【分析】
要解决这个问题，需要分两步思考：第一步，先不重不漏地列举出从4根木棒中任取3根的所有可能组合；第二步，根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”逐一判断每个组合能否构成三角形，判断时可以只验证两个较短边的和是否大于最长边，因为最长边与任意短边的和必然大于另一条短边，能简化计算。
【解析】
首先列出从4根木棒中任取3根的所有组合，共4种，逐一判断：
1. 取2cm、3cm、4cm：较短两边和为$2+3=5\mathrm{cm}＞4\mathrm{cm}$，满足三边关系，可以构成三角形；
2. 取2cm、3cm、5cm：较短两边和为$2+3=5\mathrm{cm}$，不满足“两边之和大于第三边”，不能构成三角形；
3. 取2cm、4cm、5cm：较短两边和为$2+4=6\mathrm{cm}＞5\mathrm{cm}$，满足三边关系，可以构成三角形；
4. 取3cm、4cm、5cm：较短两边和为$3+4=7\mathrm{cm}＞5\mathrm{cm}$，满足三边关系，可以构成三角形。
因此能组成三角形的组合共有3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系、枚举法应用
【点评】
本题属于三角形三边关系的基础应用题，解题核心是枚举组合时要做到不重不漏，同时注意两边之和等于第三边的情况无法构成三角形，避免误判。
【难度系数】
0.7

【分析】
要计算∠BDC的度数，我们可以按照以下思路推导：首先，∠BDC是△BDC的内角，根据三角形内角和定理，只要先求出∠DBC与∠DCB的和即可。已知点D是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，因此∠DBC是∠ABC的一半、∠DCB是∠ACB的一半，所以我们可以先在△ABC中，利用已知的∠A的度数，求出∠ABC+∠ACB的总和，再取其一半得到∠DBC+∠DCB的和，最后代入△BDC的内角和公式即可算出结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=40°，因此：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 40° = 140°$
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB
∴$∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ DBC + ∠ DCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2} × 140° = 70°$
在△BDC中，再次利用三角形内角和为180°：
$∠ BDC = 180° - (∠ DBC + ∠ DCB) = 180° - 70° = 110°$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，解题核心是灵活运用三角形内角和定理，结合角平分线的性质转化角度关系，也可以直接记住结论：三角形两个内角平分线的夹角等于90°加上第三个角度数的一半，可提升解题效率。
【难度系数】
0.7

【分析】
这道题考查三角形三边关系的应用，解题时先明确三角形三边的核心规律：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们已知两条边的长度为2和4，先推导第三条边a的取值范围，再逐一比对选项，选出落在取值范围内的数值即可。
【解析】
根据三角形三边关系，第三边的取值需满足：两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和。
已知两条边长度为2和4，代入可得不等式：
$4-2 ＜ a ＜ 4+2$
计算得：$2 ＜ a ＜ 6$
逐一核对选项：
A.1，1＜2，不符合范围；
B.2，等于2，不符合范围；
C.3，满足$2＜3＜6$，符合范围；
D.6，等于6，不符合范围。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查对三角形三边关系的掌握，只要能正确推导第三边的取值范围，就能快速选出正确答案，是三角形章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.9

【分析】首先明确两个三角板的固有角度：含30°的直角三角板内角为30°、60°、90°，等腰直角三角板内角为45°、45°、90°。观察图形可知∠α是一个四边形的内角，我们可以利用四边形内角和为360°的性质求解，先确定该四边形其余三个内角的度数，再用360°减去这三个角的和即可得到∠α的度数。
【解析】
解：首先计算含30°的直角三角板的另一个锐角：
$180° - 90° - 30° = 60°$
观察图形，∠α与三角板的90°直角、上述的60°角、等腰直角三角板的45°角共同构成四边形的四个内角，根据四边形内角和为$360°$，可得：
$∠α = 360° - 90° - 60° - 45° = 165°$
【答案】A
【知识点】四边形内角和；三角板角度特征；三角形内角和
【点评】本题属于基础角度计算类题目，重点考查对三角板固定角度的掌握，以及运用多边形内角和性质解决实际角度计算的能力，解题的核心是准确梳理图形中各角的位置关系。
【难度系数】0.7

【分析】
首先利用等腰三角形两腰相等的性质，设AB的长度为未知数，用周长表示出底边的长度。再根据三角形边长为正、任意两边之和大于第三边这两个核心条件列出不等式组，解不等式组即可得到AB边的取值范围。
【解析】
设$AB=AC=x\ \mathrm{cm}$，已知三角形周长为20 cm，因此底边$BC=(20-2x)\ \mathrm{cm}$。
根据三角形的基本性质列不等式组：
1. 三角形任意两边之和大于第三边：$AB+AC＞BC$，即$x+x＞20-2x$，
化简得$4x＞20$，解得$x＞5$；
2. 三角形边长为正数：底边$BC＞0$，即$20-2x＞0$，
解得$x＜10$。
综上可得，AB的取值范围是$5\ \mathrm{cm}＜AB＜10\ \mathrm{cm}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，一元一次不等式组的应用
【点评】
本题是等腰三角形与不等式结合的基础题型，解题的关键是结合三角形三边关系和边长为正的隐含条件列不等式组，避免因漏考虑条件导致取值范围出错。
【难度系数】
0.7

