【分析】
要找到使两个分式值相等的$x$，首先根据“两个分式值相等”的等量关系列出分式方程，再按照分式方程的求解步骤操作：先去分母将分式方程转化为整式方程，再解整式方程，最后检验根的有效性，就能得到符合要求的$x$的值。
【解析】
根据题意列方程：
$\frac{2}{x-3}=\frac{3}{x}$
方程两边同时乘最简公分母$x(x-3)$（此时$x≠0$且$x≠3$，保证分式有意义），去分母得：
$2x=3(x-3)$
展开整理整式方程：
$2x=3x-9$
移项计算得：
$x=9$
检验：当$x=9$时，$x(x-3)=9×(9-3)=54≠0$，因此$x=9$是原分式方程的解。
【答案】
9
【知识点】
列分式方程；解分式方程；分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础应用题型，解题核心是找准等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须验根，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.8

【分析】
分式方程无解通常有两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是使原分式方程分母为0的增根。本题先将分式方程去分母转化为整式方程，再结合无解的条件分析：原方程分母为x-3，因此增根只能是x=3，且去分母后得到的是一元一次方程，必然有解，因此只需将增根代入整式方程即可求出m的值。
【解析】
解：给分式方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$（此时$x≠3$），去分母得：
$x - 2(x - 3) = m^2$
展开括号并合并同类项：
$x - 2x + 6 = m^2$
$-x + 6 = m^2$
解得整式方程的解为：$x = 6 - m^2$
因为原分式方程无解，所以$x = 6 - m^2$是原方程的增根，即$x = 3$（使分母$x-3=0$）
将$x=3$代入$x = 6 - m^2$得：
$3 = 6 - m^2$
移项得$m^2 = 3$
开平方得$m = \pm\sqrt{3}$
【答案】
$\pm\sqrt{3}$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的条件；解分式方程
【点评】
本题是分式方程相关的常考题型，解题的核心是理解分式方程无解的两类情况，做题时先判断去分母后的整式方程是否有解，再结合增根的条件代入计算即可，注意开平方时不要漏掉负根。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出x；再根据“方程的解为正数”列出关于m的不等式；同时要注意分式方程分母不能为0，即x≠3，否则方程会产生增根，对应的m值需要舍去；最后解两个不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
原方程可变形为$\frac{x+m}{x-3}-\frac{3m}{x-3}=3$，
方程两边同乘最简公分母$(x-3)$，得：
$x + m - 3m = 3(x - 3)$
去括号，得：
$x - 2m = 3x - 9$
移项、合并同类项，得：
$-2x = 2m - 9$
系数化为1，得：
$x = \frac{9 - 2m}{2}$
∵原方程的解为正数，且分母不能为0（避免产生增根$x=3$），
∴列不等式组：$\begin{cases}\frac{9 - 2m}{2} ＞ 0 \\\frac{9 - 2m}{2} ≠ 3\end{cases}$
解不等式$\frac{9 - 2m}{2} ＞ 0$：
两边同乘2得$9-2m＞0$，移项得$2m＜9$，解得$m ＜ \frac{9}{2}$；
解$\frac{9 - 2m}{2} ≠ 3$：
两边同乘2得$9-2m≠6$，移项得$2m≠3$，解得$m ≠ \frac{3}{2}$。
综上，$m$的取值范围是$m ＜ \frac{9}{2}$且$m ≠ \frac{3}{2}$。
【答案】
$m＜\frac{9}{2}$且$m≠\frac{3}{2}$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的增根，一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是分式方程与不等式结合的典型题型，解题时除了根据题目给出的解的性质列不等式外，还要特别注意分式方程分母不为0的隐含条件，避免遗漏增根对应的限制条件导致错解。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决本题的核心是牢记分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需要逐个判断给出的4个方程的分母是否含有未知数，即可统计出分式方程的个数，注意π是固定不变的常数，不属于未知数。
【解析】
我们对4个方程逐一判断：
1. 方程$\frac{x+3}{2} -5=0$：分母为2，是常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
2. 方程$\frac{x}{2+x}=3$：分母为$2+x$，含有未知数$x$，符合分式方程的定义，是分式方程；
3. 方程$\frac{3}{x+1}=\frac{4}{x}$：分母分别为$x+1$、$x$，均含有未知数$x$，符合分式方程的定义，是分式方程；
4. 方程$\frac{x}{π}=2$：分母为$π$，$π$是常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程。
