1. 八年级学生去距学校 10 km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍，设骑车学生的速度为 $ x $ km/h，则所列方程正确的是 （
A.$ \dfrac{10}{x} - \dfrac{10}{2x} = 20 $
B.$ \dfrac{10}{2x} - \dfrac{10}{x} = 20 $
C.$ \dfrac{10}{x} - \dfrac{10}{2x} = \dfrac{1}{3} $
D.$ \dfrac{10}{2x} - \dfrac{10}{x} = \dfrac{1}{3} $
C
）A.$ \dfrac{10}{x} - \dfrac{10}{2x} = 20 $
B.$ \dfrac{10}{2x} - \dfrac{10}{x} = 20 $
C.$ \dfrac{10}{x} - \dfrac{10}{2x} = \dfrac{1}{3} $
D.$ \dfrac{10}{2x} - \dfrac{10}{x} = \dfrac{1}{3} $
答案：1. C
解析：
【分析】
这是行程类的分式方程应用题，解题思路如下：首先回忆行程问题核心公式：时间=路程÷速度。第一步先统一单位，题目给出的时间差是20分钟，而速度单位是km/h，所以要把20分钟换算成以小时为单位的量；第二步找等量关系：骑自行车的学生比乘汽车的学生多花了20分钟（即1/3小时），因为骑车的先走20分钟且同时到达，所以骑车总时长减去汽车总时长等于时间差；第三步分别表示出两类学生走完全程的时间，代入等量关系即可列出方程，注意排除单位不统一的错误选项。
【解析】
首先统一时间单位：$20\ \mathrm{min}=\frac{20}{60}\ \mathrm{h}=\frac{1}{3}\ \mathrm{h}$。
已知骑车学生速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则汽车速度为$2x\ \mathrm{km/h}$，两类学生行驶的路程均为10km：
骑车学生走完全程的时间为：$\frac{10}{x}\ \mathrm{h}$
乘汽车学生走完全程的时间为：$\frac{10}{2x}\ \mathrm{h}$
由题意可知，骑车学生用时比乘汽车学生多$\frac{1}{3}\ \mathrm{h}$，因此列方程：
$\dfrac{10}{x} - \dfrac{10}{2x} = \dfrac{1}{3}$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程实际应用，行程问题等量关系，时间单位换算
【点评】
本题是分式方程应用的常见基础题型，解题核心是准确梳理两个出行方式的时间差关系，尤其要注意单位统一，避免因时间单位不匹配错选选项。
【难度系数】
0.7
这是行程类的分式方程应用题，解题思路如下：首先回忆行程问题核心公式：时间=路程÷速度。第一步先统一单位，题目给出的时间差是20分钟，而速度单位是km/h，所以要把20分钟换算成以小时为单位的量；第二步找等量关系：骑自行车的学生比乘汽车的学生多花了20分钟（即1/3小时），因为骑车的先走20分钟且同时到达，所以骑车总时长减去汽车总时长等于时间差；第三步分别表示出两类学生走完全程的时间，代入等量关系即可列出方程，注意排除单位不统一的错误选项。
【解析】
首先统一时间单位：$20\ \mathrm{min}=\frac{20}{60}\ \mathrm{h}=\frac{1}{3}\ \mathrm{h}$。
已知骑车学生速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则汽车速度为$2x\ \mathrm{km/h}$，两类学生行驶的路程均为10km：
骑车学生走完全程的时间为：$\frac{10}{x}\ \mathrm{h}$
乘汽车学生走完全程的时间为：$\frac{10}{2x}\ \mathrm{h}$
由题意可知，骑车学生用时比乘汽车学生多$\frac{1}{3}\ \mathrm{h}$，因此列方程：
$\dfrac{10}{x} - \dfrac{10}{2x} = \dfrac{1}{3}$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程实际应用，行程问题等量关系，时间单位换算
【点评】
本题是分式方程应用的常见基础题型，解题核心是准确梳理两个出行方式的时间差关系，尤其要注意单位统一，避免因时间单位不匹配错选选项。
【难度系数】
0.7
2. A、B两地相距45 km，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9 h. 已知水流速度为4 km/h，若设该轮船在静水中的速度为x km/h，则可列方程（
A.$\frac{45}{x+4}+\frac{45}{x-4}=9$
B.$\frac{45}{4+x}+\frac{45}{4-x}=9$
C.$\frac{45}{x}+4=9$
D.$\frac{90}{x+4}+\frac{90}{x-4}=9$
A
）A.$\frac{45}{x+4}+\frac{45}{x-4}=9$
B.$\frac{45}{4+x}+\frac{45}{4-x}=9$
C.$\frac{45}{x}+4=9$
D.$\frac{90}{x+4}+\frac{90}{x-4}=9$
答案：2. A
解析：
【分析】
要列出符合题意的方程，首先需明确流水行船中顺流、逆流的实际速度计算方法，再结合“时间=路程÷速度”分别求出往返两段的航行时间，最后根据“往返总时间为9h”的等量关系列式即可。首先顺流时船的实际速度为静水速度加水流速度，逆流时船的实际速度为静水速度减水流速度，再分别用总路程45km除以对应速度得到两段航行时间，相加等于总时间9h即可得到方程。
