【分析】
这道题考查整式变形的符号规律，解题思路是逐个验证每个选项的左右两边是否相等：首先回忆去括号法则（括号前加负号，括号内各项都要变号），再回忆互为相反数的两个数的乘方性质：互为相反数的两个数，偶次幂相等，奇次幂互为相反数，依次对四个选项进行判断即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：对右边去括号可得$-(x-y)=-x+y$，和左边$-x-y$不相等，变形错误；
B选项：对右边去括号可得$-(a+b)=-a-b$，和左边$-a+b$不相等，变形错误；
C选项：因为$y-x=-(x-y)$，所以$(y-x)^2=[-(x-y)]^2$，根据平方的非负性，负数的平方为正数，因此$[-(x-y)]^2=(x-y)^2$，左右两边相等，变形正确；
D选项：因为$a-b=-(b-a)$，所以$(a-b)^3=[-(b-a)]^3$，负数的奇次幂为负数，因此$[-(b-a)]^3=-(b-a)^3$，和右边$(b-a)^3$不相等，变形错误。
综上，正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
去括号法则；乘方的符号性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查整式变形时的符号变化规则，易错点是去括号时漏变号，或者混淆互为相反数的两个数奇次幂、偶次幂的符号特点，解题时逐一验证即可避免错误。
【难度系数】
0.8

【分析】
对多项式进行因式分解时，首先观察多项式各项是否有公因式，若有则先提取公因式，再判断提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构特征，若符合则继续用公式法分解，直到不能再分解为止。本题中先提取公因式a，再观察剩余的二次三项式是否满足完全平方公式的形式，进而完成分解即可匹配正确选项。
【解析】
第一步：提取公因式$a$，可得：
$ax^2 -4ax +4a = a(x^2 - 4x + 4)$
第二步：判断括号内的多项式$x^2-4x+4$，符合完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$的结构，其中$m=x$，$n=2$，因此：
$x^2 -4x +4 = (x-2)^2$
第三步：整理得最终分解结果为$a(x-2)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需牢记因式分解的常规步骤“一提二套三查”，即先提公因式，再套用合适的乘法公式，最后检查是否分解彻底，同时要注意区分完全平方公式和平方差公式，避免公式混用出错。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这道题，我们可以利用因式分解和整式乘法互为逆运算的关系来思考：首先将分解后的因式$(x-5)(x-b)$通过整式乘法展开成二次三项式的形式，再根据两个相等的多项式对应项的系数相等，分别列出关于$a$、$b$的方程，解方程即可求出$a$、$b$的值。
【解析】
首先对$(x-5)(x-b)$进行整式乘法展开：
$\begin{aligned}(x-5)(x-b)&=x· x - x· b -5· x + (-5)×(-b)\\&=x^2 - bx -5x +5b\\&=x^2 -(b+5)x +5b\end{aligned}$
已知多项式$x^2 -3x +a$可分解为$(x-5)(x-b)$，因此两个多项式相等，对应项系数相等：
1. 一次项系数相等：$-(b+5) = -3$
化简得：$b+5=3$，解得$b=-2$
2. 常数项相等：$a=5b$
将$b=-2$代入得：$a=5×(-2)=-10$
因此$a=-10$，$b=-2$。
【答案】
D
【知识点】
1. 整式乘法运算
2. 因式分解的意义
3. 一元一次方程解法
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法的互逆关系，解题核心是掌握多项式相等时对应项系数相等的规律，计算时要注意符号处理，避免符号出错。
【难度系数】
0.8

