20. (7分)先化简,再求值:$[(x+y) · (x-y)-(x-y)^2+(2x-y)(x-2y)] ÷ 2x$,其中$x=-1,y=-\dfrac{2}{3}$.
答案：20. 原式$=(x^2-y^2-x^2+2xy-y^2+2x^2-5xy+2y^2)÷(2x)=(2x^2-3xy)÷(2x)=x-\frac{3}{2}y$,将$x=-1,y=-\frac{2}{3}$代入得原式$=(-1)-\frac{3}{2}×(-\frac{2}{3})=(-1)-(-1)=0$.
解析：
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分三步：第一步先利用整式乘法的相关公式和法则化简中括号内的式子，分别用平方差公式计算$(x+y)(x-y)$，完全平方公式计算$(x-y)^2$，多项式乘多项式法则计算$(2x-y)(x-2y)$，去括号时注意符号变化；第二步合并中括号内的同类项，再根据多项式除以单项式的法则计算除法，得到最简整式；第三步将$x$、$y$的值代入最简式计算最终结果。
【解析】
首先化简原式：
1. 展开中括号内的各项：
由平方差公式得：$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$
由完全平方差公式得：$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$
由多项式乘多项式法则得：$(2x-y)(x-2y)=2x· x + 2x·(-2y) + (-y)· x + (-y)·(-2y)=2x^2-5xy+2y^2$
2. 代入原式中括号内，去括号合并同类项：
$\begin{aligned} &x^2-y^2 - (x^2-2xy+y^2) + (2x^2-5xy+2y^2)\\ =&x^2-y^2 -x^2+2xy -y^2 +2x^2-5xy +2y^2\\ =&2x^2-3xy \end{aligned}$
3. 计算多项式除以单项式：
$(2x^2-3xy)÷ 2x = 2x^2÷ 2x - 3xy÷ 2x = x-\frac{3}{2}y$
4. 代入$x=-1$，$y=-\frac{2}{3}$求值：
$\begin{aligned} 原式&=-1 - \frac{3}{2}×(-\frac{2}{3})\\ &=-1 + 1\\ &=0 \end{aligned}$
【答案】
$\boxed{0}$
【知识点】
整式的混合运算；乘法公式；代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的常规题型，核心是熟练掌握平方差、完全平方公式及整式运算法则，运算过程中要重点注意去括号的符号变化，代入负数求值时要规范书写运算步骤，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
这是一道整式化简求值题，解题思路分三步：第一步先利用整式乘法的相关公式和法则化简中括号内的式子，分别用平方差公式计算$(x+y)(x-y)$，完全平方公式计算$(x-y)^2$，多项式乘多项式法则计算$(2x-y)(x-2y)$，去括号时注意符号变化；第二步合并中括号内的同类项，再根据多项式除以单项式的法则计算除法，得到最简整式；第三步将$x$、$y$的值代入最简式计算最终结果。
【解析】
首先化简原式：
1. 展开中括号内的各项：
由平方差公式得：$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$
由完全平方差公式得：$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$
由多项式乘多项式法则得：$(2x-y)(x-2y)=2x· x + 2x·(-2y) + (-y)· x + (-y)·(-2y)=2x^2-5xy+2y^2$
2. 代入原式中括号内，去括号合并同类项：
$\begin{aligned} &x^2-y^2 - (x^2-2xy+y^2) + (2x^2-5xy+2y^2)\\ =&x^2-y^2 -x^2+2xy -y^2 +2x^2-5xy +2y^2\\ =&2x^2-3xy \end{aligned}$
3. 计算多项式除以单项式：
$(2x^2-3xy)÷ 2x = 2x^2÷ 2x - 3xy÷ 2x = x-\frac{3}{2}y$
4. 代入$x=-1$，$y=-\frac{2}{3}$求值：
$\begin{aligned} 原式&=-1 - \frac{3}{2}×(-\frac{2}{3})\\ &=-1 + 1\\ &=0 \end{aligned}$
【答案】
$\boxed{0}$
【知识点】
整式的混合运算；乘法公式；代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的常规题型，核心是熟练掌握平方差、完全平方公式及整式运算法则，运算过程中要重点注意去括号的符号变化，代入负数求值时要规范书写运算步骤，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
21. (7分)大正方形的周长比小正方形的周长长96 cm，它们的面积相差960 cm²，求这两个正方形的边长.
