12. 规定：用$\{\sqrt{p}\}$表示不小于$\sqrt{p}$的最小整数，其中$p$为实数。例如，$\{\sqrt{4}\}=2$，$\{\sqrt{3}\}=2$，现在对“72”进行如下操作：
$72\xrightarrow{第一次}\{\sqrt{72}\}=9\xrightarrow{第二次}\{\sqrt{9}\}=3\xrightarrow{第三次}\{\sqrt{3}\}=2$，即对“72”只需进行3次操作即可得到2。类比上述操作：对“36”只需进行
$72\xrightarrow{第一次}\{\sqrt{72}\}=9\xrightarrow{第二次}\{\sqrt{9}\}=3\xrightarrow{第三次}\{\sqrt{3}\}=2$，即对“72”只需进行3次操作即可得到2。类比上述操作：对“36”只需进行
3
次操作即可得到2。答案：12. 3
解析：
【分析】
首先要准确理解题目给出的新定义：$\{\sqrt{p}\}$表示不小于$\sqrt{p}$的最小整数，也就是对$\sqrt{p}$向上取整。解题时只需按照操作规则，从初始数36开始，依次计算每次操作的结果，直到结果为2，统计操作的总次数即可。
【解析】
按照操作规则逐步计算：
1. 第一次操作：对36计算$\{\sqrt{36}\}$，因为$\sqrt{36}=6$，不小于6的最小整数是6，因此第一次操作结果为6；
2. 第二次操作：对6计算$\{\sqrt{6}\}$，因为$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$，不小于$\sqrt{6}$的最小整数是3，因此第二次操作结果为3；
3. 第三次操作：对3计算$\{\sqrt{3}\}$，因为$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，不小于$\sqrt{3}$的最小整数是2，此时得到2，操作结束。
综上，一共需要3次操作。
【答案】
3
【知识点】
新定义运算，算术平方根估算，实数大小比较
【点评】
本题考查对新定义运算规则的理解能力，以及算术平方根的估算能力，解题核心是准确把握新定义的含义，按照规则逐步运算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
首先要准确理解题目给出的新定义：$\{\sqrt{p}\}$表示不小于$\sqrt{p}$的最小整数，也就是对$\sqrt{p}$向上取整。解题时只需按照操作规则，从初始数36开始，依次计算每次操作的结果，直到结果为2，统计操作的总次数即可。
【解析】
按照操作规则逐步计算：
1. 第一次操作：对36计算$\{\sqrt{36}\}$，因为$\sqrt{36}=6$，不小于6的最小整数是6，因此第一次操作结果为6；
2. 第二次操作：对6计算$\{\sqrt{6}\}$，因为$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$，不小于$\sqrt{6}$的最小整数是3，因此第二次操作结果为3；
3. 第三次操作：对3计算$\{\sqrt{3}\}$，因为$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，不小于$\sqrt{3}$的最小整数是2，此时得到2，操作结束。
综上，一共需要3次操作。
【答案】
3
【知识点】
新定义运算，算术平方根估算，实数大小比较
【点评】
本题考查对新定义运算规则的理解能力，以及算术平方根的估算能力，解题核心是准确把握新定义的含义，按照规则逐步运算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
三、解答题
13. 求下列各数的平方根：
(1) 144；
(2) 0.64；
(3) 64；
(4) 225.
13. 求下列各数的平方根：
(1) 144；
(2) 0.64；
(3) 64；
(4) 225.
