10. 如图，在长方形桌面ABCD上放着一根长方体木块，已知$AD=6\ \mathrm{m}$，$AB=5\ \mathrm{m}$，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为$1\ \mathrm{m}$的正方形，一只蚂蚁从点A出发爬过木块到达C处，爬行的最短路程是
$\sqrt{85}$
$\mathrm{m}$.答案：10. $\sqrt{85}$
解析：
【分析】
解决立体图形表面的最短路径问题，核心思路是将立体表面展开到同一平面，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径，再用勾股定理计算长度。本题中木块较长边与AD平行，展开后AD方向长度不变，AB方向的总长度需要加上木块横截面的2条边长（共2m），最后构造直角三角形计算即可。
【解析】
解：将木块的表面与长方形桌面展开到同一平面：
1. 木块较长边与AD平行，因此展开后沿AD方向的长度仍为$6\ \mathrm{m}$；
2. 木块横截面是边长为$1\ \mathrm{m}$的正方形，爬过木块需要多走2条横截面的边长，因此沿AB方向的总长度为$5 + 1×2 = 7\ \mathrm{m}$；
3. 根据两点之间线段最短，A到C的最短路程为展开后直角三角形的斜边长，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{6^2 + 7^2}=\sqrt{36+49}=\sqrt{85}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\sqrt{85}$
【知识点】
立体图形展开，最短路径，勾股定理
【点评】
本题重点考查立体表面最短路径的求解方法，解题的关键是正确将立体图形展开为平面，准确判断展开后各边的长度，易错点是容易误将AB方向总长度算成$5+1=6\ \mathrm{m}$，导致结果错误。
【难度系数】
0.6
解决立体图形表面的最短路径问题，核心思路是将立体表面展开到同一平面，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径，再用勾股定理计算长度。本题中木块较长边与AD平行，展开后AD方向长度不变，AB方向的总长度需要加上木块横截面的2条边长（共2m），最后构造直角三角形计算即可。
【解析】
解：将木块的表面与长方形桌面展开到同一平面：
1. 木块较长边与AD平行，因此展开后沿AD方向的长度仍为$6\ \mathrm{m}$；
2. 木块横截面是边长为$1\ \mathrm{m}$的正方形，爬过木块需要多走2条横截面的边长，因此沿AB方向的总长度为$5 + 1×2 = 7\ \mathrm{m}$；
3. 根据两点之间线段最短，A到C的最短路程为展开后直角三角形的斜边长，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{6^2 + 7^2}=\sqrt{36+49}=\sqrt{85}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\sqrt{85}$
【知识点】
立体图形展开，最短路径，勾股定理
【点评】
本题重点考查立体表面最短路径的求解方法，解题的关键是正确将立体图形展开为平面，准确判断展开后各边的长度，易错点是容易误将AB方向总长度算成$5+1=6\ \mathrm{m}$，导致结果错误。
【难度系数】
0.6
11. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BC=4$，$△ ABC$的面积是14，$AC$的垂直平分线$EF$分别交边$AC$，$AB$于点$E$，$F$。若$D$为边$BC$的中点，$M$为线段$EF$上的一个动点，则$△ CDM$周长的最小值是
9
。答案：11. 9
解析：
【分析】
要求△CDM的周长最小值，先拆分周长：△CDM的周长=CD+DM+CM。其中CD是定值（D为BC中点，BC长度已知），因此只需找到DM+CM的最小值即可。根据垂直平分线的性质，EF是AC的垂直平分线，所以线段EF上的点M到C、A的距离相等，即CM=AM，由此可将DM+CM转化为DM+AM。根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，DM+AM取得最小值，即为线段AD的长度。再结合等腰三角形三线合一的性质，AD是△ABC底边BC上的高，利用三角形面积公式求出AD的长度，最后加上定值CD即可得到周长的最小值。
【解析】
1. 求定值CD：
∵ D是BC的中点，BC=4，
∴ $CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×4 = 2$。
2. 利用垂直平分线性质转化线段：
∵ EF是AC的垂直平分线，点M在EF上，
∴ $CM = AM$，
∴ $DM + CM = DM + AM$。
3. 求DM+AM的最小值：
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，DM+AM取得最小值，最小值为线段AD的长度。
4. 求AD的长度：
∵ $AB=AC$，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，$AD⊥BC$。
已知△ABC的面积为14，由三角形面积公式$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD$，代入数值：
$14 = \frac{1}{2}×4×AD$，
解得$AD=7$。
5. 计算△CDM周长的最小值：
周长最小值 = $CD + AD = 2 + 7 = 9$。
【答案】
9
【知识点】
垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，最短路径问题
【点评】
本题是将军饮马模型的典型应用，解题的核心是通过垂直平分线的性质将动态线段和进行等量转化，把求线段和最小值的问题转化为求两点之间线段长度的问题，再结合等腰三角形的性质和面积公式求解，较好地考察了几何转化思想。
【难度系数】
0.65
要求△CDM的周长最小值，先拆分周长：△CDM的周长=CD+DM+CM。其中CD是定值（D为BC中点，BC长度已知），因此只需找到DM+CM的最小值即可。根据垂直平分线的性质，EF是AC的垂直平分线，所以线段EF上的点M到C、A的距离相等，即CM=AM，由此可将DM+CM转化为DM+AM。根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，DM+AM取得最小值，即为线段AD的长度。再结合等腰三角形三线合一的性质，AD是△ABC底边BC上的高，利用三角形面积公式求出AD的长度，最后加上定值CD即可得到周长的最小值。
【解析】
1. 求定值CD：
∵ D是BC的中点，BC=4，
∴ $CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×4 = 2$。
2. 利用垂直平分线性质转化线段：