答案：21. 32 cm, 8 cm.
解析：
【分析】
解题时首先根据正方形周长与边长的关系，由周长差求出两个正方形的边长差；再结合正方形面积公式得到面积差的表达式，利用平方差公式对面积差的式子变形，代入边长差即可求出两个正方形的边长和；最后根据边长和与边长差，分别计算出两个正方形的边长即可。
【解析】
解：设大正方形的边长为$a\ \mathrm{cm}$，小正方形的边长为$b\ \mathrm{cm}$（$a＞b＞0$）。
1. 根据周长差列关系式：
正方形周长=4×边长，由题意得$4a - 4b = 96$，
等式两边同时除以4，化简得：$a - b = 24$ ①。
2. 根据面积差列关系式：
正方形面积=边长×边长，由题意得$a^2 - b^2 = 960$，
利用平方差公式因式分解得：$(a - b)(a + b) = 960$ ②。
3. 代入求值：
把①代入②得：$24(a + b) = 960$，
解得：$a + b = 40$ ③。
4. 联立①③求解：
将①+③得：$2a = 64$，解得$a = 32$，
把$a = 32$代入③得：$32 + b = 40$，解得$b = 8$。
【答案】
32 cm，8 cm
【知识点】
正方形周长公式；正方形面积公式；平方差公式
【点评】
本题是几何性质与代数运算结合的基础题，需要熟练掌握正方形的周长、面积计算规则，以及平方差公式的变形应用，解题的突破口是通过周长差得到边长差，再用平方差公式简化面积差的计算，避免复杂的运算。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据正方形周长与边长的关系，由周长差求出两个正方形的边长差；再结合正方形面积公式得到面积差的表达式，利用平方差公式对面积差的式子变形，代入边长差即可求出两个正方形的边长和；最后根据边长和与边长差，分别计算出两个正方形的边长即可。
【解析】
解：设大正方形的边长为$a\ \mathrm{cm}$，小正方形的边长为$b\ \mathrm{cm}$（$a＞b＞0$）。
1. 根据周长差列关系式：
正方形周长=4×边长，由题意得$4a - 4b = 96$，
等式两边同时除以4，化简得：$a - b = 24$ ①。
2. 根据面积差列关系式：
正方形面积=边长×边长，由题意得$a^2 - b^2 = 960$，
利用平方差公式因式分解得：$(a - b)(a + b) = 960$ ②。
3. 代入求值：
把①代入②得：$24(a + b) = 960$，
解得：$a + b = 40$ ③。
4. 联立①③求解：
将①+③得：$2a = 64$，解得$a = 32$，
把$a = 32$代入③得：$32 + b = 40$，解得$b = 8$。
【答案】
32 cm，8 cm
【知识点】
正方形周长公式；正方形面积公式；平方差公式
【点评】
本题是几何性质与代数运算结合的基础题，需要熟练掌握正方形的周长、面积计算规则，以及平方差公式的变形应用，解题的突破口是通过周长差得到边长差，再用平方差公式简化面积差的计算，避免复杂的运算。
【难度系数】
0.7
22. (11分)(1)通常,用两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一个恒等式.
如图(1),有四张长为$b$、宽为$a$的长方形纸片按如图所示方式拼成了一个正方形,请你通过拼图写出$(b+a)^2,ab,(b-a)^2$之间的等量关系是
(2)若$2a - b = 5,ab = 2$,求$(2a + b)^2$的值.
(3)如图(2),为创办文明校园,某校计划在面积为$165\ \mathrm{m}^2$的长方形空地$ABCD(AB＞AD)$中划出长方形$AEFG$和长方形$PQCH$,两个长方形重合部分刚好建一个长为3 m,宽为2 m的喷泉水池$PMFN$.现将图中阴影部分区域作为花圃,且花圃总周长为42 m,则$AB - AD$的长度为多少米?
