4. 某市为治理污水，需要铺设一段全长为 300 m 的污水排放管道.铺设 120 m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天铺设管道的长度比原计划增加 20%，结果共用 30 天完成这一任务.求原计划每天铺设管道的长度.如果设原计划每天铺设 $ x $ m 管道，那么根据题意，可列方程：
$\frac{120}{x}+\frac{300-120}{(1+20\%)x}=30 (或\frac{120}{x}+\frac{180}{1.2x}=30)$
.答案：4. $\frac{120}{x}+\frac{300-120}{(1+20\%)x}=30 (或\frac{120}{x}+\frac{180}{1.2x}=30)$.
解析：
【分析】
本题属于工程类分式方程应用题，解题核心是利用“工作时间=工作量÷工作效率”的关系，结合总施工时长为30天建立等量关系。思考步骤如下：第一步，拆分施工阶段，整个工程分为前期按原计划铺设120m、后期提速铺设剩余长度两个阶段；第二步，分别表示两个阶段的施工时间；第三步，将两个阶段的时间相加等于总天数30，即可列出方程。
【解析】
设原计划每天铺设$x$ m管道：
1. 前期铺设120m的工作效率为$x$ m/天，因此前期施工时间为$\frac{120}{x}$天；
2. 剩余需要铺设的管道长度为$300-120=180$ m，后期每天铺设长度比原计划增加20%，即后期工作效率为$(1+20\%)x=1.2x$ m/天，因此后期施工时间为$\frac{180}{1.2x}$天；
3. 总施工时长为30天，即两阶段时间之和等于30，因此可列对应方程。
【答案】
$\frac{120}{x}+\frac{300-120}{(1+20\%)x}=30 (或\frac{120}{x}+\frac{180}{1.2x}=30)$
【知识点】
分式方程应用；工程问题等量关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题关键是准确拆分施工阶段，正确表示不同阶段的工作效率和对应施工时间，抓住总时间的等量关系即可顺利列式，需要注意提速后的效率是原效率的120%，避免出现效率表示错误的问题。
【难度系数】
0.8
本题属于工程类分式方程应用题，解题核心是利用“工作时间=工作量÷工作效率”的关系，结合总施工时长为30天建立等量关系。思考步骤如下：第一步，拆分施工阶段，整个工程分为前期按原计划铺设120m、后期提速铺设剩余长度两个阶段；第二步，分别表示两个阶段的施工时间；第三步，将两个阶段的时间相加等于总天数30，即可列出方程。
【解析】
设原计划每天铺设$x$ m管道：
1. 前期铺设120m的工作效率为$x$ m/天，因此前期施工时间为$\frac{120}{x}$天；
2. 剩余需要铺设的管道长度为$300-120=180$ m，后期每天铺设长度比原计划增加20%，即后期工作效率为$(1+20\%)x=1.2x$ m/天，因此后期施工时间为$\frac{180}{1.2x}$天；
3. 总施工时长为30天，即两阶段时间之和等于30，因此可列对应方程。
【答案】
$\frac{120}{x}+\frac{300-120}{(1+20\%)x}=30 (或\frac{120}{x}+\frac{180}{1.2x}=30)$
【知识点】
分式方程应用；工程问题等量关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题关键是准确拆分施工阶段，正确表示不同阶段的工作效率和对应施工时间，抓住总时间的等量关系即可顺利列式，需要注意提速后的效率是原效率的120%，避免出现效率表示错误的问题。
【难度系数】
0.8
5. 甲、乙两人相约周末到影院看电影，他们的家分别距离影院1 200 m和2 000 m，两人分别从家中同时出发，已知甲和乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前4 min到达影院.
（1）求甲、乙两人的速度；
（2）在看电影时，甲突然接到家长电话让其15 min内赶回家，时间紧迫改变速度，比来时每分钟多走25 m，甲是否能按要求时间到家？
（1）求甲、乙两人的速度；
（2）在看电影时，甲突然接到家长电话让其15 min内赶回家，时间紧迫改变速度，比来时每分钟多走25 m，甲是否能按要求时间到家？
答案：5. 解:(1) 设甲的速度为 $3x$ m/min,则乙的速度为 $4x$ m/min. 根据题意,得 $\frac{2\ 000}{4x}-\frac{1\ 200}{3x}=4$, 解得 $x=25$. 经检验, $x=25$ 是分式方程的解,且符合题意, $\therefore 3x=75,4x=100$. 答:甲的速度是 75 m/min,乙的速度是 100 m/min. (2) $\because \frac{1\ 200}{75+25}=12＜15$,所以甲能按要求时间到家.