∵ EF是AC的垂直平分线，点M在EF上，
∴ $CM = AM$，
∴ $DM + CM = DM + AM$。
3. 求DM+AM的最小值：
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，DM+AM取得最小值，最小值为线段AD的长度。
4. 求AD的长度：
∵ $AB=AC$，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，$AD⊥BC$。
已知△ABC的面积为14，由三角形面积公式$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD$，代入数值：
$14 = \frac{1}{2}×4×AD$，
解得$AD=7$。
5. 计算△CDM周长的最小值：
周长最小值 = $CD + AD = 2 + 7 = 9$。
【答案】
9
【知识点】
垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，最短路径问题
【点评】
本题是将军饮马模型的典型应用，解题的核心是通过垂直平分线的性质将动态线段和进行等量转化，把求线段和最小值的问题转化为求两点之间线段长度的问题，再结合等腰三角形的性质和面积公式求解，较好地考察了几何转化思想。
【难度系数】
0.65
三、解答题
12. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，$CD⊥ AB$，垂足为$D$。
（1）求斜边$AB$的长；
（2）求$△ ABC$的面积；
（3）求高$CD$。
12. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，$CD⊥ AB$，垂足为$D$。
（1）求斜边$AB$的长；
（2）求$△ ABC$的面积；
（3）求高$CD$。
答案：12. (1)
∵ 在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴ AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}$=10
(2) △ABC 的面积=$\frac{1}{2}AC · BC$=$\frac{1}{2}×6×8=24$
(3) 由(2)可知,$\frac{1}{2}AC · BC=\frac{1}{2}CD · AB=24$,
∴ CD=4.8
∵ 在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴ AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}$=10
(2) △ABC 的面积=$\frac{1}{2}AC · BC$=$\frac{1}{2}×6×8=24$
(3) 由(2)可知,$\frac{1}{2}AC · BC=\frac{1}{2}CD · AB=24$,
∴ CD=4.8
解析：
【分析】
本题是直角三角形的基础计算题，解题思路如下：
（1）求斜边AB的长：已知Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长度，直角三角形中已知两边求第三边可直接运用勾股定理，代入对应数值计算即可得到AB的长度。
（2）求△ABC的面积：直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半，直接代入AC、BC的数值计算即可。
（3）求高CD：CD是AB边上的高，三角形的面积可以分别用“直角边乘积的一半”和“底AB乘高CD的一半”两种方式表示，二者相等，结合前两问求出的面积和AB的长度，列等式即可求出CD的长，这种等面积法是求三角形高的常用方法。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，
根据勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
(2) 直角三角形面积为两直角边乘积的一半，因此：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×8×6=24$。
(3) 因为$CD⊥ AB$，所以CD是AB边上的高，三角形面积也可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· CD$，
结合(2)的结果可得：$\frac{1}{2}×10× CD=24$，
解得$CD=\frac{48}{10}=4.8$。
【答案】
（1）斜边AB的长为10；
（2）△ABC的面积为24；
（3）高CD的长为4.8。
【知识点】
勾股定理、三角形面积计算、等面积法
【点评】
本题是直角三角形的常规基础题，重点考查勾股定理和等面积法的应用，其中等面积法是求解三角形高线的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形的基础计算题，解题思路如下：
（1）求斜边AB的长：已知Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长度，直角三角形中已知两边求第三边可直接运用勾股定理，代入对应数值计算即可得到AB的长度。
（2）求△ABC的面积：直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半，直接代入AC、BC的数值计算即可。
（3）求高CD：CD是AB边上的高，三角形的面积可以分别用“直角边乘积的一半”和“底AB乘高CD的一半”两种方式表示，二者相等，结合前两问求出的面积和AB的长度，列等式即可求出CD的长，这种等面积法是求三角形高的常用方法。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，
根据勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
(2) 直角三角形面积为两直角边乘积的一半，因此：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×8×6=24$。
(3) 因为$CD⊥ AB$，所以CD是AB边上的高，三角形面积也可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· CD$，
结合(2)的结果可得：$\frac{1}{2}×10× CD=24$，
解得$CD=\frac{48}{10}=4.8$。
【答案】
（1）斜边AB的长为10；
（2）△ABC的面积为24；
（3）高CD的长为4.8。
【知识点】
勾股定理、三角形面积计算、等面积法
【点评】
本题是直角三角形的常规基础题，重点考查勾股定理和等面积法的应用，其中等面积法是求解三角形高线的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
13. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=8$.
