8. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，延长AB，DC交于点E，BD垂直平分线段AC，过点A作AF//BC，交CD于点F.求证：∠FAD=∠E.
答案：8. $\because$ BD 垂直平分线段 AC,$\therefore BA=BC,DA=DC,\therefore ∠ CAB=∠ ACB,∠ DAC=∠ ACD. \because ∠ ACD=∠ E+∠ CAE,∠ DAC=∠ FAD+∠ CAF,$$\therefore ∠ E+∠ CAE=∠ DAF+∠ CAF. \because AF// BC,\therefore ∠ ACB=∠ CAF,\therefore ∠ CAF=∠ CAE,\therefore ∠ FAD=∠ E$
解析：
【分析】
解题时先从已知条件出发：首先根据BD是AC的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得BA=BC、DA=DC，再由等边对等角得到两组等角∠CAB=∠ACB，∠DAC=∠ACD；接下来利用三角形外角的性质，可知∠ACD作为△ACE的外角，等于∠E与∠CAE的和，同时∠DAC可拆分为∠FAD与∠CAF的和，结合∠DAC=∠ACD得到两个和的等量关系；最后根据AF//BC的平行线性质，得到内错角∠ACB=∠CAF，替换后消去相等的角，即可推导出要证明的结论。
【解析】
证明：
∵ BD垂直平分线段AC，
∴ BA=BC，DA=DC，
∴ ∠CAB=∠ACB，∠DAC=∠ACD。
∵ ∠ACD是△ACE的外角，
∴ ∠ACD=∠E+∠CAE，
又
∵ ∠DAC=∠FAD+∠CAF，
∴ ∠E+∠CAE=∠FAD+∠CAF。
∵ AF//BC，
∴ ∠ACB=∠CAF，
结合∠CAB=∠ACB，可得∠CAF=∠CAE，
∴ ∠FAD=∠E。
【答案】
∠FAD=∠E
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.平行线的性质
3.三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是通过已知条件梳理角之间的等量关系，结合相关性质进行等量代换即可完成证明，能够锻炼几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件出发：首先根据BD是AC的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得BA=BC、DA=DC，再由等边对等角得到两组等角∠CAB=∠ACB，∠DAC=∠ACD；接下来利用三角形外角的性质，可知∠ACD作为△ACE的外角，等于∠E与∠CAE的和，同时∠DAC可拆分为∠FAD与∠CAF的和，结合∠DAC=∠ACD得到两个和的等量关系；最后根据AF//BC的平行线性质，得到内错角∠ACB=∠CAF，替换后消去相等的角，即可推导出要证明的结论。
【解析】
证明：
∵ BD垂直平分线段AC，
∴ BA=BC，DA=DC，
∴ ∠CAB=∠ACB，∠DAC=∠ACD。
∵ ∠ACD是△ACE的外角，
∴ ∠ACD=∠E+∠CAE，
又
∵ ∠DAC=∠FAD+∠CAF，
∴ ∠E+∠CAE=∠FAD+∠CAF。
∵ AF//BC，
∴ ∠ACB=∠CAF，
结合∠CAB=∠ACB，可得∠CAF=∠CAE，
∴ ∠FAD=∠E。
【答案】
∠FAD=∠E
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.平行线的性质
3.三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是通过已知条件梳理角之间的等量关系，结合相关性质进行等量代换即可完成证明，能够锻炼几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
9. 如图，在$△ ABC$中，AB的垂直平分线$l_1$交BC于点D，AC的垂直平分线$l_2$交BC于点E，$l_1$与$l_2$相交于点P，连接PB，PC.
（1）判断点P是否在BC的垂直平分线上，并加以证明；
（2）若$∠ BAC=100°$，求$∠ DAE$的度数.
（1）判断点P是否在BC的垂直平分线上，并加以证明；
（2）若$∠ BAC=100°$，求$∠ DAE$的度数.