答案：13. (1) $\pm12$ (2) $\pm0.8$ (3) $\pm8$ (4) $\pm15$
解析：
【分析】
解题依据是平方根的定义：若一个数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），则$x$叫做$a$的平方根。正数的平方根有2个，且互为相反数。解题时先通过乘方运算找到平方后等于对应各数的数，再写出正负两个结果即可，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
(1) 因为$(\pm12)^2=144$，所以144的平方根是$\pm12$；
(2) 因为$(\pm0.8)^2=0.64$，所以0.64的平方根是$\pm0.8$；
(3) 因为$(\pm8)^2=64$，所以64的平方根是$\pm8$；
(4) 因为$(\pm15)^2=225$，所以225的平方根是$\pm15$。
【答案】
(1) $\pm12$ (2) $\pm0.8$ (3) $\pm8$ (4) $\pm15$
【知识点】
平方根的定义、乘方的逆运算
【点评】
本题是基础概念应用题，主要考查正数平方根的求解，解题核心是熟记平方根的定义，易错点是容易遗漏负的平方根，答题时要注意检查结果的完整性。
【难度系数】
0.85
解题依据是平方根的定义：若一个数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），则$x$叫做$a$的平方根。正数的平方根有2个，且互为相反数。解题时先通过乘方运算找到平方后等于对应各数的数，再写出正负两个结果即可，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
(1) 因为$(\pm12)^2=144$，所以144的平方根是$\pm12$；
(2) 因为$(\pm0.8)^2=0.64$，所以0.64的平方根是$\pm0.8$；
(3) 因为$(\pm8)^2=64$，所以64的平方根是$\pm8$；
(4) 因为$(\pm15)^2=225$，所以225的平方根是$\pm15$。
【答案】
(1) $\pm12$ (2) $\pm0.8$ (3) $\pm8$ (4) $\pm15$
【知识点】
平方根的定义、乘方的逆运算
【点评】
本题是基础概念应用题，主要考查正数平方根的求解，解题核心是熟记平方根的定义，易错点是容易遗漏负的平方根，答题时要注意检查结果的完整性。
【难度系数】
0.85
14. 解方程：
(1) $(x-1)^2=4$；
(2) $2x^3=16$。
(1) $(x-1)^2=4$；
(2) $2x^3=16$。
答案：14. (1) $(x-1)^2=4,x-1=\pm2,x_1=3,x_2=-1$
(2) $2x^3=16,x^3=8,x=2$
(2) $2x^3=16,x^3=8,x=2$
解析：
【分析】
本题考查利用开方运算解方程，解题思路如下：(1)第一问等式左边是完全平方式，右边是正数，可根据平方根的性质对两边直接开平方，将二次方程降为一次方程求解，注意正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解；(2)第二问是三次方程，先将未知项的系数化为1，再根据立方根的性质开立方求解即可，正数的立方根唯一，无需考虑多解情况。
【解析】
(1) 对$(x-1)^2=4$两边直接开平方，得：
$x-1=\pm2$
分情况计算：
当$x-1=2$时，解得$x=3$；
当$x-1=-2$时，解得$x=-1$。
(2) 对$2x^3=16$两边同时除以2，将系数化为1，得：
$x^3=8$
对等式两边开立方，得：
$x=\sqrt[3]{8}=2$。
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=-1$；(2) $x=2$
【知识点】
平方根的性质、立方根的运算、直接开方法解方程
【点评】
本题属于开方解方程的基础题型，核心是区分平方根和立方根的性质差异，求解平方根类方程时注意不要遗漏负根，立方根类方程结果唯一，是开方运算的基础应用题型。
【难度系数】
0.9
本题考查利用开方运算解方程，解题思路如下：(1)第一问等式左边是完全平方式，右边是正数，可根据平方根的性质对两边直接开平方，将二次方程降为一次方程求解，注意正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解；(2)第二问是三次方程，先将未知项的系数化为1，再根据立方根的性质开立方求解即可，正数的立方根唯一，无需考虑多解情况。
【解析】
(1) 对$(x-1)^2=4$两边直接开平方，得：
$x-1=\pm2$
分情况计算：
当$x-1=2$时，解得$x=3$；
当$x-1=-2$时，解得$x=-1$。
(2) 对$2x^3=16$两边同时除以2，将系数化为1，得：
$x^3=8$
对等式两边开立方，得：
$x=\sqrt[3]{8}=2$。
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=-1$；(2) $x=2$
【知识点】
平方根的性质、立方根的运算、直接开方法解方程
【点评】
本题属于开方解方程的基础题型，核心是区分平方根和立方根的性质差异，求解平方根类方程时注意不要遗漏负根，立方根类方程结果唯一，是开方运算的基础应用题型。
【难度系数】
0.9
15. 把下列各数所对应的序号分别填入相应的括号内：
① $-(-11)$，② $0$，③ $-\left|-2\dfrac{3}{5}\right|$，④ $-5.010\ 100\ 1···$(两个1之间依次多1个0)，
⑤ $-15\%$，⑥ $π-1$，⑦ $\dfrac{22}{7}$，⑧ $0.\dot{3}$，⑨ $-0.314$.