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若(1)中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长.
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若(1)中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长.
答案：
13. (1) 如图,直线MN即为所求
(2)
∵ MN 垂直平分线段AB,
∴ DA=DB.设 DA=DB=x,在Rt△ACD 中,
∵ AD²=AC²+CD²,
∴ x²=4²+(8−x)²,解得 x=5,
∴ BD=5
13. (1) 如图,直线MN即为所求
(2)
∵ MN 垂直平分线段AB,
∴ DA=DB.设 DA=DB=x,在Rt△ACD 中,
∵ AD²=AC²+CD²,
∴ x²=4²+(8−x)²,解得 x=5,
∴ BD=5
解析：
【分析】
（1）作AB的垂直平分线时，只需分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于上下两个交点，过这两个交点作直线，即为AB的垂直平分线。（2）求BD长度时，首先利用线段垂直平分线的性质得到$DA=DB$，再设BD为未知数，将CD用含该未知数的式子表示，最后在$Rt△ACD$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）按照尺规作图规范作出的直线MN即为所求的AB垂直平分线，保留对应作图痕迹即可。
（2）连接AD，
∵MN垂直平分线段AB，
∴$DA=DB$。
设$DA=DB=x$，则$CD=BC-BD=8-x$，
在$Rt△ACD$中，$∠C=90°$，根据勾股定理可得$AD^2=AC^2+CD^2$，
代入数值列方程：$x^2=4^2+(8-x)^2$，
展开计算：$x^2=16+64-16x+x^2$，
化简得$16x=80$，解得$x=5$。
【答案】
(1) 如图,直线MN即为所求
(2) $BD=5$
【知识点】
垂直平分线尺规作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题包含作图和计算两个模块，既考查了基础的尺规作图操作能力，又结合垂直平分线性质与勾股定理，考查了方程思想在几何线段求解中的应用，属于几何基础类典型题型，需要熟练掌握相关定理的应用方法。
【难度系数】
0.7
（1）作AB的垂直平分线时，只需分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于上下两个交点，过这两个交点作直线，即为AB的垂直平分线。（2）求BD长度时，首先利用线段垂直平分线的性质得到$DA=DB$，再设BD为未知数，将CD用含该未知数的式子表示，最后在$Rt△ACD$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）按照尺规作图规范作出的直线MN即为所求的AB垂直平分线，保留对应作图痕迹即可。
（2）连接AD，
∵MN垂直平分线段AB，
∴$DA=DB$。
设$DA=DB=x$，则$CD=BC-BD=8-x$，
在$Rt△ACD$中，$∠C=90°$，根据勾股定理可得$AD^2=AC^2+CD^2$，
代入数值列方程：$x^2=4^2+(8-x)^2$，
展开计算：$x^2=16+64-16x+x^2$，
化简得$16x=80$，解得$x=5$。
【答案】
(1) 如图,直线MN即为所求
(2) $BD=5$
【知识点】
垂直平分线尺规作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题包含作图和计算两个模块，既考查了基础的尺规作图操作能力，又结合垂直平分线性质与勾股定理，考查了方程思想在几何线段求解中的应用，属于几何基础类典型题型，需要熟练掌握相关定理的应用方法。
【难度系数】
0.7