解析：
【分析】
（1）第一问属于行程类分式方程应用题，已知甲乙速度比为3:4，可设速度的每份为x，即甲速度为3x m/min、乙速度为4x m/min，再根据“时间=路程÷速度”分别表示两人到达影院的时间，结合“乙比甲多用4分钟”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程的解必须检验是否符合实际意义。（2）第二问先算出甲返程的新速度，用路程除以新速度得到返程时间，再和要求的15min比较大小即可判断是否能按时到家。
【解析】
（1）设甲的速度为 $3x$ m/min，则乙的速度为 $4x$ m/min。
根据题意列方程：
$\frac{2000}{4x}-\frac{1200}{3x}=4$
化简得：$\frac{500}{x}-\frac{400}{x}=4$，即$\frac{100}{x}=4$
解得 $x=25$
经检验，$x=25$是原分式方程的解，且符合实际题意。
$\therefore 3x=3×25=75$，$4x=4×25=100$
（2）甲返程的速度为$75+25=100$ m/min
甲返程所需时间为$\frac{1200}{100}=12$ min
$\because12＜15$，所以甲能按要求时间到家。
【答案】
（1）甲的速度是75 m/min，乙的速度是100 m/min；（2）甲能按要求时间到家。
【知识点】
分式方程的应用、行程问题公式、分式方程验根
【点评】
本题结合生活场景考察分式方程的实际应用，解题核心是找准等量关系正确列方程，需牢记分式方程求解后必须检验根的合理性，第二问为基础行程计算，整体侧重对基础应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于行程类分式方程应用题，已知甲乙速度比为3:4，可设速度的每份为x，即甲速度为3x m/min、乙速度为4x m/min，再根据“时间=路程÷速度”分别表示两人到达影院的时间，结合“乙比甲多用4分钟”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程的解必须检验是否符合实际意义。（2）第二问先算出甲返程的新速度，用路程除以新速度得到返程时间，再和要求的15min比较大小即可判断是否能按时到家。
【解析】
（1）设甲的速度为 $3x$ m/min，则乙的速度为 $4x$ m/min。
根据题意列方程：
$\frac{2000}{4x}-\frac{1200}{3x}=4$
化简得：$\frac{500}{x}-\frac{400}{x}=4$，即$\frac{100}{x}=4$
解得 $x=25$
经检验，$x=25$是原分式方程的解，且符合实际题意。
$\therefore 3x=3×25=75$，$4x=4×25=100$
（2）甲返程的速度为$75+25=100$ m/min
甲返程所需时间为$\frac{1200}{100}=12$ min
$\because12＜15$，所以甲能按要求时间到家。
【答案】
（1）甲的速度是75 m/min，乙的速度是100 m/min；（2）甲能按要求时间到家。
【知识点】
分式方程的应用、行程问题公式、分式方程验根
【点评】
本题结合生活场景考察分式方程的实际应用，解题核心是找准等量关系正确列方程，需牢记分式方程求解后必须检验根的合理性，第二问为基础行程计算，整体侧重对基础应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
某工厂计划在规定时间内生产 24 000 个零件.若每天比原计划多生产 30 个零件,则在规定时间内可以多生产 300 个零件.
(1) 求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；
(2) 为了提前完成生产任务,工厂在安排原有工人按原计划生产的同时,引进 5组机器人生产流水线共同参与零件生产,已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比 20 个工人计划每天生产的零件总数还多 20%.按此测算,恰好提前两天完成 24 000 个零件的生产任务,求原计划安排的工人人数.
(1) 求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；
(2) 为了提前完成生产任务,工厂在安排原有工人按原计划生产的同时,引进 5组机器人生产流水线共同参与零件生产,已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比 20 个工人计划每天生产的零件总数还多 20%.按此测算,恰好提前两天完成 24 000 个零件的生产任务,求原计划安排的工人人数.
答案：(1) 设原计划每天生产零件 $x$ 个,由题意得
$\frac{24\ 000}{x}=\frac{24\ 000+300}{x+30}$,
解得 $x=2\ 400$,
经检验, $x=2\ 400$ 是原方程的解,且符合题意.
$\therefore$ 规定的天数为 $24\ 000÷2\ 400=10$(天).
答:原计划每天生产零件 2 400 个,规定的天数是 10 天.
(2) 设原计划安排的工人人数为 $y$ 人,由题意得
$[5×20×(1+20\%)×\frac{2\ 400}{y}+2\ 400]×(10-2)=24\ 000$,
解得 $y=480$.
经检验, $y=480$ 是原方程的解,且符合题意.
答:原计划安排的工人人数为 480 人.