无理数：｛______…｝；
有理数：｛______…｝.
① $-(-11)$，② $0$，③ $-\left|-2\dfrac{3}{5}\right|$，④ $-5.010\ 100\ 1···$(两个1之间依次多1个0)，
⑤ $-15\%$，⑥ $π-1$，⑦ $\dfrac{22}{7}$，⑧ $0.\dot{3}$，⑨ $-0.314$.
无理数：｛______…｝；
有理数：｛______…｝.
答案：15. 无理数：④⑥；有理数：①②③⑤⑦⑧⑨
解析：
【分析】
要解决这类实数分类题，首先需明确两类数的核心定义：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，本质是能写成两个整数之比的数，包含有限小数、无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有无限不规律的小数、含π且化简后仍含π的数等。解题步骤为：先化简题目中带符号、绝对值的数，再逐个对照定义判断类别，最后归类即可。
【解析】
先对各数化简并判断属性：
① $-(-11)=11$，是正整数，属于有理数；
② $0$ 是整数，属于有理数；
③ $-\left|-2\dfrac{3}{5}\right|=-2\dfrac{3}{5}$，是分数，属于有理数；
④ $-5.0101001···$（两个1之间依次多1个0），是无限不循环小数，属于无理数；
⑤ $-15\%=-0.15$，是有限小数，属于有理数；
⑥ $π-1$，$π$ 是无限不循环小数，因此 $π-1$ 仍是无限不循环小数，属于无理数；
⑦ $\dfrac{22}{7}$ 是分数，属于有理数；
⑧ $0.\dot{3}$ 是无限循环小数，可转化为分数，属于有理数；
⑨ $-0.314$ 是有限小数，属于有理数。
因此可按定义完成分类。
【答案】
无理数：｛④⑥…｝；有理数：｛①②③⑤⑦⑧⑨…｝
【知识点】
1. 无理数的定义 2. 有理数的定义 3. 实数的分类
【点评】
本题是实数分类的基础题型，解题的核心是准确区分有理数和无理数的本质特征，注意不要将$\dfrac{22}{7}$这类分数、$0.\dot{3}$这类无限循环小数误认为无理数，含$π$的代数式需确认化简后是否仍含$π$再判断是否为无理数。
【难度系数】
0.8
要解决这类实数分类题，首先需明确两类数的核心定义：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，本质是能写成两个整数之比的数，包含有限小数、无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有无限不规律的小数、含π且化简后仍含π的数等。解题步骤为：先化简题目中带符号、绝对值的数，再逐个对照定义判断类别，最后归类即可。
【解析】
先对各数化简并判断属性：
① $-(-11)=11$，是正整数，属于有理数；
② $0$ 是整数，属于有理数；
③ $-\left|-2\dfrac{3}{5}\right|=-2\dfrac{3}{5}$，是分数，属于有理数；
④ $-5.0101001···$（两个1之间依次多1个0），是无限不循环小数，属于无理数；
⑤ $-15\%=-0.15$，是有限小数，属于有理数；
⑥ $π-1$，$π$ 是无限不循环小数，因此 $π-1$ 仍是无限不循环小数，属于无理数；
⑦ $\dfrac{22}{7}$ 是分数，属于有理数；
⑧ $0.\dot{3}$ 是无限循环小数，可转化为分数，属于有理数；
⑨ $-0.314$ 是有限小数，属于有理数。
因此可按定义完成分类。
【答案】
无理数：｛④⑥…｝；有理数：｛①②③⑤⑦⑧⑨…｝
【知识点】
1. 无理数的定义 2. 有理数的定义 3. 实数的分类
【点评】
本题是实数分类的基础题型，解题的核心是准确区分有理数和无理数的本质特征，注意不要将$\dfrac{22}{7}$这类分数、$0.\dot{3}$这类无限循环小数误认为无理数，含$π$的代数式需确认化简后是否仍含$π$再判断是否为无理数。
【难度系数】
0.8
16. 已知$5x+2$的立方根是3，$3x+y-1$的算术平方根是4.