【分析】
要判断这个三角形的外角不可能是哪个，首先需要先求出三角形的第三个内角度数，再根据“外角与相邻内角互补”的性质，算出这个三角形所有可能的外角，最后和选项对比即可得出结果。
【解析】
第一步：计算三角形第三个内角的度数
根据三角形内角和为180°，已知两个内角分别是55°和65°，则第三个内角为：
$180° - 55° - 65° = 60°$
所以三角形三个内角分别为$55°$、$65°$、$60°$。
第二步：计算三个内角对应的外角
因为三角形的一个外角和它相邻的内角互补（和为$180°$），所以：
与$55°$内角相邻的外角：$180° - 55° = 125°$
与$65°$内角相邻的外角：$180° - 65° = 115°$
与$60°$内角相邻的外角：$180° - 60° = 120°$
第三步：对比选项判断
该三角形的外角可能是$115°$、$120°$、$125°$，不可能是$130°$。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础题，核心是灵活运用三角形内角和以及外角的相关性质，先确定所有内角，再推导所有可能的外角，即可快速选出答案，解题时注意不要漏算任何一个内角对应的外角。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断三角形的类型，需先求出三角形各内角的度数，再根据最大角的类别判断。我们已知三角形内角和为180°，题目给出了三个内角的数量关系，可通过设未知数的方法，将三个角用同一个未知数表示，再结合内角和定理列方程求解：先设最小的∠A为x，根据已知的比例关系表示出∠B和∠C，代入内角和公式求出x的值，进而得到最大角的度数，即可判断三角形类型。
【解析】
设$∠ A = x$，
$\because ∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$，
$\therefore ∠ B=2x$，$∠ C=3x$，
根据三角形内角和为$180°$，可列方程：
$x+2x+3x=180°$
合并同类项得：$6x=180°$
解得：$x=30°$
$\therefore ∠ C=3x=90°$，有一个角为直角的三角形是直角三角形，因此$△ ABC$为直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题，解题关键是根据三个角的数量关系设未知数，结合三角形内角和定理列方程求出角度，再根据三角形分类标准判断即可，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题是直角三角形背景下的角度推导题，解题核心是结合平行线性质、角平分线定义、三角形内角和定理分析角度关系。首先可先推导角平分线交点F处的∠BFC的固定值，再结合平行线性质推导各角关系，逐一验证选项，也可通过明显不等的角度关系快速锁定错误选项。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，因此$∠ ABC+∠ ACB=90°$。
∵BD平分$∠ ABC$，CE平分$∠ ACB$，
∴$∠ FBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ FCB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
∴$∠ FBC+∠ FCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=45°$，
在$△ BFC$中，$∠ BFC=180°-(∠ FBC+∠ FCB)=135°$。
对选项A：
∵$AE// BC$，
∴$∠ AEC=∠ ECB$（两直线平行，内错角相等），
又
∵CE平分$∠ ACB$，
∴$∠ ACE=∠ ECB$，
∴$∠ AEC=∠ ACE$，A表述正确，不符合题意。
对选项D：
∵$AE// BC$，
∴$∠ EAC=∠ ACB$（两直线平行，内错角相等），
在$Rt△ ABC$中$∠ ACB＜90°$，而已得$∠ BFC=135°$，显然$∠ EAC≠∠ BFC$，D表述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查角度的推导计算，解题时可优先推导固定角度值，快速判断明显错误的选项，降低解题难度，也可通过设参数表示各角的方式逐一验证所有选项，避免出错。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先明确已知条件为三角形的两条边长AB=2cm、BC=4cm，要求第三边AC的取值范围，首先回忆三角形三边的基本性质：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，由此可得第三边的取值范围需要满足“大于已知两边的差，小于已知两边的和”，最后代入数值计算即可，注意取值不能取等号，否则无法构成三角形。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$BC - AB ＜ AC ＜ BC + AB$
将$AB=2\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$代入上式：
$4 - 2 ＜ AC ＜ 4 + 2$
计算得：$2\ \mathrm{cm} ＜ AC ＜ 6\ \mathrm{cm}$
【答案】
$2\ \mathrm{cm}＜AC＜6\ \mathrm{cm}$
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题，是三角形三边关系的直接应用，解题时需注意第三边的取值范围不包含端点，若取等号则三条线段共线，无法构成三角形，避免出现多写等号的错误。
【难度系数】
0.9