5. 如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且$∠ COA = 60°$.设扇形AOC，$△ COB$，弓形BC的面积分别为$S_1$，$S_2$，$S_3$，则它们之间的大小关系为________（用“＜”连接）.
答案：$\boldsymbol{S_2＜S_1＜S_3}$
解析：
【分析】
我们可以先设半圆O的半径为r，由∠COA=60°可推出∠COB=120°，再分别根据扇形面积公式、三角形面积公式求出$S_1$、$S_2$，再利用“弓形面积=对应扇形面积-内部三角形面积”求出$S_3$，最后比较三个面积的大小即可。
【解析】
设半圆O的半径为r，
∵AB为半圆O的直径，∠COA=60°，
∴∠COB=180°-60°=120°，且$OA=OB=OC=r$。
1. 求$S_1$：
扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数），代入$n=60°$得：
$S_1=\frac{60π r^2}{360}=\frac{π r^2}{6}\approx0.523r^2$
2. 求$S_2$：
过C作$CD⊥ AB$于D，在$Rt△ COD$中，∠COD=60°，$OC=r$，
∴$CD=OC·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，
三角形面积$S_2=\frac{1}{2}· OB· CD=\frac{1}{2}· r·\frac{\sqrt{3}}{2}r=\frac{\sqrt{3}r^2}{4}\approx0.433r^2$
3. 求$S_3$：
扇形COB的面积为$\frac{120π r^2}{360}=\frac{π r^2}{3}$，
弓形面积=扇形COB面积 - $△ COB$的面积，即：
$S_3=\frac{π r^2}{3}-\frac{\sqrt{3}r^2}{4}\approx1.047r^2-0.433r^2=0.614r^2$
对比数值可得：$0.433r^2＜0.523r^2＜0.614r^2$，即$S_2＜S_1＜S_3$。
【答案】
$S_2＜S_1＜S_3$
【知识点】
扇形面积计算，三角形面积计算，弓形面积计算
【点评】
本题属于面积比较类基础题，解题核心是通过设半径为参数，分别表示出三个待比较的面积，再通过估算数值或者作差的方式比较大小，熟记各类面积公式和特殊角的三角函数值是解题的关键。
【难度系数】
0.7
我们可以先设半圆O的半径为r，由∠COA=60°可推出∠COB=120°，再分别根据扇形面积公式、三角形面积公式求出$S_1$、$S_2$，再利用“弓形面积=对应扇形面积-内部三角形面积”求出$S_3$，最后比较三个面积的大小即可。
【解析】
设半圆O的半径为r，
∵AB为半圆O的直径，∠COA=60°，
∴∠COB=180°-60°=120°，且$OA=OB=OC=r$。
1. 求$S_1$：
扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数），代入$n=60°$得：
$S_1=\frac{60π r^2}{360}=\frac{π r^2}{6}\approx0.523r^2$
2. 求$S_2$：
过C作$CD⊥ AB$于D，在$Rt△ COD$中，∠COD=60°，$OC=r$，
∴$CD=OC·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，
三角形面积$S_2=\frac{1}{2}· OB· CD=\frac{1}{2}· r·\frac{\sqrt{3}}{2}r=\frac{\sqrt{3}r^2}{4}\approx0.433r^2$
3. 求$S_3$：
扇形COB的面积为$\frac{120π r^2}{360}=\frac{π r^2}{3}$，
弓形面积=扇形COB面积 - $△ COB$的面积，即：
$S_3=\frac{π r^2}{3}-\frac{\sqrt{3}r^2}{4}\approx1.047r^2-0.433r^2=0.614r^2$
对比数值可得：$0.433r^2＜0.523r^2＜0.614r^2$，即$S_2＜S_1＜S_3$。
【答案】
$S_2＜S_1＜S_3$
【知识点】
扇形面积计算，三角形面积计算，弓形面积计算
【点评】
本题属于面积比较类基础题，解题核心是通过设半径为参数，分别表示出三个待比较的面积，再通过估算数值或者作差的方式比较大小，熟记各类面积公式和特殊角的三角函数值是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在扇形OAB中，$∠ AOB = 90°$，D为AB上一点，且$AD=4$，$BD=2\sqrt{2}$，则阴影部分的面积为。
答案：解：连接AB，OD。
∵ 在扇形OAB中，OA=OB=OD，∠AOB=90°，
∴ 点A、D、B在以O为圆心的圆周上，优弧AB的度数为270°，
∴ ∠ADB = $\frac{1}{2} × 270° = 135°$。
在△ADB中，由余弦定理：
$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 · AD · BD · \cos135°$
代入$AD=4$，$BD=2\sqrt{2}$：
$AB^2 = 4^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 × 4 × 2\sqrt{2} × (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 16 + 8 + 16 = 40$。
