20.（7分）如图，在$△ ABC$中，$∠ B = ∠ C$，$∠ CDE = 20°$，且$∠ ADE = ∠ AED$，求$∠ BAD$的度数。
答案：20. $40°$.
解析：
【分析】
要推导∠BAD的度数，可利用三角形外角的性质结合已知等角条件等量代换求解。首先明确三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。首先∠ADC是△ABD的外角，可得∠ADC=∠B+∠BAD，同时∠ADC可拆为∠ADE+∠CDE；另外∠AED是△CDE的外角，可得∠AED=∠C+∠CDE，再结合题目给出的∠ADE=∠AED、∠B=∠C的条件，将等式联立代换，消去未知角即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：根据三角形外角的性质：
1. 在△ABD中，∠ADC是外角，因此$∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD$，
又$∠ ADC = ∠ ADE + ∠ CDE$，因此可得等式：
$∠ ADE + ∠ CDE = ∠ B + ∠ BAD$ ①
2. 在△CDE中，∠AED是外角，因此$∠ AED = ∠ C + ∠ CDE$ ②
已知$∠ ADE = ∠ AED$，$∠ B = ∠ C$，$∠ CDE=20°$，将②代入①：
$∠ C + ∠ CDE + ∠ CDE = ∠ B + ∠ BAD$
因为$∠ B = ∠ C$，两边抵消后可得：
$∠ BAD = 2∠ CDE = 2×20° = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
三角形外角定理；等腰三角形性质；角度等量代换
【点评】
本题主要考查三角形外角性质的灵活应用，解题的核心是找到角度之间的外角与内角关系，无需计算具体内角的度数，通过等量代换即可快速得出结果，是几何角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
要推导∠BAD的度数，可利用三角形外角的性质结合已知等角条件等量代换求解。首先明确三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。首先∠ADC是△ABD的外角，可得∠ADC=∠B+∠BAD，同时∠ADC可拆为∠ADE+∠CDE；另外∠AED是△CDE的外角，可得∠AED=∠C+∠CDE，再结合题目给出的∠ADE=∠AED、∠B=∠C的条件，将等式联立代换，消去未知角即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：根据三角形外角的性质：
1. 在△ABD中，∠ADC是外角，因此$∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD$，
又$∠ ADC = ∠ ADE + ∠ CDE$，因此可得等式：
$∠ ADE + ∠ CDE = ∠ B + ∠ BAD$ ①
2. 在△CDE中，∠AED是外角，因此$∠ AED = ∠ C + ∠ CDE$ ②
已知$∠ ADE = ∠ AED$，$∠ B = ∠ C$，$∠ CDE=20°$，将②代入①：
$∠ C + ∠ CDE + ∠ CDE = ∠ B + ∠ BAD$
因为$∠ B = ∠ C$，两边抵消后可得：
$∠ BAD = 2∠ CDE = 2×20° = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
三角形外角定理；等腰三角形性质；角度等量代换
【点评】
本题主要考查三角形外角性质的灵活应用，解题的核心是找到角度之间的外角与内角关系，无需计算具体内角的度数，通过等量代换即可快速得出结果，是几何角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
21. (12分)【探索归纳】
(1) 如图(1), 已知△ABC为直角三角形, ∠A=90°, 若沿图中虚线剪去∠A, 则∠1+∠2=
(2) 如图(2), 已知在△ABC中, ∠A=40°, 剪去∠A后成四边形, 则∠1+∠2=
(3) 如图(2), 根据(1)与(2)的求解过程, 请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是
(4) 如图(3), 若没有剪掉∠A, 而是把它折成如图所示形状, 试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由.
(1) 如图(1), 已知△ABC为直角三角形, ∠A=90°, 若沿图中虚线剪去∠A, 则∠1+∠2=
$270°$
.(2) 如图(2), 已知在△ABC中, ∠A=40°, 剪去∠A后成四边形, 则∠1+∠2=
$220°$
.(3) 如图(2), 根据(1)与(2)的求解过程, 请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是
$∠ 1+∠ 2=180°+∠ A$
.(4) 如图(3), 若没有剪掉∠A, 而是把它折成如图所示形状, 试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由.