如图(1),有四张长为$b$、宽为$a$的长方形纸片按如图所示方式拼成了一个正方形,请你通过拼图写出$(b+a)^2,ab,(b-a)^2$之间的等量关系是
$(b+a)^2-(b-a)^2=4ab$
.(2)若$2a - b = 5,ab = 2$,求$(2a + b)^2$的值.
(3)如图(2),为创办文明校园,某校计划在面积为$165\ \mathrm{m}^2$的长方形空地$ABCD(AB＞AD)$中划出长方形$AEFG$和长方形$PQCH$,两个长方形重合部分刚好建一个长为3 m,宽为2 m的喷泉水池$PMFN$.现将图中阴影部分区域作为花圃,且花圃总周长为42 m,则$AB - AD$的长度为多少米?
答案：22. 解:(1) $(b+a)^2-(b-a)^2=4ab$.
(2) $\because 2a-b=5,ab=2$,由(1)可得,$(2a+b)^2-(2a-b)^2=8ab$,$\therefore (2a+b)^2-5^2=8×2$,解得$(2a+b)^2=41$.
(3) 设$AB=a$,$AD=b$,根据题意得,$ab=165$,$PN=MF=2$,$PM=NF=3$,$\therefore GD+QN+ME+BH=2(b-2)=2b-4$,$BE+MH+GN+DQ=2(a-3)=2a-6$. $\because$ 花圃总周长为42 m,$\therefore 2b-4+2a-6=42$,$\therefore a+b=26$. 由(1)可得,$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$,$\therefore 26^2-(a-b)^2=4×165$,$\therefore (a-b)^2=16$,解得$a-b=4$或$a-b=-4$. $\because AB＞AD$,$\therefore a-b=4$,即$AB-AD=4$.
(2) $\because 2a-b=5,ab=2$,由(1)可得,$(2a+b)^2-(2a-b)^2=8ab$,$\therefore (2a+b)^2-5^2=8×2$,解得$(2a+b)^2=41$.
(3) 设$AB=a$,$AD=b$,根据题意得,$ab=165$,$PN=MF=2$,$PM=NF=3$,$\therefore GD+QN+ME+BH=2(b-2)=2b-4$,$BE+MH+GN+DQ=2(a-3)=2a-6$. $\because$ 花圃总周长为42 m,$\therefore 2b-4+2a-6=42$,$\therefore a+b=26$. 由(1)可得,$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$,$\therefore 26^2-(a-b)^2=4×165$,$\therefore (a-b)^2=16$,解得$a-b=4$或$a-b=-4$. $\because AB＞AD$,$\therefore a-b=4$,即$AB-AD=4$.
解析：
【分析】
(1) 本题采用面积法推导恒等式：先计算边长为$(a+b)$的大正方形面积，再计算中间空白小正方形（边长为$b-a$）的面积，两者的差恰好等于4个长为$b$、宽为$a$的长方形的总面积，据此即可写出三者的等量关系。
(2) 直接套用第(1)问得出的恒等式，将$2a$、$b$看作公式中的两个整体，对$(2a+b)^2$进行变形，代入已知的$2a-b=5$和$ab=2$，即可计算出结果。
(3) 先设$AB=a$，$AD=b$，由空地面积可得$ab=165$；再梳理阴影部分的周长组成，将阴影部分的各边平移合并，得出花圃总周长的表达式，化简后求出$a+b$的值；最后再次套用第(1)问的恒等式，代入$a+b$和$ab$的值求出$a-b$，结合$AB＞AD$的条件取正值即可。
【解析】
(1) 边长为$(a+b)$的大正方形面积为$(a+b)^2$，中间空白小正方形面积为$(b-a)^2$，4个长方形的总面积为$4ab$，因此可得等量关系。
(2) 由(1)的恒等式，将$2a$、$b$看作整体，可得：
$(2a+b)^2-(2a-b)^2=4×2a× b=8ab$
已知$2a-b=5$，$ab=2$，代入得：
$(2a+b)^2 - 5^2 = 8×2$
解得$(2a+b)^2=41$。