答案：
9. （1）点P在BC的垂直平分线上,理由如下:如图,连接AP,$\because l_1$是AB的垂直平分线,$\therefore PA=PB. \because l_2$是AC的垂直平分线,$\therefore PA=PC,\therefore PB=PC,\therefore$ 点P在BC的垂直平分线上 （2）$\because ∠ BAC=100°,\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=180°-100°=80°. \because l_1$是AB的垂直平分线,$l_2$是AC的垂直平分线,$\therefore DA=DB,EA=EC,\therefore ∠ BAD=∠ ABC,∠ EAC=∠ ACB,\therefore ∠ BAD+∠ EAC=80°,$$\therefore ∠ DAE=∠ BAC-(∠ BAD+∠ EAC)=100°-80°=20°$
9. （1）点P在BC的垂直平分线上,理由如下:如图,连接AP,$\because l_1$是AB的垂直平分线,$\therefore PA=PB. \because l_2$是AC的垂直平分线,$\therefore PA=PC,\therefore PB=PC,\therefore$ 点P在BC的垂直平分线上 （2）$\because ∠ BAC=100°,\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=180°-100°=80°. \because l_1$是AB的垂直平分线,$l_2$是AC的垂直平分线,$\therefore DA=DB,EA=EC,\therefore ∠ BAD=∠ ABC,∠ EAC=∠ ACB,\therefore ∠ BAD+∠ EAC=80°,$$\therefore ∠ DAE=∠ BAC-(∠ BAD+∠ EAC)=100°-80°=20°$
解析：
【分析】
（1）要判断点P是否在BC的垂直平分线上，需依据线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，因此只需证明PB=PC即可。结合已知P在AB、AC的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质可得到PA与PB、PA与PC的等量关系，通过等量代换即可证得PB=PC。
（2）求∠DAE的度数，已知∠BAC的度数，可先推导∠BAD与∠EAC的度数和，再用∠BAC减去该和得到结果。首先根据三角形内角和定理算出∠ABC+∠ACB的度数，再结合垂直平分线的性质得到DA=DB、EA=EC，利用等腰三角形等边对等角的性质，可得∠BAD=∠ABC、∠EAC=∠ACB，即可求出∠BAD+∠EAC的度数，进而算出∠DAE。
【解析】
（1）点P在BC的垂直平分线上，证明如下：
如图，连接AP，
∵$l_1$是AB的垂直平分线，
∴$PA=PB$，
∵$l_2$是AC的垂直平分线，
∴$PA=PC$，
∴$PB=PC$，
∴点P在BC的垂直平分线上。
（2）
∵$∠BAC=100°$，
∴$∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-100°=80°$，
∵$l_1$是AB的垂直平分线，$l_2$是AC的垂直平分线，
∴$DA=DB$，$EA=EC$，
∴$∠BAD=∠ABC$，$∠EAC=∠ACB$，
∴$∠BAD+∠EAC=∠ABC+∠ACB=80°$，
∴$∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=100°-80°=20°$。
【答案】
（1）点P在BC的垂直平分线上，证明见解析；
（2）∠DAE的度数为20°。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题属于线段垂直平分线相关的基础常考题，侧重考查对性质与判定的应用能力，解题时需熟练运用垂直平分线的边角转化关系，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
（1）要判断点P是否在BC的垂直平分线上，需依据线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，因此只需证明PB=PC即可。结合已知P在AB、AC的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质可得到PA与PB、PA与PC的等量关系，通过等量代换即可证得PB=PC。
（2）求∠DAE的度数，已知∠BAC的度数，可先推导∠BAD与∠EAC的度数和，再用∠BAC减去该和得到结果。首先根据三角形内角和定理算出∠ABC+∠ACB的度数，再结合垂直平分线的性质得到DA=DB、EA=EC，利用等腰三角形等边对等角的性质，可得∠BAD=∠ABC、∠EAC=∠ACB，即可求出∠BAD+∠EAC的度数，进而算出∠DAE。
【解析】
（1）点P在BC的垂直平分线上，证明如下：
如图，连接AP，
∵$l_1$是AB的垂直平分线，
∴$PA=PB$，
∵$l_2$是AC的垂直平分线，
∴$PA=PC$，
∴$PB=PC$，
∴点P在BC的垂直平分线上。
（2）
∵$∠BAC=100°$，
∴$∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-100°=80°$，
∵$l_1$是AB的垂直平分线，$l_2$是AC的垂直平分线，
∴$DA=DB$，$EA=EC$，
∴$∠BAD=∠ABC$，$∠EAC=∠ACB$，
∴$∠BAD+∠EAC=∠ABC+∠ACB=80°$，
∴$∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=100°-80°=20°$。
【答案】
（1）点P在BC的垂直平分线上，证明见解析；
（2）∠DAE的度数为20°。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题属于线段垂直平分线相关的基础常考题，侧重考查对性质与判定的应用能力，解题时需熟练运用垂直平分线的边角转化关系，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
10. 定义：如果四边形一条对角线所在直线上的点，到该对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点. 如图①，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，$PD=PB$，$PA≠PC$，则点P为四边形ABCD的准等距点.