答案：21. (1) $270°$；(2) $220°$；(3) $∠ 1+∠ 2=180°+∠ A$；(4) $\because △ EFP$ 是由 $△ EFA$ 折叠得到的，$\therefore ∠ AFE = ∠ PFE$，$∠ AEF = ∠ PEF$，$\therefore ∠ 1=180°-2∠ AFE$，$∠ 2=180°-2∠ AEF$，$\therefore ∠ 1+∠ 2=360°-2(∠ AFE+∠ AEF)$。又 $\because ∠ AFE+∠ AEF=180°-∠ A$，$\therefore ∠ 1+∠ 2=360°-2(180°-∠ A)=2∠ A$.
解析：
【分析】
本题围绕三角形内角和、四边形内角和及折叠性质展开求解：
1. 求解(1)(2)问时，先利用三角形内角和求出△ABC中除∠A外两个内角的和，再结合四边形内角和为360°，即可算出∠1+∠2的度数；
2. 求解(3)问时，对比(1)(2)的计算结果，即可归纳出∠1+∠2与∠A的通用关系；
3. 求解(4)问时，先根据折叠性质得到对应角相等，再结合平角定义表示出∠1和∠2，最后代入三角形内角和公式推导即可得到二者的关系。
【解析】
(1)
∵△ABC为直角三角形，∠A=90°
∴∠B+∠C=180°-∠A=180°-90°=90°
∵四边形内角和为360°
∴∠1+∠2=360°-(∠B+∠C)=360°-90°=270°
(2)
∵△ABC中∠A=40°
∴∠B+∠C=180°-∠A=180°-40°=140°
∵四边形内角和为360°
∴∠1+∠2=360°-(∠B+∠C)=360°-140°=220°
(3) 由(1)得∠1+∠2=270°=180°+90°=180°+∠A，由(2)得∠1+∠2=220°=180°+40°=180°+∠A，归纳可得∠1+∠2=180°+∠A
(4) ∠1+∠2=2∠A，理由如下：
∵△EFP是由△EFA折叠得到的
∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF
∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF
∴∠1+∠2=360°-2(∠AFE+∠AEF)
又
∵在△AEF中，∠AFE+∠AEF=180°-∠A
∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A
【答案】
(1) $270°$；(2) $220°$；(3) $\boldsymbol{∠1+∠2=180°+∠A}$；(4) $\boldsymbol{∠1+∠2=2∠A}$，理由见解析
【知识点】
三角形内角和定理；四边形内角和；折叠的性质
【点评】
本题是几何规律探究类题目，从特殊情况逐步推导一般结论，既考查了多边形内角和公式的基础应用，也考查了折叠性质的灵活运用，解题时结合图形分析角的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题围绕三角形内角和、四边形内角和及折叠性质展开求解：
1. 求解(1)(2)问时，先利用三角形内角和求出△ABC中除∠A外两个内角的和，再结合四边形内角和为360°，即可算出∠1+∠2的度数；
2. 求解(3)问时，对比(1)(2)的计算结果，即可归纳出∠1+∠2与∠A的通用关系；
3. 求解(4)问时，先根据折叠性质得到对应角相等，再结合平角定义表示出∠1和∠2，最后代入三角形内角和公式推导即可得到二者的关系。
【解析】
(1)
∵△ABC为直角三角形，∠A=90°
∴∠B+∠C=180°-∠A=180°-90°=90°
∵四边形内角和为360°
∴∠1+∠2=360°-(∠B+∠C)=360°-90°=270°
(2)
∵△ABC中∠A=40°
∴∠B+∠C=180°-∠A=180°-40°=140°
∵四边形内角和为360°
∴∠1+∠2=360°-(∠B+∠C)=360°-140°=220°
(3) 由(1)得∠1+∠2=270°=180°+90°=180°+∠A，由(2)得∠1+∠2=220°=180°+40°=180°+∠A，归纳可得∠1+∠2=180°+∠A