∵ △AOB是等腰直角三角形，$OA^2 + OB^2 = AB^2$，OA=OB，
∴ $2OA^2 = 40$，即$OA^2 = 20$。
设∠AOD=α，∠BOD=90°−α，
在△OAD中，由余弦定理：
$\cosα = \frac{OA^2 + OD^2 - AD^2}{2 · OA · OD} = \frac{20+20-16}{40} = \frac{3}{5}$，
∴ $\sinα = \frac{4}{5}$。
在△ODB中，$\cos(90°-α) = \sinα = \frac{OB^2 + OD^2 - BD^2}{2 · OB · OD} = \frac{20+20-8}{40} = \frac{4}{5}$，符合条件。
四边形OADB的面积：
$S_{OADB} = S_{△ OAD} + S_{△ OBD}$
$= \frac{1}{2} · OA · OD · \sinα + \frac{1}{2} · OB · OD · \sin(90°-α)$
$= \frac{1}{2} × 20 × \frac{4}{5} + \frac{1}{2} × 20 × \frac{3}{5} = 8 + 6 = 14$。
扇形OAB的面积：
$S_{扇形OAB} = \frac{90π · OA^2}{360} = \frac{1}{4} × 20π = 5π$。
阴影部分面积为两个弓形面积之和：
$S_{阴影} = S_{扇形OAB} - S_{OADB} = 5π - 14$。
$\boldsymbol{5π -14}$
∵ 在扇形OAB中，OA=OB=OD，∠AOB=90°，
∴ 点A、D、B在以O为圆心的圆周上，优弧AB的度数为270°，
∴ ∠ADB = $\frac{1}{2} × 270° = 135°$。
在△ADB中，由余弦定理：
$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 · AD · BD · \cos135°$
代入$AD=4$，$BD=2\sqrt{2}$：
$AB^2 = 4^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 × 4 × 2\sqrt{2} × (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 16 + 8 + 16 = 40$。
∵ △AOB是等腰直角三角形，$OA^2 + OB^2 = AB^2$，OA=OB，
∴ $2OA^2 = 40$，即$OA^2 = 20$。
设∠AOD=α，∠BOD=90°−α，
在△OAD中，由余弦定理：
$\cosα = \frac{OA^2 + OD^2 - AD^2}{2 · OA · OD} = \frac{20+20-16}{40} = \frac{3}{5}$，
∴ $\sinα = \frac{4}{5}$。
在△ODB中，$\cos(90°-α) = \sinα = \frac{OB^2 + OD^2 - BD^2}{2 · OB · OD} = \frac{20+20-8}{40} = \frac{4}{5}$，符合条件。
四边形OADB的面积：
$S_{OADB} = S_{△ OAD} + S_{△ OBD}$
$= \frac{1}{2} · OA · OD · \sinα + \frac{1}{2} · OB · OD · \sin(90°-α)$
$= \frac{1}{2} × 20 × \frac{4}{5} + \frac{1}{2} × 20 × \frac{3}{5} = 8 + 6 = 14$。
扇形OAB的面积：
$S_{扇形OAB} = \frac{90π · OA^2}{360} = \frac{1}{4} × 20π = 5π$。
阴影部分面积为两个弓形面积之和：
$S_{阴影} = S_{扇形OAB} - S_{OADB} = 5π - 14$。
$\boldsymbol{5π -14}$
解析：
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影是扇形OAB减去四边形OADB后剩余的部分，解题思路如下：1. 作辅助线连接AB、OD，利用圆周角定理求出∠ADB的度数，通过余弦定理计算AB的长度，结合△AOB是等腰直角三角形求出扇形半径的平方；2. 利用余弦定理求出∠AOD的三角函数值，分别计算△OAD和△OBD的面积，求和得到四边形OADB的面积；3. 计算扇形OAB的面积，用扇形面积减去四边形面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
连接AB，OD。
∵ 在扇形OAB中，OA=OB=OD，∠AOB=90°，
∴ 点A、D、B在以O为圆心的圆周上，优弧AB的度数为270°，
∴ $∠ ADB = \frac{1}{2} × 270° = 135°$。
在△ADB中，由余弦定理：
$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 · AD · BD · \cos135°$
代入$AD=4$，$BD=2\sqrt{2}$：
$AB^2 = 4^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 × 4 × 2\sqrt{2} × (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 16 + 8 + 16 = 40$。