（1）如图②，作四边形ABCD的一个准等距点（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）试研究四边形的准等距点个数的情况：
① 当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一条对角线时，准等距点有
② 当四边形的对角线互相平分且不垂直时，准等距点有
③ 当四边形的对角线既不垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一条对角线的中点时，准等距点有
④ 当四边形的对角线既不垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点有
⑤ 当四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一条对角线时，准等距点有
（1）如图②，作四边形ABCD的一个准等距点（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）试研究四边形的准等距点个数的情况：
① 当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一条对角线时，准等距点有
0
个；② 当四边形的对角线互相平分且不垂直时，准等距点有
0
个；③ 当四边形的对角线既不垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一条对角线的中点时，准等距点有
1
个；④ 当四边形的对角线既不垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点有
2
个；⑤ 当四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一条对角线时，准等距点有
无数
个.答案：
10. （1）如图所示
（2）0,0,1,2,无数
10. （1）如图所示
（2）0,0,1,2,无数解析：
【分析】
首先准确理解准等距点的定义：点在四边形某条对角线所在直线上，满足两个条件：①到另一条对角线的两个端点距离相等；②到自身所在对角线的两个端点距离不相等。
（1）作图思路：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，作其中一条对角线（如BD）的垂直平分线，它与另一条对角线（AC）所在直线的交点（且该点不是AC的中点），就是符合要求的准等距点。
（2）分析准等距点个数的核心：分别判断两条对角线的垂直平分线与另一条对角线所在直线的交点，是否满足“到自身所在对角线两端点距离不等”的条件，分类讨论即可：
① 对角线互相垂直且互不平分时，两条对角线的中垂线分别与另一条对角线平行，无交点，故准等距点为0；
② 对角线互相平分但不垂直时，两条中垂线与另一条对角线的交点均为对角线的公共中点，该点到自身所在对角线两端点距离相等，不符合要求，故准等距点为0；
③ 仅一条对角线的中垂线过另一条对角线中点时，仅1个交点符合要求，故准等距点为1；
④ 两条对角线的中垂线都不过另一条对角线中点时，有2个符合要求的交点，故准等距点为2；
⑤ 对角线互相垂直且至少一条平分另一条时，被平分的对角线的中垂线与另一条对角线所在直线重合，直线上除中点外所有点都符合要求，故准等距点有无数个。
【解析】
（1）作线段BD的垂直平分线，与AC所在直线交于点P（P不为AC中点），即为所求准等距点，作图符合要求即可。
（2）逐个分析：
① 对角线互相垂直且互不平分：BD的中垂线与AC平行，AC的中垂线与BD平行，无交点，准等距点共0个；
② 对角线互相平分但不垂直：两条中垂线与另一条对角线的交点均为两对角线的公共中点，该点到自身所在对角线两端点距离相等，不符合准等距点要求，共0个；
③ 仅一条对角线的中垂线过另一条对角线中点：其中一个交点为中点（不符合要求），仅1个非中点的交点符合要求，共1个；
④ 两条中垂线均不过另一条对角线中点：两条中垂线与另一条对角线各交于1个符合要求的点，共2个；
⑤ 对角线互相垂直且至少一条平分另一条：被平分的对角线的中垂线与另一条对角线所在直线重合，直线上除中点外的所有点均符合要求，故有无数个。
【答案】
（1）如图所示
（2）①0；②0；③1；④2；⑤无数
【知识点】
线段垂直平分线性质，新定义理解，分类讨论
【点评】
本题属于新定义类题型，解题关键是将准等距点的定义转化为线段垂直平分线的性质应用，需要结合不同的对角线位置关系分类讨论，能有效考查对新定义的转化能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
首先准确理解准等距点的定义：点在四边形某条对角线所在直线上，满足两个条件：①到另一条对角线的两个端点距离相等；②到自身所在对角线的两个端点距离不相等。
（1）作图思路：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，作其中一条对角线（如BD）的垂直平分线，它与另一条对角线（AC）所在直线的交点（且该点不是AC的中点），就是符合要求的准等距点。
（2）分析准等距点个数的核心：分别判断两条对角线的垂直平分线与另一条对角线所在直线的交点，是否满足“到自身所在对角线两端点距离不等”的条件，分类讨论即可：
① 对角线互相垂直且互不平分时，两条对角线的中垂线分别与另一条对角线平行，无交点，故准等距点为0；
② 对角线互相平分但不垂直时，两条中垂线与另一条对角线的交点均为对角线的公共中点，该点到自身所在对角线两端点距离相等，不符合要求，故准等距点为0；
③ 仅一条对角线的中垂线过另一条对角线中点时，仅1个交点符合要求，故准等距点为1；
④ 两条对角线的中垂线都不过另一条对角线中点时，有2个符合要求的交点，故准等距点为2；
⑤ 对角线互相垂直且至少一条平分另一条时，被平分的对角线的中垂线与另一条对角线所在直线重合，直线上除中点外所有点都符合要求，故准等距点有无数个。
【解析】
（1）作线段BD的垂直平分线，与AC所在直线交于点P（P不为AC中点），即为所求准等距点，作图符合要求即可。
（2）逐个分析：
① 对角线互相垂直且互不平分：BD的中垂线与AC平行，AC的中垂线与BD平行，无交点，准等距点共0个；
② 对角线互相平分但不垂直：两条中垂线与另一条对角线的交点均为两对角线的公共中点，该点到自身所在对角线两端点距离相等，不符合准等距点要求，共0个；
③ 仅一条对角线的中垂线过另一条对角线中点：其中一个交点为中点（不符合要求），仅1个非中点的交点符合要求，共1个；
④ 两条中垂线均不过另一条对角线中点：两条中垂线与另一条对角线各交于1个符合要求的点，共2个；
⑤ 对角线互相垂直且至少一条平分另一条：被平分的对角线的中垂线与另一条对角线所在直线重合，直线上除中点外的所有点均符合要求，故有无数个。
【答案】
（1）如图所示
（2）①0；②0；③1；④2；⑤无数
【知识点】
线段垂直平分线性质，新定义理解，分类讨论
【点评】
本题属于新定义类题型，解题关键是将准等距点的定义转化为线段垂直平分线的性质应用，需要结合不同的对角线位置关系分类讨论，能有效考查对新定义的转化能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6