(4) ∠1+∠2=2∠A，理由如下：
∵△EFP是由△EFA折叠得到的
∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF
∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF
∴∠1+∠2=360°-2(∠AFE+∠AEF)
又
∵在△AEF中，∠AFE+∠AEF=180°-∠A
∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A
【答案】
(1) $270°$；(2) $220°$；(3) $\boldsymbol{∠1+∠2=180°+∠A}$；(4) $\boldsymbol{∠1+∠2=2∠A}$，理由见解析
【知识点】
三角形内角和定理；四边形内角和；折叠的性质
【点评】
本题是几何规律探究类题目，从特殊情况逐步推导一般结论，既考查了多边形内角和公式的基础应用，也考查了折叠性质的灵活运用，解题时结合图形分析角的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
22. (12分)【问题引入】
(1) 如图(1),在$△ ABC$中,点O是$∠ ABC$和$∠ ACB$平分线的交点,若$∠ A=α$,则$∠ BOC=$
(2) 如图(2),$∠ CBO=\frac{1}{3}∠ ABC$,$∠ BCO=\frac{1}{3}∠ ACB$,若$∠ A=α$,则$∠ BOC=$
(3) 如图(3),$∠ CBO=\frac{1}{3}∠ DBC$,$∠ BCO=\frac{1}{3}∠ ECB$,若$∠ A=α$,请猜想$∠ BOC=$
【类比研究】
(4) 若$BO,CO$分别是$△ ABC$的外角$∠ DBC,∠ ECB$的$n$等分线,它们交于点O,$∠ CBO=\frac{1}{n}∠ DBC$,$∠ BCO=\frac{1}{n}∠ ECB$.若$∠ A=α$,请猜想$∠ BOC=$
(1) 如图(1),在$△ ABC$中,点O是$∠ ABC$和$∠ ACB$平分线的交点,若$∠ A=α$,则$∠ BOC=$
$90°+\frac{α}{2}$
(用$α$表示).(2) 如图(2),$∠ CBO=\frac{1}{3}∠ ABC$,$∠ BCO=\frac{1}{3}∠ ACB$,若$∠ A=α$,则$∠ BOC=$
$120°+\frac{α}{3}$
(用$α$表示),并说明理由.(3) 如图(3),$∠ CBO=\frac{1}{3}∠ DBC$,$∠ BCO=\frac{1}{3}∠ ECB$,若$∠ A=α$,请猜想$∠ BOC=$
$120°-\frac{α}{3}$
(用$α$表示),并说明理由.【类比研究】
(4) 若$BO,CO$分别是$△ ABC$的外角$∠ DBC,∠ ECB$的$n$等分线,它们交于点O,$∠ CBO=\frac{1}{n}∠ DBC$,$∠ BCO=\frac{1}{n}∠ ECB$.若$∠ A=α$,请猜想$∠ BOC=$
$\frac{n-1}{n} · 180°-\frac{α}{n}$
(用$α,n$表示,直接写出结果).答案：22. (1) $90°+\frac{α}{2}$.
(2) $120°+\frac{α}{3}$. 理由：
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - \frac{1}{3}(∠ ABC+∠ ACB)=180°-\frac{1}{3}(180°-∠ A)=120°-\frac{α}{3}$.
(3) $120°-\frac{α}{3}$. 理由：$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - \frac{1}{3}(∠ DBC + ∠ ECB) = 180° - \frac{1}{3}(180°+∠ A)=120°-\frac{α}{3}$.
(4) $\frac{n-1}{n} · 180°-\frac{α}{n}$.