【解析】
解：根据流水行船的速度规律：
①顺流速度=静水速度+水流速度，已知静水速度为x km/h，水流速度为4 km/h，因此顺流速度为$(x+4)$km/h，从A到B顺流航行的时间为$\frac{45}{x+4}$ h；
②逆流速度=静水速度-水流速度，因此逆流速度为$(x-4)$km/h，从B到A逆流航行的时间为$\frac{45}{x-4}$ h；
已知往返总时间为9h，因此两段时间相加等于总时间，可列方程：
$\frac{45}{x+4}+\frac{45}{x-4}=9$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
流水行船速度公式，行程问题基本关系，列分式方程
【点评】
本题是行程类分式方程列写的基础题型，核心是准确推导顺流、逆流状态下的实际航行速度，再结合总时间的等量关系列式即可，掌握行程问题“路程=速度×时间”的基本关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要列出符合题意的方程，首先需明确流水行船中顺流、逆流的实际速度计算方法，再结合“时间=路程÷速度”分别求出往返两段的航行时间，最后根据“往返总时间为9h”的等量关系列式即可。首先顺流时船的实际速度为静水速度加水流速度，逆流时船的实际速度为静水速度减水流速度，再分别用总路程45km除以对应速度得到两段航行时间，相加等于总时间9h即可得到方程。
【解析】
解：根据流水行船的速度规律：
①顺流速度=静水速度+水流速度，已知静水速度为x km/h，水流速度为4 km/h，因此顺流速度为$(x+4)$km/h，从A到B顺流航行的时间为$\frac{45}{x+4}$ h；
②逆流速度=静水速度-水流速度，因此逆流速度为$(x-4)$km/h，从B到A逆流航行的时间为$\frac{45}{x-4}$ h；
已知往返总时间为9h，因此两段时间相加等于总时间，可列方程：
$\frac{45}{x+4}+\frac{45}{x-4}=9$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
流水行船速度公式，行程问题基本关系，列分式方程
【点评】
本题是行程类分式方程列写的基础题型，核心是准确推导顺流、逆流状态下的实际航行速度，再结合总时间的等量关系列式即可，掌握行程问题“路程=速度×时间”的基本关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102 000元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1 500元.
（1）甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
（1）甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
答案：3. (1) 20天,30天；(2) 甲公司单独完成这项工程需 100 000 元,乙公司单独完成这项工程需 105 000 元,甲公司的施工费较少.
解析：
【分析】
（1）第一问属于工程问题，把工作总量看作单位“1”，工作效率=1÷工作时间。已知乙单独完成的时间是甲的1.5倍，设甲单独完成需x天，则乙单独完成需1.5x天，再根据“甲乙合作12天完成”即甲乙工作效率之和为$\frac{1}{12}$，列分式方程求解即可，注意分式方程要检验根是否符合实际意义。
（2）第二问要比较两个公司的总施工费，先设甲公司每天施工费为y元，则乙公司每天施工费为（y-1500）元，根据“合作12天总工费102000元”列一元一次方程求出两个公司每天的施工费，再分别乘各自单独完成的天数得到总费用，比较大小即可。
【解析】
（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成需1.5x天。
根据甲乙工作效率之和等于合作效率，列方程：
$\frac{1}{x} + \frac{1}{1.5x} = \frac{1}{12}$
化简得：$\frac{1}{x} + \frac{2}{3x} = \frac{1}{12}$
合并左边得：$\frac{5}{3x} = \frac{1}{12}$
交叉相乘解得：$x=20$
检验：当$x=20$时，分母不为0，$x=20$是原方程的解，且符合实际意义。
乙单独完成的时间为$1.5×20=30$（天）
（2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为（y-1500）元。
根据12天总施工费为102000元，列方程：
$12(y + y - 1500) = 102000$
两边除以12得：$2y - 1500 = 8500$
解得：$y=5000$
乙公司每天施工费为$5000 - 1500 = 3500$（元）
甲单独完成总费用：$20×5000 = 100000$（元）
乙单独完成总费用：$30×3500 = 105000$（元）
因为$100000 ＜ 105000$，所以甲公司施工费较少。
【答案】
（1）甲公司单独完成需20天，乙公司单独完成需30天；（2）甲公司的施工费较少。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次方程的应用；工程问题
【点评】