【分析】
要对该式进行因式分解，首先观察原式结构：当前是两个多项式乘积加单项式的形式，既无公因式可提取，也不符合乘法公式的结构特征。因此第一步需要先利用多项式乘多项式的法则展开$(a-b)(a-4b)$，再合并同类项将原式整理为标准的二次三项式，最后判断整理后的式子是否符合完全平方公式的特征，进而完成因式分解。
【解析】
解：先展开多项式乘积，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式 &= a· a - a· 4b - b· a + b· 4b + ab \\&= a^2 - 4ab - ab + 4b^2 + ab \\&= a^2 - 4ab + 4b^2\end{aligned}$
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，将上式分解可得：
$原式=(a-2b)^2$
【答案】
$(a-2b)^2$
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，完全平方公式分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，解题核心是先通过整式乘法将原式化简为标准多项式，再根据多项式的特征选择合适的公式分解，计算时要注意多项式相乘的符号以及合并同类项的准确性。
【难度系数】
0.8

【分析】
观察式子$2^{48}-1$，其结构符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，因此可以多次运用平方差公式对其因式分解，再从分解后的因式中找到60~70之间的整数即可。解题时先将$2^{48}$转化为平方的形式，逐步拆分含减号的因式，直到得到可直接计算、且数值在目标范围内的因数。
【解析】
利用平方差公式逐步分解$2^{48}-1$：
$\begin{aligned}2^{48}-1&=(2^{24})^2-1^2\\&=(2^{24}-1)(2^{24}+1)\\&=(2^{12}-1)(2^{12}+1)(2^{24}+1)\\&=(2^6-1)(2^6+1)(2^{12}+1)(2^{24}+1)\end{aligned}$
计算得$2^6=64$，因此$2^6-1=64-1=63$，$2^6+1=64+1=65$，两个数均在60~70之间，其余因式数值均远大于70，不符合要求。
【答案】
$63,65$
【知识点】
平方差公式因式分解，因式分解的应用
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，解题关键是准确识别式子的平方差结构，熟练多次套用平方差公式分解，即可快速找到符合范围的因数。
【难度系数】
0.7

【分析】
因式分解需遵循“一提二套三查”的通用思路：第一步先观察多项式是否有公因式，有公因式先提取；第二步根据剩余多项式的项数选择对应公式，两项优先考虑平方差公式，三项优先考虑完全平方公式；第三步检查每个因式是否还能继续分解，确保分解彻底。
逐个小题的思考路径：
(1) 该式为三项式，无公因式，符合“首平方、尾平方，乘积二倍在中央”的完全平方公式特征，直接套用完全平方差公式即可；
(2) 将(x+y)看作一个整体，式子仍为符合完全平方公式特征的三项式，用整体代入法套用公式即可；
(3) 两项有公因式3x，先提取公因式，剩余的两项式符合平方差公式特征，继续分解即可；
(4) 先将(y-x)变形为-(x-y)，即可得到公因式(x-y)，提取公因式后剩余的两项式符合平方差公式特征，继续分解即可，注意变形时的符号变化。
【解析】
(1) $m^2 - 6m + 9$
$=m^2 - 2· m· 3 + 3^2$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，这里$a=m,b=3$，
得原式$=(m-3)^2$。
(2) $(x + y)^2 + 2(x + y) + 1$
令$A=x+y$，则原式可化为$A^2 + 2A + 1$，
根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，这里$a=A,b=1$，
得$A^2 + 2A + 1=(A+1)^2$，将$A=x+y$代回，
得原式$=(x+y+1)^2$。
(3) $3x - 12x^3$
先提取公因式$3x$，得：
原式$=3x(1 - 4x^2)$
观察$1-4x^2=1^2-(2x)^2$，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，这里$a=1,b=2x$，
得$1-4x^2=(1+2x)(1-2x)$，
故原式$=3x(1+2x)(1-2x)$。
(4) $9a^2(x - y) + 4b^2(y - x)$
先将$y-x$变形为$-(x-y)$，得：
原式$=9a^2(x-y) - 4b^2(x-y)$
提取公因式$(x-y)$，得：
原式$=(x-y)(9a^2 - 4b^2)$
观察$9a^2-4b^2=(3a)^2-(2b)^2$，根据平方差公式，得：
$9a^2-4b^2=(3a+2b)(3a-2b)$，
故原式$=(x-y)(3a+2b)(3a-2b)$。
【答案】
(1) $(m-3)^2$；(2) $(x+y+1)^2$；(3) $3x(1+2x)(1-2x)$；(4) $(x-y)(3a+2b)(3a-2b)$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
这是因式分解的常规基础题型，重点考察因式分解的基本步骤和公式的灵活运用，解题时要注意整体思想的应用，以及公因式变形时的符号处理，最后要注意检查是否分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1) 第一题先观察式子结构，前半部分是两个一次多项式相乘，无法直接因式分解，因此先按照多项式乘法法则展开乘积项，合并同类项得到二次三项式后，判断其符合完全平方公式的结构特征，再套用完全平方公式分解即可。
(2) 第二题首先观察到式子是两个平方项作差的形式，符合平方差公式的结构，先套用平方差公式分解为两个因式的乘积，再检查得到的两个因式，发现均符合完全平方公式的结构，继续分解至不能再分解为止。
【解析】
(1) 先展开并合并同类项：
$\begin{aligned}(x-2)(x-6)+4&=x^2-6x-2x+12+4\\&=x^2-8x+16\end{aligned}$
$x^2-8x+16$符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=4$，因此：
$x^2-8x+16=(x-4)^2$
(2) 原式符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=a^2+1$，$b=2a$，因此：
$\begin{aligned}(a^2+1)^2-4a^2&=(a^2+1+2a)(a^2+1-2a)\end{aligned}$
再对两个因式分别套用完全平方公式：
$a^2+2a+1=(a+1)^2$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$
因此最终结果为$(a+1)^2(a-1)^2$
【答案】
(1) $(x-4)^2$；(2) $(a+1)^2(a-1)^2$
【知识点】
多项式乘法运算，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，解题时要优先观察式子是否可直接套用公式，若不可则先化简整理式子，同时要注意因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8

