为$3$，结合$AO'=3$，得$O'(3,3)$。
由$∠ AO'B'=90°$可知$O'B'// x$轴，因此$B'$的纵坐标与点$O'$纵坐标相等，为$3$，结合$O'B'=4$，得$B'$的横坐标为$3+4=7$。
因此点$B'$的坐标为$(7,3)$。
【答案】
$(7,3)$
【知识点】
1. 一次函数与坐标轴交点求解
2. 旋转的性质
3. 平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是熟练掌握一次函数图象交点的求法和旋转的性质，推导坐标时要注意旋转方向，避免出现坐标加减方向的错误。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，$BC=2$，点$D$在$BC$上，且$BD:CD=1:3$，连接$AD$，将线段$AD$绕点$A$顺时针旋转$90°$得到线段$AE$，连接$BE$，$DE$，则$△ BDE$的面积为________。
答案：$\boldsymbol{\frac{3}{8}}$
解析：
【分析】
解题时先结合旋转的性质分析：线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，可得AD=AE，∠DAE=90°，结合△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，可推导出∠EAB=∠DAC，通过SAS证明△EAB≌△DAC，得到BE=CD，且∠EBA=∠C=45°，进而推出∠EBD=90°，即△BDE为直角三角形。再根据BC的长度和BD、CD的比例求出两条直角边BD、BE的长度，最后用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 由旋转的性质可得：$AD=AE$，$∠ DAE=90°$。
$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore ∠ BAC=∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAC-∠ BAD=∠ DAE-∠ BAD$，即$∠ EAB=∠ DAC$。
2. 在$△ EAB$和$△ DAC$中：
$\begin{cases}AE=AD \\∠ EAB=∠ DAC \\AB=AC\end{cases}$
$\therefore △ EAB≌△ DAC(\mathrm{SAS})$。
3. $\because △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=45°$，
由全等得：$BE=CD$，$∠ EBA=∠ C=45°$，
$\therefore ∠ EBD=∠ EBA+∠ ABC=45°+45°=90°$，即$△ BDE$是直角三角形。
4. $\because BC=2$，$BD:CD=1:3$，
$\therefore BD=2×\frac{1}{1+3}=\frac{1}{2}$，$CD=2×\frac{3}{1+3}=\frac{3}{2}$，
$\therefore BE=CD=\frac{3}{2}$。
5. $△ BDE$的面积：$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}× BD× BE=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=\frac{3}{8}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3}{8}}$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了几何图形变换、三角形全等和等腰直角三角形的相关知识，解题的核心是通过旋转的边角关系构造全等三角形，确定所求三角形的形状和边长，属于几何综合类基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先结合旋转的性质分析：线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，可得AD=AE，∠DAE=90°，结合△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，可推导出∠EAB=∠DAC，通过SAS证明△EAB≌△DAC，得到BE=CD，且∠EBA=∠C=45°，进而推出∠EBD=90°，即△BDE为直角三角形。再根据BC的长度和BD、CD的比例求出两条直角边BD、BE的长度，最后用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 由旋转的性质可得：$AD=AE$，$∠ DAE=90°$。
$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore ∠ BAC=∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAC-∠ BAD=∠ DAE-∠ BAD$，即$∠ EAB=∠ DAC$。
2. 在$△ EAB$和$△ DAC$中：
$\begin{cases}AE=AD \\∠ EAB=∠ DAC \\AB=AC\end{cases}$
$\therefore △ EAB≌△ DAC(\mathrm{SAS})$。
3. $\because △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=45°$，
由全等得：$BE=CD$，$∠ EBA=∠ C=45°$，