综上，分式方程共有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的定义、常数的识别
【点评】
本题是基础概念类题型，解题的关键是准确掌握分式方程的判定标准，容易出错的点是误将常数π当成未知数，导致判断错误。
【难度系数】
0.8

【分析】
解这道题首先要明确分式方程去分母的步骤：第一步先确定最简公分母，观察本题两个分母x-1和1-x互为相反数，可将1-x转化为-(x-1)，得到最简公分母为x-1；第二步依据等式的性质，给方程左右两边每一项都乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的常数项，同时注意符号的变化，即可得到去分母后的式子。
【解析】
首先对原方程的第二个分式进行变形：
$\frac{x+2}{1-x}=\frac{x+2}{-(x-1)}=-\frac{x+2}{x-1}$
原方程可改写为：$\frac{2}{x-1}-\frac{x+2}{x-1}=3$
该方程的最简公分母为$(x-1)$，给方程两边同时乘以$(x-1)$（每一项都要乘，避免漏乘）：
第一项：$\frac{2}{x-1} × (x-1) = 2$
第二项：$-\frac{x+2}{x-1} × (x-1) = -(x+2)$
右边常数项：$3 × (x-1) = 3(x-1)$
因此去分母后得到：$2-(x+2)=3(x-1)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程去分母法则
2. 等式的基本性质
3. 分式的符号变化规则
【点评】
本题考查分式方程去分母的基本操作，易错点集中在两处：一是忽略两个分母互为相反数的关系，弄错第二个分式的符号；二是去分母时漏乘不含分母的常数项，解题时注意规避这两个易错点即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决这道题，首先需要将分式方程转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解；再根据“解为正数”列出不等式求出m的取值范围；最后还要注意分式方程分母不能为0，排除使分母为0的m值，结合m是正整数的条件，就能得到符合要求的m值。
【解析】
解：先对分式方程去分母，方程两边同时乘以最简公分母$(x-2)$，得：
$x = 2(x-2) + m$
展开并整理：
$x = 2x - 4 + m$
移项得：$x - 2x = m - 4$
合并同类项得：$-x = m - 4$
系数化为1得：$x = 4 - m$
∵ 方程的解为正数，
∴ $x ＞ 0$，即 $4 - m ＞ 0$，解得 $m ＜ 4$。
又
∵ 分式的分母不能为0，
∴ $x - 2 ≠ 0$，即 $x ≠ 2$，
∴ $4 - m ≠ 2$，解得 $m ≠ 2$。
∵ m是正整数，
∴ 符合条件的m的值为1、3。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程的求解
2. 分式有意义的条件
3. 一元一次不等式的应用
【点评】
本题是分式方程的典型易错题，解题时很容易遗漏“分式分母不为0”的隐含条件，导致多算符合条件的m值，解决这类问题时要注意：求出整式方程的解后，既要满足题目给出的解的条件，也要保证原分式方程有意义。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的两种常见情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解恰好是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。本题中去分母后得到的是一元一次方程，必然有解，因此只需考虑解为增根的情况：先确定原方程的增根，再将增根代入去分母后的整式方程即可求出m的值。
【解析】
解：原分式方程分母为$x-4$，因此分式有意义的条件是$x-4≠0$，即增根为$x=4$。
方程两边同时乘以最简公分母$(x-4)$，去分母得：
$x-1=m$，
整理得$x=m+1$。
因为原分式方程无解，说明整式方程的解是原方程的增根，即$x=4$，
将$x=4$代入$x=m+1$得：
$4=m+1$，
解得$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解判定；解分式方程
【点评】
本题是分式方程无解类的基础题型，解题核心是理解增根的含义，明确分式方程无解时通常对应解为增根的情况，解题时注意不要遗漏分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决此类分式方程无解求参数的问题，首先要明确分式方程无解的两类情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。本题先确定原方程的增根为x=2，再将分式方程转化为整式方程，最后结合无解条件代入计算即可。
【解析】
原分式方程最简公分母为$x-2$，方程两边同时乘$x-2$（此时$x≠2$）去分母得：
$m = -(1-x) - 3(x-2)$
整理右边的式子：
$m = x - 1 - 3x + 6$
合并同类项得：
$m = -2x + 5$
变形得整式方程的解：$x = \frac{5 - m}{2}$
因为原分式方程无解，说明整式方程的解是原方程的增根，原方程增根为$x=2$，将$x=2$代入上式：
$2 = \frac{5 - m}{2}$
两边同时乘2得：$4 = 5 - m$
解得：$m = 1$
【答案】
1
【知识点】
分式方程的增根、分式方程无解的条件、解分式方程
【点评】
本题是分式方程求参数的常考题型，解题核心是理解增根的含义，掌握分式方程无解对应的情形，去分母时要注意符号变化，不要漏乘不含分母的项。
【难度系数】
0.65