2. 如图，AB是$\odot O$的直径，四边形ABCD内接于$\odot O$. 若$BC=CD=DA=4\ \mathrm{cm}$，则$\odot O$的直径AB为（）.
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.8 cm
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.8 cm
答案：D
解析：
【分析】
解题时先从已知条件“BC=CD=DA”入手，结合圆的性质：同圆中相等的弦对应相等的弧，可推出三条弧$\overset{\frown}{AD}$、$\overset{\frown}{DC}$、$\overset{\frown}{CB}$度数相等。再结合AB是直径，可知这三段弧的和为180°，由此可算出每段弧对应的圆心角为60°。最后连接OD，利用等边三角形的判定得到半径长度，即可求出直径AB的长。
【解析】
连接OD、OC。
∵ 在$\odot O$中，$AD=DC=CB=4\ \mathrm{cm}$，根据同圆中等弦对等弧的性质，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}$。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DC}+\overset{\frown}{CB}=180°$，因此每段弧的度数为$180°÷3=60°$，即圆心角$∠ AOD=60°$。
又
∵ OA、OD都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OD$，$△ AOD$为有一个角是60°的等腰三角形，即等边三角形，因此$OA=AD=4\ \mathrm{cm}$。
∴ $\odot O$的直径$AB=2OA=2×4=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
等弦对等弧；等边三角形判定；圆直径性质
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，核心是通过弦的等量关系推导弧和圆心角的等量关系，结合等边三角形的性质求解半径，只要熟练掌握圆的基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件“BC=CD=DA”入手，结合圆的性质：同圆中相等的弦对应相等的弧，可推出三条弧$\overset{\frown}{AD}$、$\overset{\frown}{DC}$、$\overset{\frown}{CB}$度数相等。再结合AB是直径，可知这三段弧的和为180°，由此可算出每段弧对应的圆心角为60°。最后连接OD，利用等边三角形的判定得到半径长度，即可求出直径AB的长。
【解析】
连接OD、OC。
∵ 在$\odot O$中，$AD=DC=CB=4\ \mathrm{cm}$，根据同圆中等弦对等弧的性质，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}$。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DC}+\overset{\frown}{CB}=180°$，因此每段弧的度数为$180°÷3=60°$，即圆心角$∠ AOD=60°$。
又
∵ OA、OD都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OD$，$△ AOD$为有一个角是60°的等腰三角形，即等边三角形，因此$OA=AD=4\ \mathrm{cm}$。
∴ $\odot O$的直径$AB=2OA=2×4=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
等弦对等弧；等边三角形判定；圆直径性质
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，核心是通过弦的等量关系推导弧和圆心角的等量关系，结合等边三角形的性质求解半径，只要熟练掌握圆的基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
3. 如图，AB，BC为$\odot O$的两条弦，连接OA，OC，D为AB延长线上一点. 若$∠ CBD=62°$，则$∠ AOC$的度数为（）.
A.$130°$
B.$124°$
C.$114°$
D.$100°$
A.$130°$
B.$124°$
C.$114°$
D.$100°$
答案：B
解析：
【分析】
解题时首先观察已知角∠CBD的位置，它是圆上点B处的外角，我们可以先通过邻补角关系求出∠ABC的度数，∠ABC是优弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理可求出优弧AC对应的圆心角度数，再用周角减去优弧AC的圆心角度数，就能得到劣弧AC对应的圆心角∠AOC的度数；也可利用圆内接四边形外角等于内对角的性质，直接得到劣弧AC对应的圆周角度数，再结合圆周角定理求出圆心角∠AOC。
【解析】
解：
∵ ∠CBD与∠ABC互为邻补角，∠CBD=62°，
∴ ∠ABC = 180° - ∠CBD = 180° - 62° = 118°。
∵ ∠ABC是优弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ 优弧AC对应的圆心角度数为 $2×∠ ABC = 2×118°=236°$。
∵ 整个圆周对应的圆心角为360°，
∴ 劣弧AC对应的圆心角$∠ AOC=360°-236°=124°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础考查题，核心是掌握同弧所对圆心角和圆周角的数量关系，结合圆内接四边形的角度性质即可快速推导求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知角∠CBD的位置，它是圆上点B处的外角，我们可以先通过邻补角关系求出∠ABC的度数，∠ABC是优弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理可求出优弧AC对应的圆心角度数，再用周角减去优弧AC的圆心角度数，就能得到劣弧AC对应的圆心角∠AOC的度数；也可利用圆内接四边形外角等于内对角的性质，直接得到劣弧AC对应的圆周角度数，再结合圆周角定理求出圆心角∠AOC。
【解析】
解：
∵ ∠CBD与∠ABC互为邻补角，∠CBD=62°，
∴ ∠ABC = 180° - ∠CBD = 180° - 62° = 118°。
∵ ∠ABC是优弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ 优弧AC对应的圆心角度数为 $2×∠ ABC = 2×118°=236°$。
∵ 整个圆周对应的圆心角为360°，
∴ 劣弧AC对应的圆心角$∠ AOC=360°-236°=124°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础考查题，核心是掌握同弧所对圆心角和圆周角的数量关系，结合圆内接四边形的角度性质即可快速推导求解。
【难度系数】
0.7
4. 如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形. 若$∠ BOD=100°$,则$∠ BCD$的度数为.