【分析】
第8题：首先将x=m代入多项式得到等式，通过移项配方，将等式转化为两个平方和为0的形式，根据平方的非负性可知两个平方项各自为0，即可求出m、n的值，再将x=-m代入多项式计算即可得到结果。
第9题：(1)观察算式发现三个乘法项都含有公共因数5.79，逆用乘法分配律（提公因式法）提取公共因数，先计算剩余系数的和，再相乘即可简化计算；(2)算式是两个数的平方差，符合平方差公式的结构特征，直接套用平方差公式分解后计算，比直接计算平方更简便。
第10题：观察整式发现两项都含有公因式(a+1)，先提取公因式，再对括号内的整式合并同类项，即可快速完成化简，比直接展开计算更简便不易出错。
【解析】
8. 解：当x=m时，代入多项式得：
$m^2 + 2m + n^2 = -1$
移项配方得：$(m+1)^2 + n^2 = 0$
∵平方具有非负性，即$(m+1)^2≥0$，$n^2≥0$，两个非负数和为0时每一项均为0
∴$m+1=0$，$n=0$，解得$m=-1$，$n=0$
当$x=-m=1$时，代入多项式得：
$1^2 + 2×1 + 0^2 = 3$
9. (1) 解：原式提取公因式5.79得：
$=5.79×(21+62+17)$
$=5.79×100$
$=579$
(2) 解：原式符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入得：
$=(2027+2026)×(2027-2026)$
$=4053×1$
$=4053$
10. 解：原式提取公因式$(a+1)$得：
$=(a+1)[2(a+1)+(1-2a)]$
化简括号内的式子：
$2(a+1)+1-2a=2a+2+1-2a=3$
∴原式$=3(a+1)=3a+3$
【答案】
8. 3
9. (1) 579；(2) 4053
10. $3a+3$
【知识点】
非负数的性质、提公因式法、平方差公式
【点评】
这组题目围绕因式分解的应用展开，涵盖代数式求值、简便运算、整式化简三类常见题型，解题核心是熟练识别算式或整式的结构特征，灵活选用合适的因式分解方法简化运算，能有效降低运算量、提升准确率。
【难度系数】
0.75