本题是典型的工程类实际应用题，解题关键是找准等量关系列方程，需要注意分式方程求解后要检验根是否符合实际意义，能有效考查用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于工程问题，把工作总量看作单位“1”，工作效率=1÷工作时间。已知乙单独完成的时间是甲的1.5倍，设甲单独完成需x天，则乙单独完成需1.5x天，再根据“甲乙合作12天完成”即甲乙工作效率之和为$\frac{1}{12}$，列分式方程求解即可，注意分式方程要检验根是否符合实际意义。
（2）第二问要比较两个公司的总施工费，先设甲公司每天施工费为y元，则乙公司每天施工费为（y-1500）元，根据“合作12天总工费102000元”列一元一次方程求出两个公司每天的施工费，再分别乘各自单独完成的天数得到总费用，比较大小即可。
【解析】
（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成需1.5x天。
根据甲乙工作效率之和等于合作效率，列方程：
$\frac{1}{x} + \frac{1}{1.5x} = \frac{1}{12}$
化简得：$\frac{1}{x} + \frac{2}{3x} = \frac{1}{12}$
合并左边得：$\frac{5}{3x} = \frac{1}{12}$
交叉相乘解得：$x=20$
检验：当$x=20$时，分母不为0，$x=20$是原方程的解，且符合实际意义。
乙单独完成的时间为$1.5×20=30$（天）
（2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为（y-1500）元。
根据12天总施工费为102000元，列方程：
$12(y + y - 1500) = 102000$
两边除以12得：$2y - 1500 = 8500$
解得：$y=5000$
乙公司每天施工费为$5000 - 1500 = 3500$（元）
甲单独完成总费用：$20×5000 = 100000$（元）
乙单独完成总费用：$30×3500 = 105000$（元）
因为$100000 ＜ 105000$，所以甲公司施工费较少。
【答案】
（1）甲公司单独完成需20天，乙公司单独完成需30天；（2）甲公司的施工费较少。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次方程的应用；工程问题
【点评】
本题是典型的工程类实际应用题，解题关键是找准等量关系列方程，需要注意分式方程求解后要检验根是否符合实际意义，能有效考查用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
问题 某学校2025年在某商场购买了甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）2026年为响应“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
名师指导
（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需(x+20)元，根据购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，列出分式方程解答即可；
（2）设此次可购买y个乙种足球，则购进甲种足球(50−y)个，根据购买两种品牌足球的总费用不超过2900元，列出不等式解决问题.
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）2026年为响应“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
名师指导
（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需(x+20)元，根据购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，列出分式方程解答即可；
（2）设此次可购买y个乙种足球，则购进甲种足球(50−y)个，根据购买两种品牌足球的总费用不超过2900元，列出不等式解决问题.
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案：解：
（1）设购买一个甲种足球需$x$元，则购买一个乙种足球需$(x+20)$元。
根据题意列分式方程：
$\frac{2000}{x} = 2 × \frac{1400}{x+20}$
方程两边同乘$x(x+20)$，得：
$2000(x+20) = 2800x$
展开整理得：
$800x = 40000$
解得：
$x=50$
检验：当$x=50$时，$x(x+20) ≠ 0$，$x=50$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则$x+20=50+20=70$。
（2）设这所学校此次可购买$y$个乙种足球，则购买$(50-y)$个甲种足球。
调整售价后，甲种足球单价为$50×(1+10\%)=55$元，乙种足球单价为$70×(1-10\%)=63$元。
根据题意列不等式：
$55(50-y) + 63y ≤ 2900$
展开整理得：
$2750 + 8y ≤ 2900$
解得：
$y ≤ 18.75$
因为$y$为正整数，所以$y$的最大取值为18。
答：（1）购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元；（2）这所学校最多可购买18个乙种足球。
（1）设购买一个甲种足球需$x$元，则购买一个乙种足球需$(x+20)$元。
根据题意列分式方程：
$\frac{2000}{x} = 2 × \frac{1400}{x+20}$
方程两边同乘$x(x+20)$，得：
$2000(x+20) = 2800x$
展开整理得：
$800x = 40000$