答案：$\boldsymbol{130°}$
解析：
【分析】
解题思路如下：首先已知圆心角∠BOD的度数，先依据圆周角定理，求出同弧BD所对的圆周角∠BAD的度数；再利用圆内接四边形对角互补的性质，即可计算出∠BCD的度数。
【解析】
1. 求∠BAD的度数：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧BD对应的圆心角∠BOD=100°，因此$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×100°=50°$。
2. 求∠BCD的度数：因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，圆内接四边形的对角互补，即$∠ BAD+∠ BCD=180°$，代入$∠ BAD=50°$，可得$∠ BCD=180°-50°=130°$。
【答案】
$\boldsymbol{130°}$
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的性质相关的基础题，需要熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题时注意区分圆心角和圆周角的对应关系即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先已知圆心角∠BOD的度数，先依据圆周角定理，求出同弧BD所对的圆周角∠BAD的度数；再利用圆内接四边形对角互补的性质，即可计算出∠BCD的度数。
【解析】
1. 求∠BAD的度数：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧BD对应的圆心角∠BOD=100°，因此$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×100°=50°$。
2. 求∠BCD的度数：因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，圆内接四边形的对角互补，即$∠ BAD+∠ BCD=180°$，代入$∠ BAD=50°$，可得$∠ BCD=180°-50°=130°$。
【答案】
$\boldsymbol{130°}$
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的性质相关的基础题，需要熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题时注意区分圆心角和圆周角的对应关系即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在圆内接四边形ABCD中，$∠ BCD=105°$，连接OB，OC，OD，BD. 若$∠ BOC=2∠ COD$，求$∠ CBD$的度数.
答案：解：
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°，
∵ ∠BCD = 105°，
∴ ∠BAD = 180° - 105° = 75°。
由圆周角定理，弧BD所对的圆心角∠BOD = 2∠BAD = 150°，
即 ∠BOC + ∠COD = 150°，
又∵ ∠BOC = 2∠COD，
∴ 2∠COD + ∠COD = 150°，
解得 ∠COD = 50°。
∵ ∠CBD是弧CD所对的圆周角，
∴ ∠CBD = $\frac{1}{2}$∠COD = 25°。
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°，
∵ ∠BCD = 105°，
∴ ∠BAD = 180° - 105° = 75°。
由圆周角定理，弧BD所对的圆心角∠BOD = 2∠BAD = 150°，
即 ∠BOC + ∠COD = 150°，
又∵ ∠BOC = 2∠COD，
∴ 2∠COD + ∠COD = 150°，
解得 ∠COD = 50°。
∵ ∠CBD是弧CD所对的圆周角，
∴ ∠CBD = $\frac{1}{2}$∠COD = 25°。
解析：
【分析】
解题时先结合已知条件定位对应的性质：首先由圆内接四边形的对角互补性质，结合已知的∠BCD度数求出∠BAD；再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出弧BD对应的圆心角∠BOD的度数；接着利用∠BOC和∠COD的数量关系，计算出∠COD的度数；最后再次运用圆周角定理，求出弧CD所对的圆周角∠CBD的度数即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°，
∵ ∠BCD = 105°，
∴ ∠BAD = 180° - 105° = 75°。
由圆周角定理，弧BD所对的圆心角∠BOD = 2∠BAD = 150°，
即 ∠BOC + ∠COD = 150°，
又
∵ ∠BOC = 2∠COD，
∴ 2∠COD + ∠COD = 150°，
解得 ∠COD = 50°。
∵ ∠CBD是弧CD所对的圆周角，
∴ ∠CBD = $\frac{1}{2}$∠COD = 25°。
【答案】
25°
【知识点】
圆内接四边形性质、圆周角定理
【点评】
本题属于圆的性质基础综合题，解题关键是准确对应同弧所对的圆周角和圆心角的关系，按性质逐步推导即可，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.75
解题时先结合已知条件定位对应的性质：首先由圆内接四边形的对角互补性质，结合已知的∠BCD度数求出∠BAD；再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出弧BD对应的圆心角∠BOD的度数；接着利用∠BOC和∠COD的数量关系，计算出∠COD的度数；最后再次运用圆周角定理，求出弧CD所对的圆周角∠CBD的度数即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°，
∵ ∠BCD = 105°，
∴ ∠BAD = 180° - 105° = 75°。
由圆周角定理，弧BD所对的圆心角∠BOD = 2∠BAD = 150°，
即 ∠BOC + ∠COD = 150°，
又
∵ ∠BOC = 2∠COD，
∴ 2∠COD + ∠COD = 150°，
解得 ∠COD = 50°。
∵ ∠CBD是弧CD所对的圆周角，
∴ ∠CBD = $\frac{1}{2}$∠COD = 25°。
【答案】
25°
【知识点】
圆内接四边形性质、圆周角定理
【点评】
本题属于圆的性质基础综合题，解题关键是准确对应同弧所对的圆周角和圆心角的关系，按性质逐步推导即可，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.75