(3) 设$AB=a$，$AD=b$，由题意得长方形空地面积$ab=165$，喷泉水池长$PM=3\mathrm{m}$，宽$PN=2\mathrm{m}$。
梳理阴影部分周长：竖直方向的边长和为$GD+QN+ME+BH=2(b-2)=2b-4$，水平方向的边长和为$BE+MH+GN+DQ=2(a-3)=2a-6$。
已知花圃总周长为$42\mathrm{m}$，因此：
$2b-4 + 2a-6 = 42$
化简得$a+b=26$。
再代入(1)的恒等式：
$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$
将$a+b=26$，$ab=165$代入得：
$26^2 - (a-b)^2 = 4×165$
解得$(a-b)^2=16$，即$a-b=\pm4$。
$\because AB＞AD$，即$a＞b$，$\therefore a-b=4$，即$AB-AD=4\mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a+b)^2-(b-a)^2=4ab}$；(2) $\boldsymbol{41}$；(3) $\boldsymbol{4}$米
【知识点】
完全平方公式的几何背景，完全平方公式变形应用，长方形周长面积计算
【点评】
本题将几何图形和代数公式结合考查，既要求掌握用面积法推导乘法公式的方法，也需要灵活运用公式变形解决求值问题，第三问需要准确梳理阴影部分的周长组成，避免重复计算或漏算边长。
【难度系数】
0.6
(1) 本题采用面积法推导恒等式：先计算边长为$(a+b)$的大正方形面积，再计算中间空白小正方形（边长为$b-a$）的面积，两者的差恰好等于4个长为$b$、宽为$a$的长方形的总面积，据此即可写出三者的等量关系。
(2) 直接套用第(1)问得出的恒等式，将$2a$、$b$看作公式中的两个整体，对$(2a+b)^2$进行变形，代入已知的$2a-b=5$和$ab=2$，即可计算出结果。
(3) 先设$AB=a$，$AD=b$，由空地面积可得$ab=165$；再梳理阴影部分的周长组成，将阴影部分的各边平移合并，得出花圃总周长的表达式，化简后求出$a+b$的值；最后再次套用第(1)问的恒等式，代入$a+b$和$ab$的值求出$a-b$，结合$AB＞AD$的条件取正值即可。
【解析】
(1) 边长为$(a+b)$的大正方形面积为$(a+b)^2$，中间空白小正方形面积为$(b-a)^2$，4个长方形的总面积为$4ab$，因此可得等量关系。
(2) 由(1)的恒等式，将$2a$、$b$看作整体，可得：
$(2a+b)^2-(2a-b)^2=4×2a× b=8ab$
已知$2a-b=5$，$ab=2$，代入得：
$(2a+b)^2 - 5^2 = 8×2$
解得$(2a+b)^2=41$。
(3) 设$AB=a$，$AD=b$，由题意得长方形空地面积$ab=165$，喷泉水池长$PM=3\mathrm{m}$，宽$PN=2\mathrm{m}$。
梳理阴影部分周长：竖直方向的边长和为$GD+QN+ME+BH=2(b-2)=2b-4$，水平方向的边长和为$BE+MH+GN+DQ=2(a-3)=2a-6$。
已知花圃总周长为$42\mathrm{m}$，因此：
$2b-4 + 2a-6 = 42$
化简得$a+b=26$。
再代入(1)的恒等式：
$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$
将$a+b=26$，$ab=165$代入得：
$26^2 - (a-b)^2 = 4×165$
解得$(a-b)^2=16$，即$a-b=\pm4$。
$\because AB＞AD$，即$a＞b$，$\therefore a-b=4$，即$AB-AD=4\mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a+b)^2-(b-a)^2=4ab}$；(2) $\boldsymbol{41}$；(3) $\boldsymbol{4}$米
【知识点】
完全平方公式的几何背景，完全平方公式变形应用，长方形周长面积计算
【点评】
本题将几何图形和代数公式结合考查，既要求掌握用面积法推导乘法公式的方法，也需要灵活运用公式变形解决求值问题，第三问需要准确梳理阴影部分的周长组成，避免重复计算或漏算边长。
【难度系数】
0.6