(1) 求$x$，$y$的值；
(2) 求$3x-2y-2$的平方根.
(1) 求$x$，$y$的值；
(2) 求$3x-2y-2$的平方根.
答案：16. (1) 由题意，得$\sqrt[3]{5x+2}=3,\sqrt{3x+y-1}=4$。
$\therefore 5x+2=27,3x+y-1=16.\ \therefore x=5,y=2$
(2) 由(1)，得$x=5,y=2.\ \therefore 3x-2y-2=15-4-2=9.$
$\therefore 3x-2y-2$的平方根是$\pm\sqrt{9}=\pm3$
$\therefore 5x+2=27,3x+y-1=16.\ \therefore x=5,y=2$
(2) 由(1)，得$x=5,y=2.\ \therefore 3x-2y-2=15-4-2=9.$
$\therefore 3x-2y-2$的平方根是$\pm\sqrt{9}=\pm3$
解析：
【分析】
（1）解决第一问需利用立方根和算术平方根的定义：若一个数的立方根是a，则这个数等于$a^3$；若一个非负数的算术平方根是b，则这个数等于$b^2$。据此可列出关于x、y的一元一次方程，解方程即可求出x、y的值。
（2）解决第二问时，先将第一问求出的x、y代入代数式计算出结果，再根据平方根的定义（正数有两个互为相反数的平方根）求出最终结果，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
(1) 由题意得：$\sqrt[3]{5x+2}=3$，$\sqrt{3x+y-1}=4$
根据立方根的性质可得：$5x+2=3^3=27$
解得$5x=25$，即$x=5$
根据算术平方根的性质可得：$3x+y-1=4^2=16$
将$x=5$代入上式：$3×5+y-1=16$，解得$y=2$
(2) 把$x=5$，$y=2$代入$3x-2y-2$得：
$3×5-2×2-2=15-4-2=9$
根据平方根的定义，9的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$
【答案】
(1) $x=5$，$y=2$；
(2) $\pm3$
【知识点】
立方根的定义，算术平方根的定义，平方根的运算
【点评】
本题是基础题型，重点考查根式相关定义的应用，解题核心是根据根式的意义将根式条件转化为整式方程求解，需注意区分算术平方根和平方根，计算平方根时不要遗漏负的结果。
【难度系数】
0.85
（1）解决第一问需利用立方根和算术平方根的定义：若一个数的立方根是a，则这个数等于$a^3$；若一个非负数的算术平方根是b，则这个数等于$b^2$。据此可列出关于x、y的一元一次方程，解方程即可求出x、y的值。
（2）解决第二问时，先将第一问求出的x、y代入代数式计算出结果，再根据平方根的定义（正数有两个互为相反数的平方根）求出最终结果，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
(1) 由题意得：$\sqrt[3]{5x+2}=3$，$\sqrt{3x+y-1}=4$
根据立方根的性质可得：$5x+2=3^3=27$
解得$5x=25$，即$x=5$
根据算术平方根的性质可得：$3x+y-1=4^2=16$
将$x=5$代入上式：$3×5+y-1=16$，解得$y=2$
(2) 把$x=5$，$y=2$代入$3x-2y-2$得：
$3×5-2×2-2=15-4-2=9$
根据平方根的定义，9的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$
【答案】
(1) $x=5$，$y=2$；
(2) $\pm3$
【知识点】
立方根的定义，算术平方根的定义，平方根的运算
【点评】
本题是基础题型，重点考查根式相关定义的应用，解题核心是根据根式的意义将根式条件转化为整式方程求解，需注意区分算术平方根和平方根，计算平方根时不要遗漏负的结果。
【难度系数】
0.85