$\therefore ∠ EBD=∠ EBA+∠ ABC=45°+45°=90°$，即$△ BDE$是直角三角形。
4. $\because BC=2$，$BD:CD=1:3$，
$\therefore BD=2×\frac{1}{1+3}=\frac{1}{2}$，$CD=2×\frac{3}{1+3}=\frac{3}{2}$，
$\therefore BE=CD=\frac{3}{2}$。
5. $△ BDE$的面积：$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}× BD× BE=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=\frac{3}{8}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3}{8}}$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了几何图形变换、三角形全等和等腰直角三角形的相关知识，解题的核心是通过旋转的边角关系构造全等三角形，确定所求三角形的形状和边长，属于几何综合类基础题。
【难度系数】
0.7
7. 点A(-7，4)关于原点的对称点的坐标为。
答案：解：平面直角坐标系中，关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数。
已知点$A(-7,4)$，则其关于原点对称点的横坐标为$-(-7)=7$，纵坐标为$-4$，因此点$A$关于原点的对称点的坐标为$\boldsymbol{(7,-4)}$。
已知点$A(-7,4)$，则其关于原点对称点的横坐标为$-(-7)=7$，纵坐标为$-4$，因此点$A$关于原点的对称点的坐标为$\boldsymbol{(7,-4)}$。
解析：
【分析】
解决这道题首先要回忆平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律：若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们已知点A的坐标，只需要分别将其横、纵坐标取相反数，就能得到对应对称点的坐标。
【解析】
根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标性质：关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数。
已知点A的坐标为(-7,4)，则其对称点的横坐标为$-(-7)=7$，纵坐标为$-4$，因此点A关于原点的对称点的坐标为$(7,-4)$。
【答案】
$(7,-4)$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础类题目，核心考察对原点对称的坐标规律的掌握，熟练记忆对应规律即可快速得出答案，是坐标系对称类问题的基础题型。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要回忆平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律：若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们已知点A的坐标，只需要分别将其横、纵坐标取相反数，就能得到对应对称点的坐标。
【解析】
根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标性质：关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数。
已知点A的坐标为(-7,4)，则其对称点的横坐标为$-(-7)=7$，纵坐标为$-4$，因此点A关于原点的对称点的坐标为$(7,-4)$。
【答案】
$(7,-4)$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础类题目，核心考察对原点对称的坐标规律的掌握，熟练记忆对应规律即可快速得出答案，是坐标系对称类问题的基础题型。
【难度系数】
0.9
8. 如图，在平面直角坐标系中，将点P(2，3)绕原点O顺时针旋转90°得到点P′，则点P′的坐标为.
答案：解：过点P作PA⊥y轴于点A，过点P'作P'B⊥x轴于点B。
∵点P的坐标为(2,3)，
∴PA=2，OA=3。
由旋转的性质可知：OP=OP'，∠POP'=90°，
∴∠AOP + ∠POx = 90°，∠P'OB + ∠POx = 90°，
∴∠AOP=∠P'OB。
在△AOP和△BOP'中：
$\{\begin{array}{l}∠PAO=∠P'BO=90° \\∠AOP=∠BOP' \\OP=OP'\end{array} $
∴△AOP≌△BOP'(AAS)，
∴OB=OA=3，P'B=PA=2。
∵点P'位于第四象限，
∴点P'的坐标为$(3,-2)$。
∵点P的坐标为(2,3)，
∴PA=2，OA=3。
由旋转的性质可知：OP=OP'，∠POP'=90°，
∴∠AOP + ∠POx = 90°，∠P'OB + ∠POx = 90°，
∴∠AOP=∠P'OB。
在△AOP和△BOP'中：
$\{\begin{array}{l}∠PAO=∠P'BO=90° \\∠AOP=∠BOP' \\OP=OP'\end{array} $
∴△AOP≌△BOP'(AAS)，
∴OB=OA=3，P'B=PA=2。
∵点P'位于第四象限，
∴点P'的坐标为$(3,-2)$。
解析：
【分析】
要解决点绕原点顺时针旋转90°后的坐标问题，我们可以借助旋转的性质结合全等三角形求解：首先过原点点P向y轴作垂线，过旋转后的点P'向x轴作垂线，构造两个直角三角形；利用旋转90°可得角的等量关系，结合旋转前后对应点到原点的距离相等，证明两个直角三角形全等；通过全等三角形对应边相等得到P'到两坐标轴的距离，再结合P'所在象限确定坐标的符号，即可得到结果。