∵ △AOB是等腰直角三角形，$OA^2 + OB^2 = AB^2$，OA=OB，
∴ $2OA^2 = 40$，即$OA^2 = 20$。
设∠AOD=α，∠BOD=90°−α，
在△OAD中，由余弦定理：
$\cosα = \frac{OA^2 + OD^2 - AD^2}{2 · OA · OD} = \frac{20+20-16}{40} = \frac{3}{5}$，
∴ $\sinα = \frac{4}{5}$。
在△ODB中，$\cos(90°-α) = \sinα = \frac{OB^2 + OD^2 - BD^2}{2 · OB · OD} = \frac{20+20-8}{40} = \frac{4}{5}$，符合条件。
四边形OADB的面积：
$S_{OADB} = S_{△ OAD} + S_{△ OBD}$
$= \frac{1}{2} · OA · OD · \sinα + \frac{1}{2} · OB · OD · \sin(90°-α)$
$= \frac{1}{2} × 20 × \frac{4}{5} + \frac{1}{2} × 20 × \frac{3}{5} = 8 + 6 = 14$。
扇形OAB的面积：
$S_{扇形OAB} = \frac{90π · OA^2}{360} = \frac{1}{4} × 20π = 5π$。
阴影部分面积为两个弓形面积之和：
$S_{阴影} = S_{扇形OAB} - S_{OADB} = 5π - 14$。
【答案】
$\boldsymbol{5π -14}$
【知识点】
圆周角定理，余弦定理，扇形面积计算
【点评】
本题属于不规则图形面积求解问题，核心是将阴影面积转化为规则图形面积的差，需要熟练掌握圆的基本性质、三角形边角计算以及扇形面积公式，对知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影是扇形OAB减去四边形OADB后剩余的部分，解题思路如下：1. 作辅助线连接AB、OD，利用圆周角定理求出∠ADB的度数，通过余弦定理计算AB的长度，结合△AOB是等腰直角三角形求出扇形半径的平方；2. 利用余弦定理求出∠AOD的三角函数值，分别计算△OAD和△OBD的面积，求和得到四边形OADB的面积；3. 计算扇形OAB的面积，用扇形面积减去四边形面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
连接AB，OD。
∵ 在扇形OAB中，OA=OB=OD，∠AOB=90°，
∴ 点A、D、B在以O为圆心的圆周上，优弧AB的度数为270°，
∴ $∠ ADB = \frac{1}{2} × 270° = 135°$。
在△ADB中，由余弦定理：
$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 · AD · BD · \cos135°$
代入$AD=4$，$BD=2\sqrt{2}$：
$AB^2 = 4^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 × 4 × 2\sqrt{2} × (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 16 + 8 + 16 = 40$。
∵ △AOB是等腰直角三角形，$OA^2 + OB^2 = AB^2$，OA=OB，
∴ $2OA^2 = 40$，即$OA^2 = 20$。
设∠AOD=α，∠BOD=90°−α，
在△OAD中，由余弦定理：
$\cosα = \frac{OA^2 + OD^2 - AD^2}{2 · OA · OD} = \frac{20+20-16}{40} = \frac{3}{5}$，
∴ $\sinα = \frac{4}{5}$。
在△ODB中，$\cos(90°-α) = \sinα = \frac{OB^2 + OD^2 - BD^2}{2 · OB · OD} = \frac{20+20-8}{40} = \frac{4}{5}$，符合条件。
四边形OADB的面积：
$S_{OADB} = S_{△ OAD} + S_{△ OBD}$
$= \frac{1}{2} · OA · OD · \sinα + \frac{1}{2} · OB · OD · \sin(90°-α)$
$= \frac{1}{2} × 20 × \frac{4}{5} + \frac{1}{2} × 20 × \frac{3}{5} = 8 + 6 = 14$。
扇形OAB的面积：
$S_{扇形OAB} = \frac{90π · OA^2}{360} = \frac{1}{4} × 20π = 5π$。
阴影部分面积为两个弓形面积之和：
$S_{阴影} = S_{扇形OAB} - S_{OADB} = 5π - 14$。
【答案】
$\boldsymbol{5π -14}$
【知识点】
圆周角定理，余弦定理，扇形面积计算
【点评】
本题属于不规则图形面积求解问题，核心是将阴影面积转化为规则图形面积的差，需要熟练掌握圆的基本性质、三角形边角计算以及扇形面积公式，对知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
7. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$. 若$∠ ABC=100°$，求$∠ ADC$的度数.