解得：
$x=50$
检验：当$x=50$时，$x(x+20) ≠ 0$，$x=50$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则$x+20=50+20=70$。
（2）设这所学校此次可购买$y$个乙种足球，则购买$(50-y)$个甲种足球。
调整售价后，甲种足球单价为$50×(1+10\%)=55$元，乙种足球单价为$70×(1-10\%)=63$元。
根据题意列不等式：
$55(50-y) + 63y ≤ 2900$
展开整理得：
$2750 + 8y ≤ 2900$
解得：
$y ≤ 18.75$
因为$y$为正整数，所以$y$的最大取值为18。
答：（1）购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元；（2）这所学校最多可购买18个乙种足球。
解析：
【分析】
（1）第一问属于分式方程实际应用问题，先设购买一个甲种足球需x元，根据“一个乙种足球比甲种多花20元”可得乙种足球单价为(x+20)元；再结合“数量=总价÷单价”分别表示出甲、乙两种足球的购买数量，利用“甲种足球数量是乙种的2倍”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程求出解后要检验是否符合方程要求与实际意义。
（2）第二问属于一元一次不等式实际应用问题，设此次购买y个乙种足球，则甲种足球购买(50-y)个；先算出售价调整后甲、乙两种足球的单价，再根据“总费用不超过2900元”的不等关系列不等式，解不等式后结合足球个数为正整数的实际要求，取y的最大整数解即可。
【解析】
（1）设购买一个甲种足球需$x$元，则购买一个乙种足球需$(x+20)$元。
根据题意列分式方程：
$\frac{2000}{x} = 2 × \frac{1400}{x+20}$
方程两边同乘$x(x+20)$，得：
$2000(x+20) = 2800x$
展开整理得：
$800x = 40000$
解得：
$x=50$
检验：当$x=50$时，$x(x+20) ≠ 0$，$x=50$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则$x+20=50+20=70$。
（2）设这所学校此次可购买$y$个乙种足球，则购买$(50-y)$个甲种足球。
调整售价后，甲种足球单价为$50×(1+10\%)=55$元，乙种足球单价为$70×(1-10\%)=63$元。
根据题意列不等式：
$55(50-y) + 63y ≤ 2900$
展开整理得：
$2750 + 8y ≤ 2900$
解得：
$y ≤ 18.75$
因为$y$为正整数，所以$y$的最大取值为18。
【答案】
（1）购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元；（2）这所学校最多可购买18个乙种足球。
【知识点】
分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用、分式方程的检验
【点评】
本题是方程与不等式结合的典型实际应用题，核心考查学生梳理题干等量、不等关系的能力，解题时需注意分式方程必须检验根的合理性，实际问题的解要符合现实约束（如足球个数为正整数）。
【难度系数】
0.65
（1）第一问属于分式方程实际应用问题，先设购买一个甲种足球需x元，根据“一个乙种足球比甲种多花20元”可得乙种足球单价为(x+20)元；再结合“数量=总价÷单价”分别表示出甲、乙两种足球的购买数量，利用“甲种足球数量是乙种的2倍”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程求出解后要检验是否符合方程要求与实际意义。
（2）第二问属于一元一次不等式实际应用问题，设此次购买y个乙种足球，则甲种足球购买(50-y)个；先算出售价调整后甲、乙两种足球的单价，再根据“总费用不超过2900元”的不等关系列不等式，解不等式后结合足球个数为正整数的实际要求，取y的最大整数解即可。
【解析】
（1）设购买一个甲种足球需$x$元，则购买一个乙种足球需$(x+20)$元。
根据题意列分式方程：
$\frac{2000}{x} = 2 × \frac{1400}{x+20}$
方程两边同乘$x(x+20)$，得：
$2000(x+20) = 2800x$
展开整理得：
$800x = 40000$
解得：
$x=50$
检验：当$x=50$时，$x(x+20) ≠ 0$，$x=50$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则$x+20=50+20=70$。
（2）设这所学校此次可购买$y$个乙种足球，则购买$(50-y)$个甲种足球。
调整售价后，甲种足球单价为$50×(1+10\%)=55$元，乙种足球单价为$70×(1-10\%)=63$元。
根据题意列不等式：
$55(50-y) + 63y ≤ 2900$
展开整理得：
$2750 + 8y ≤ 2900$
解得：
$y ≤ 18.75$
因为$y$为正整数，所以$y$的最大取值为18。
【答案】
（1）购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元；（2）这所学校最多可购买18个乙种足球。
【知识点】
分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用、分式方程的检验
【点评】
本题是方程与不等式结合的典型实际应用题，核心考查学生梳理题干等量、不等关系的能力，解题时需注意分式方程必须检验根的合理性，实际问题的解要符合现实约束（如足球个数为正整数）。
【难度系数】
0.65