【解析】
过点P作PA⊥y轴于点A，过点P'作P'B⊥x轴于点B。
∵点P的坐标为(2,3)，
∴PA=2，OA=3。
由旋转的性质可知：OP=OP'，∠POP'=90°，
∴∠AOP + ∠POx = 90°，∠P'OB + ∠POx = 90°，
∴∠AOP=∠P'OB。
在△AOP和△BOP'中：
$\{\begin{array}{l}∠PAO=∠P'BO=90° \\∠AOP=∠BOP' \\OP=OP'\end{array} $
∴△AOP≌△BOP'(AAS)，
∴OB=OA=3，P'B=PA=2。
∵点P'位于第四象限，横坐标为正，纵坐标为负，
∴点P'的坐标为$(3,-2)$。
【答案】
$(3,-2)$
【知识点】
1. 旋转的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系中旋转求坐标的典型题型，解题核心是通过构造辅助线得到全等三角形，将点的坐标转化为线段长度求解，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
要解决点绕原点顺时针旋转90°后的坐标问题，我们可以借助旋转的性质结合全等三角形求解：首先过原点点P向y轴作垂线，过旋转后的点P'向x轴作垂线，构造两个直角三角形；利用旋转90°可得角的等量关系，结合旋转前后对应点到原点的距离相等，证明两个直角三角形全等；通过全等三角形对应边相等得到P'到两坐标轴的距离，再结合P'所在象限确定坐标的符号，即可得到结果。
【解析】
过点P作PA⊥y轴于点A，过点P'作P'B⊥x轴于点B。
∵点P的坐标为(2,3)，
∴PA=2，OA=3。
由旋转的性质可知：OP=OP'，∠POP'=90°，
∴∠AOP + ∠POx = 90°，∠P'OB + ∠POx = 90°，
∴∠AOP=∠P'OB。
在△AOP和△BOP'中：
$\{\begin{array}{l}∠PAO=∠P'BO=90° \\∠AOP=∠BOP' \\OP=OP'\end{array} $
∴△AOP≌△BOP'(AAS)，
∴OB=OA=3，P'B=PA=2。
∵点P'位于第四象限，横坐标为正，纵坐标为负，
∴点P'的坐标为$(3,-2)$。
【答案】
$(3,-2)$
【知识点】
1. 旋转的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系中旋转求坐标的典型题型，解题核心是通过构造辅助线得到全等三角形，将点的坐标转化为线段长度求解，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
9. 如图，$△ ABC$ 为等边三角形，$D$ 是$△ ABC$ 内一点. 若将$△ ABD$绕点$A$逆时针旋转到$△ ACP$的位置，求旋转角的度数.
答案：解：
∵ △ABC为等边三角形，
∴ AB=AC，∠BAC=60°。
∵ 将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACP的位置，点B的对应点为点C，
∴ 旋转角即为对应点与旋转中心连线的夹角∠BAC。
∴ 旋转角的度数为60°。
∵ △ABC为等边三角形，
∴ AB=AC，∠BAC=60°。
∵ 将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACP的位置，点B的对应点为点C，
∴ 旋转角即为对应点与旋转中心连线的夹角∠BAC。
∴ 旋转角的度数为60°。
解析：
【分析】
要解决这个问题，首先回忆旋转角的定义：旋转角是旋转前后一组对应点与旋转中心连线的夹角。首先确定本题的旋转中心是点A，△ABD旋转后得到△ACP，可知点B的对应点是点C，因此旋转角就是∠BAC；再结合等边三角形的内角为60°的性质，即可求出旋转角的度数。
【解析】
∵ △ABC为等边三角形，
∴ AB=AC，∠BAC=60°。
∵ 将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACP的位置，点B的对应点为点C，
∴ 旋转角即为对应点与旋转中心连线的夹角∠BAC。
∴ 旋转角的度数为60°。
【答案】
$60°$
【知识点】
1. 等边三角形的性质
2. 旋转的概念
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确旋转中心和对应点，准确找到旋转角，再结合等边三角形的性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆旋转角的定义：旋转角是旋转前后一组对应点与旋转中心连线的夹角。首先确定本题的旋转中心是点A，△ABD旋转后得到△ACP，可知点B的对应点是点C，因此旋转角就是∠BAC；再结合等边三角形的内角为60°的性质，即可求出旋转角的度数。
【解析】
∵ △ABC为等边三角形，
∴ AB=AC，∠BAC=60°。
∵ 将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACP的位置，点B的对应点为点C，
∴ 旋转角即为对应点与旋转中心连线的夹角∠BAC。
∴ 旋转角的度数为60°。
【答案】
$60°$
【知识点】
1. 等边三角形的性质
2. 旋转的概念
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确旋转中心和对应点，准确找到旋转角，再结合等边三角形的性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.8