答案：解：∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
∵ ∠ABC = 100°，
∴ ∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 100° = 80°。
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
∵ ∠ABC = 100°，
∴ ∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 100° = 80°。
解析：
【分析】
首先明确题干给出四边形ABCD是圆内接四边形，要求∠ADC的度数，可联想到圆内接四边形的核心性质：对角互补，即一组对角的和为180°。已知∠ABC的度数，且∠ABC与∠ADC是一组对角，因此直接利用对角互补的关系，代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
∵ ∠ABC = 100°，
∴ ∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 100° = 80°。
【答案】
$80°$
【知识点】
圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，直接考察圆内接四边形对角互补的性质，熟记相关性质后即可快速求解，没有复杂的变形和推理。
【难度系数】
0.9
首先明确题干给出四边形ABCD是圆内接四边形，要求∠ADC的度数，可联想到圆内接四边形的核心性质：对角互补，即一组对角的和为180°。已知∠ABC的度数，且∠ABC与∠ADC是一组对角，因此直接利用对角互补的关系，代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
∵ ∠ABC = 100°，
∴ ∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 100° = 80°。
【答案】
$80°$
【知识点】
圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，直接考察圆内接四边形对角互补的性质，熟记相关性质后即可快速求解，没有复杂的变形和推理。
【难度系数】
0.9
8. 设 P 为$\odot O$外一点，若点 P 到$\odot O$的最短距离为 2，最长距离为 6，求$\odot O$的半径长.
答案：解：连接PO并延长，交⊙O于两点，设离点P较近的交点为A，较远的交点为B。
由题意得：PA=2，PB=6，
线段AB为⊙O的直径，
$AB = PB - PA = 6 - 2 = 4$，
∴ ⊙O的半径长为$\frac{1}{2}AB = 2$。
由题意得：PA=2，PB=6，
线段AB为⊙O的直径，
$AB = PB - PA = 6 - 2 = 4$，
∴ ⊙O的半径长为$\frac{1}{2}AB = 2$。
解析：
【分析】
解题时首先要明确圆外一点到圆上各点距离的特征：过该点和圆心作直线，直线与圆交于两个点，其中离该点更近的交点到该点的长度就是最短距离，离该点更远的交点到该点的长度就是最长距离，二者的差值恰好等于圆的直径，算出直径后除以2即可得到半径长度。
【解析】
连接PO并延长，交⊙O于两点，设离点P较近的交点为A，较远的交点为B。
由题意得：PA=2，PB=6，
线段AB为⊙O的直径，
$AB = PB - PA = 6 - 2 = 4$，
∴ ⊙O的半径长为$\frac{1}{2}AB = 2$。
【答案】
⊙O的半径长为2。
【知识点】
1.点与圆的位置关系
2.直径与半径的关系
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是理解圆外一点到圆的最短距离、最长距离的含义，明确二者的差等于圆的直径，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确圆外一点到圆上各点距离的特征：过该点和圆心作直线，直线与圆交于两个点，其中离该点更近的交点到该点的长度就是最短距离，离该点更远的交点到该点的长度就是最长距离，二者的差值恰好等于圆的直径，算出直径后除以2即可得到半径长度。
【解析】
连接PO并延长，交⊙O于两点，设离点P较近的交点为A，较远的交点为B。
由题意得：PA=2，PB=6，
线段AB为⊙O的直径，
$AB = PB - PA = 6 - 2 = 4$，
∴ ⊙O的半径长为$\frac{1}{2}AB = 2$。
【答案】
⊙O的半径长为2。
【知识点】
1.点与圆的位置关系
2.直径与半径的关系
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是理解圆外一点到圆的最短距离、最长距离的含义，明确二者的差等于圆的直径，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8