19. 数学实验课上，同学们开展“用计算器探索平方根的计算规律”的实践活动. 同学们计算出下表中的算术平方根，整理数据如下：
（1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动
（2）已知$\sqrt{3} \approx 1.732$，则$\sqrt{0.03} \approx$
（3）是否可以根据$\sqrt{3}$的值得到$\sqrt{30}$的值？
（1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动
2
位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1
位.（2）已知$\sqrt{3} \approx 1.732$，则$\sqrt{0.03} \approx$
0.173 2
，$\sqrt{300} \approx$17.32
.（3）是否可以根据$\sqrt{3}$的值得到$\sqrt{30}$的值？
答案：19. (1) 2,1
(2) 0.173 2,17.32
(3) 不能
(2) 0.173 2,17.32
(3) 不能
解析：
【分析】
本题围绕算术平方根的小数点移动规律展开探究。解题时首先观察表格中被开方数和对应算术平方根的小数点移动的对应关系，总结出规律；再应用规律求解第（2）问的数值；最后根据规律的适用条件判断第（3）问是否成立。
【解析】
（1）观察表格数据：例如被开方数0.0625的小数点向右移动2位得到6.25，对应的算术平方根0.25的小数点相应向右移动1位得到2.5；被开方数625的小数点向左移动2位得到6.25，对应的算术平方根25的小数点相应向左移动1位得到2.5。由此可得规律：若被开方数的小数点向右或向左移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位。
（2）已知$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{0.03}$的被开方数0.03是将3的小数点向左移动2位得到，根据规律，算术平方根的小数点相应向左移动1位，得$\sqrt{0.03}\approx0.1732$；$\sqrt{300}$的被开方数300是将3的小数点向右移动2位得到，算术平方根的小数点相应向右移动1位，得$\sqrt{300}\approx17.32$。
（3）$\sqrt{3}$的被开方数为3，$\sqrt{30}$的被开方数为30，3到30小数点仅向右移动了1位，不是2位的整数倍，不符合上述移动规律的适用条件，因此不能根据$\sqrt{3}$的值得到$\sqrt{30}$的值。
【答案】
（1）2，1；（2）0.1732，17.32；（3）不能
【知识点】
1. 算术平方根的性质 2. 算术平方根的小数点移动规律
【点评】
本题侧重考查探究归纳能力和规律应用能力，解题的核心是准确把握被开方数小数点移动位数与算术平方根小数点移动位数的对应关系，规律适用的前提是被开方数小数点移动位数为2的整数倍。
【难度系数】
0.8
本题围绕算术平方根的小数点移动规律展开探究。解题时首先观察表格中被开方数和对应算术平方根的小数点移动的对应关系，总结出规律；再应用规律求解第（2）问的数值；最后根据规律的适用条件判断第（3）问是否成立。
【解析】
（1）观察表格数据：例如被开方数0.0625的小数点向右移动2位得到6.25，对应的算术平方根0.25的小数点相应向右移动1位得到2.5；被开方数625的小数点向左移动2位得到6.25，对应的算术平方根25的小数点相应向左移动1位得到2.5。由此可得规律：若被开方数的小数点向右或向左移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位。
（2）已知$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{0.03}$的被开方数0.03是将3的小数点向左移动2位得到，根据规律，算术平方根的小数点相应向左移动1位，得$\sqrt{0.03}\approx0.1732$；$\sqrt{300}$的被开方数300是将3的小数点向右移动2位得到，算术平方根的小数点相应向右移动1位，得$\sqrt{300}\approx17.32$。
（3）$\sqrt{3}$的被开方数为3，$\sqrt{30}$的被开方数为30，3到30小数点仅向右移动了1位，不是2位的整数倍，不符合上述移动规律的适用条件，因此不能根据$\sqrt{3}$的值得到$\sqrt{30}$的值。
【答案】
（1）2，1；（2）0.1732，17.32；（3）不能
【知识点】
1. 算术平方根的性质 2. 算术平方根的小数点移动规律
【点评】
本题侧重考查探究归纳能力和规律应用能力，解题的核心是准确把握被开方数小数点移动位数与算术平方根小数点移动位数的对应关系，规律适用的前提是被开方数小数点移动位数为2的整数倍。
【难度系数】
0.8
20. 阅读下列材料，回答问题：
对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完全组合”，其中结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如，1，4，9这三个数，$\sqrt{1×4}=2$，$\sqrt{1×9}=3$，$\sqrt{4×9}=6$，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9这三个数是“完全组合”，其中最小的算术平方根是2，最大的算术平方根是6.
（1）3，12，32
（2）请说明2，18，8这三个数是“完全组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；
（3）已知9，a，25这三个数是“完全组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值.
对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完全组合”，其中结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如，1，4，9这三个数，$\sqrt{1×4}=2$，$\sqrt{1×9}=3$，$\sqrt{4×9}=6$，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9这三个数是“完全组合”，其中最小的算术平方根是2，最大的算术平方根是6.
（1）3，12，32
不是
（填“是”或“不是”）“完全组合”；（2）请说明2，18，8这三个数是“完全组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；
（3）已知9，a，25这三个数是“完全组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值.