$\frac{24\ 000}{x}=\frac{24\ 000+300}{x+30}$,
解得 $x=2\ 400$,
经检验, $x=2\ 400$ 是原方程的解,且符合题意.
$\therefore$ 规定的天数为 $24\ 000÷2\ 400=10$(天).
答:原计划每天生产零件 2 400 个,规定的天数是 10 天.
(2) 设原计划安排的工人人数为 $y$ 人,由题意得
$[5×20×(1+20\%)×\frac{2\ 400}{y}+2\ 400]×(10-2)=24\ 000$,
解得 $y=480$.
经检验, $y=480$ 是原方程的解,且符合题意.
答:原计划安排的工人人数为 480 人.
解析：
【分析】
(1) 第一问的核心等量关系为规定时间不变：原计划生产24000个零件的时间 = 每天多生产30个时生产24300个零件的时间。我们可以设原计划每天生产x个零件，根据“时间=总工作量÷工作效率”列分式方程求解，解完需检验是否符合题意，再用总工作量除以原计划日产量得到规定天数。
(2) 第二问的核心等量关系为：（原计划每天生产效率 + 5组机器人每天总生产效率）× 实际生产天数 = 总零件数24000。由第一问可知规定天数为10天，因此实际生产天数为8天；先表示出单个工人原计划日产量，再结合机器人产能和工人产能的数量关系列方程求解即可，同样需检验解的合理性。
【解析】
(1) 设原计划每天生产零件$x$个，由题意得：
$\frac{24\ 000}{x}=\frac{24\ 000+300}{x+30}$
交叉相乘化简得：$24000(x+30)=24300x$，解得$x=2\ 400$。
检验：当$x=2400$时，$x(x+30)≠0$，因此$x=2400$是原方程的解，且符合实际意义。
规定的天数为 $24\ 000÷2\ 400=10$(天)。
(2) 设原计划安排的工人人数为$y$人，单个工人原计划每天生产零件$\frac{2400}{y}$个，每组机器人日产量为20个工人原计划日产量的$(1+20\%)$，由题意得：
$[5×20×(1+20\%)×\frac{2\ 400}{y}+2\ 400]×(10-2)=24\ 000$
化简求解得$y=480$。
检验：当$y=480$时，$y≠0$，因此$y=480$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1) 原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天；
(2) 原计划安排的工人人数为480人。
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 工程问题计算
3. 分式方程验根
【点评】
本题是工程类分式方程应用的典型题型，解题核心是找准题目中的不变量构建等量关系，求解时要注意分式方程需双重检验：既要检验是否为原方程的解，也要检验是否符合实际场景，能够很好地锻炼学生的方程建模能力和审题能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问的核心等量关系为规定时间不变：原计划生产24000个零件的时间 = 每天多生产30个时生产24300个零件的时间。我们可以设原计划每天生产x个零件，根据“时间=总工作量÷工作效率”列分式方程求解，解完需检验是否符合题意，再用总工作量除以原计划日产量得到规定天数。
(2) 第二问的核心等量关系为：（原计划每天生产效率 + 5组机器人每天总生产效率）× 实际生产天数 = 总零件数24000。由第一问可知规定天数为10天，因此实际生产天数为8天；先表示出单个工人原计划日产量，再结合机器人产能和工人产能的数量关系列方程求解即可，同样需检验解的合理性。
【解析】
(1) 设原计划每天生产零件$x$个，由题意得：
$\frac{24\ 000}{x}=\frac{24\ 000+300}{x+30}$
交叉相乘化简得：$24000(x+30)=24300x$，解得$x=2\ 400$。
检验：当$x=2400$时，$x(x+30)≠0$，因此$x=2400$是原方程的解，且符合实际意义。
规定的天数为 $24\ 000÷2\ 400=10$(天)。
(2) 设原计划安排的工人人数为$y$人，单个工人原计划每天生产零件$\frac{2400}{y}$个，每组机器人日产量为20个工人原计划日产量的$(1+20\%)$，由题意得：
$[5×20×(1+20\%)×\frac{2\ 400}{y}+2\ 400]×(10-2)=24\ 000$
化简求解得$y=480$。
检验：当$y=480$时，$y≠0$，因此$y=480$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1) 原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天；
(2) 原计划安排的工人人数为480人。
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 工程问题计算
3. 分式方程验根
【点评】
本题是工程类分式方程应用的典型题型，解题核心是找准题目中的不变量构建等量关系，求解时要注意分式方程需双重检验：既要检验是否为原方程的解，也要检验是否符合实际场景，能够很好地锻炼学生的方程建模能力和审题能力。
【难度系数】
0.7