答案：20. (1) 不是
(2) $\because \sqrt{2×18}=6,\sqrt{2×8}=4,\sqrt{18×8}=12,\therefore 2,18,8$这三个数是“完全组合”，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12
(3) 分三种情况：① 当$9≤ a≤25$时，$\sqrt{25a}=3\sqrt{9a}$，得$a=0$(舍去). ② 当$a≤9＜25$时，$\sqrt{9×25}=3\sqrt{9a}$，得$a=\dfrac{25}{9}$(舍去). ③ 当$9＜25≤ a$时，$\sqrt{25a}=3\sqrt{9×25}$，得$a=81$.综上所述，$a$的值为81
(2) $\because \sqrt{2×18}=6,\sqrt{2×8}=4,\sqrt{18×8}=12,\therefore 2,18,8$这三个数是“完全组合”，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12
(3) 分三种情况：① 当$9≤ a≤25$时，$\sqrt{25a}=3\sqrt{9a}$，得$a=0$(舍去). ② 当$a≤9＜25$时，$\sqrt{9×25}=3\sqrt{9a}$，得$a=\dfrac{25}{9}$(舍去). ③ 当$9＜25≤ a$时，$\sqrt{25a}=3\sqrt{9×25}$，得$a=81$.综上所述，$a$的值为81
解析：
【分析】
这是一道新定义类题型，解题首先要准确理解“完全组合”的含义：三个正整数中任意两个数乘积的算术平方根均为整数。各小问解题思路如下：（1）直接计算3、12、32两两乘积的算术平方根，判断是否全为整数即可；（2）同理计算2、18、8两两乘积的算术平方根，先验证符合“完全组合”定义，再比较三个算术平方根的大小得到最小和最大值；（3）因为a的大小未知，无法直接确定最小和最大算术平方根，因此按a与9、25的大小关系分三种情况讨论，根据“最大算术平方根是最小算术平方根的3倍”列方程求解，注意a是正整数，不符合条件的结果要舍去。
【解析】
（1）分别计算三个数两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{3×12}=\sqrt{36}=6$，是整数；$\sqrt{3×32}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$，不是整数，因此3，12，32不符合“完全组合”的定义。
（2）计算2、18、8两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{2×18}=6$，$\sqrt{2×8}=4$，$\sqrt{18×8}=12$，三个结果均为整数，因此2，18，8这三个数是“完全组合”；比较三个结果大小$4＜6＜12$，可得最小算术平方根和最大算术平方根。
（3）已知9，a，25是“完全组合”，a为正整数，分三种情况讨论：
① 当$9≤ a≤25$时，最小算术平方根为$\sqrt{9a}$，最大算术平方根为$\sqrt{25a}$，列方程$\sqrt{25a}=3\sqrt{9a}$，解得$a=0$，不符合正整数要求，舍去；
② 当$a≤9＜25$时，最小算术平方根为$\sqrt{9a}$，最大算术平方根为$\sqrt{9×25}=15$，列方程$15=3\sqrt{9a}$，解得$a=\dfrac{25}{9}$，不是正整数，舍去；
③ 当$9＜25≤ a$时，最小算术平方根为$\sqrt{9×25}=15$，最大算术平方根为$\sqrt{25a}$，列方程$\sqrt{25a}=3×15$，解得$a=81$，符合要求。
综上可得a的取值。
【答案】
(1) 不是
(2) $\because \sqrt{2×18}=6,\sqrt{2×8}=4,\sqrt{18×8}=12,\therefore 2,18,8$这三个数是“完全组合”，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12
(3) $a$的值为81
【知识点】
新定义运算，算术平方根计算，分类讨论思想
【点评】
本题围绕新定义“完全组合”展开，重点考查算术平方根的运算性质，解题核心是准确理解新定义规则，第三问需注意根据参数的大小范围分类讨论，同时要验证结果是否符合正整数的前提条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
这是一道新定义类题型，解题首先要准确理解“完全组合”的含义：三个正整数中任意两个数乘积的算术平方根均为整数。各小问解题思路如下：（1）直接计算3、12、32两两乘积的算术平方根，判断是否全为整数即可；（2）同理计算2、18、8两两乘积的算术平方根，先验证符合“完全组合”定义，再比较三个算术平方根的大小得到最小和最大值；（3）因为a的大小未知，无法直接确定最小和最大算术平方根，因此按a与9、25的大小关系分三种情况讨论，根据“最大算术平方根是最小算术平方根的3倍”列方程求解，注意a是正整数，不符合条件的结果要舍去。
【解析】
（1）分别计算三个数两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{3×12}=\sqrt{36}=6$，是整数；$\sqrt{3×32}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$，不是整数，因此3，12，32不符合“完全组合”的定义。
（2）计算2、18、8两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{2×18}=6$，$\sqrt{2×8}=4$，$\sqrt{18×8}=12$，三个结果均为整数，因此2，18，8这三个数是“完全组合”；比较三个结果大小$4＜6＜12$，可得最小算术平方根和最大算术平方根。
（3）已知9，a，25是“完全组合”，a为正整数，分三种情况讨论：
① 当$9≤ a≤25$时，最小算术平方根为$\sqrt{9a}$，最大算术平方根为$\sqrt{25a}$，列方程$\sqrt{25a}=3\sqrt{9a}$，解得$a=0$，不符合正整数要求，舍去；
② 当$a≤9＜25$时，最小算术平方根为$\sqrt{9a}$，最大算术平方根为$\sqrt{9×25}=15$，列方程$15=3\sqrt{9a}$，解得$a=\dfrac{25}{9}$，不是正整数，舍去；
③ 当$9＜25≤ a$时，最小算术平方根为$\sqrt{9×25}=15$，最大算术平方根为$\sqrt{25a}$，列方程$\sqrt{25a}=3×15$，解得$a=81$，符合要求。
综上可得a的取值。
【答案】
(1) 不是
(2) $\because \sqrt{2×18}=6,\sqrt{2×8}=4,\sqrt{18×8}=12,\therefore 2,18,8$这三个数是“完全组合”，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12
(3) $a$的值为81
【知识点】
新定义运算，算术平方根计算，分类讨论思想
【点评】
本题围绕新定义“完全组合”展开，重点考查算术平方根的运算性质，解题核心是准确理解新定义规则，第三问需注意根据参数的大小范围分类讨论，同时要验证结果是否符合正整数的前提条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.6