(2) $120°+\frac{α}{3}$. 理由：
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - \frac{1}{3}(∠ ABC+∠ ACB)=180°-\frac{1}{3}(180°-∠ A)=120°-\frac{α}{3}$.
(3) $120°-\frac{α}{3}$. 理由：$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - \frac{1}{3}(∠ DBC + ∠ ECB) = 180° - \frac{1}{3}(180°+∠ A)=120°-\frac{α}{3}$.
(4) $\frac{n-1}{n} · 180°-\frac{α}{n}$.
解析：
【分析】
这道题是探究三角形内角/外角的等分线相交形成的夹角与原三角形顶角的数量关系，核心解题思路是利用三角形内角和为180°的性质，结合角的等分关系，先求出∠OBC与∠OCB的和，再用180°减去两角和推导∠BOC的度数。解题时需注意区分内角等分和外角等分两种情况，外角和的推导要用到三角形外角与内角的转换关系。
【解析】
(1)
∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
∵$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-α$，
∴$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=180°-\frac{1}{2}(180°-α)=90°+\frac{α}{2}$。
(2) 理由：
∵$∠ CBO=\frac{1}{3}∠ ABC$，$∠ BCO=\frac{1}{3}∠ ACB$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{3}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{3}(180°-α)$，
∴$∠ BOC=180°-\frac{1}{3}(180°-α)=120°+\frac{α}{3}$。
(3) 理由：
∵∠DBC、∠ECB是△ABC的外角，
∴$∠ DBC=180°-∠ ABC$，$∠ ECB=180°-∠ ACB$，
∴$∠ DBC+∠ ECB=360°-(∠ ABC+∠ ACB)=360°-(180°-α)=180°+α$，
∵$∠ CBO=\frac{1}{3}∠ DBC$，$∠ BCO=\frac{1}{3}∠ ECB$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{3}(∠ DBC+∠ ECB)=\frac{1}{3}(180°+α)$，
∴$∠ BOC=180°-\frac{1}{3}(180°+α)=120°-\frac{α}{3}$。
(4) 同理可得：$∠ DBC+∠ ECB=180°+α$，
$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{n}(∠ DBC+∠ ECB)=\frac{1}{n}(180°+α)$，
∴$∠ BOC=180°-\frac{1}{n}(180°+α)=\frac{n-1}{n}·180°-\frac{α}{n}$。
【答案】
(1) $90°+\frac{α}{2}$
(2) $120°+\frac{α}{3}$
(3) $120°-\frac{α}{3}$
(4) $\frac{n-1}{n} · 180°-\frac{α}{n}$
【知识点】
三角形内角和定理，角的等分线定义，三角形外角性质
【点评】
本题属于规律探究类题型，从特殊的二等分、三等分到一般的n等分，逐步推导夹角与原三角形顶角的关系，体现了从特殊到一般的数学思想。解题关键是灵活运用三角形内角和与外角的性质，将未知角的和转化为含已知角α的表达式。
【难度系数】
0.65
这道题是探究三角形内角/外角的等分线相交形成的夹角与原三角形顶角的数量关系，核心解题思路是利用三角形内角和为180°的性质，结合角的等分关系，先求出∠OBC与∠OCB的和，再用180°减去两角和推导∠BOC的度数。解题时需注意区分内角等分和外角等分两种情况，外角和的推导要用到三角形外角与内角的转换关系。
【解析】
(1)
∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
∵$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-α$，
∴$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=180°-\frac{1}{2}(180°-α)=90°+\frac{α}{2}$。
(2) 理由：
∵$∠ CBO=\frac{1}{3}∠ ABC$，$∠ BCO=\frac{1}{3}∠ ACB$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{3}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{3}(180°-α)$，
∴$∠ BOC=180°-\frac{1}{3}(180°-α)=120°+\frac{α}{3}$。
(3) 理由：
∵∠DBC、∠ECB是△ABC的外角，
∴$∠ DBC=180°-∠ ABC$，$∠ ECB=180°-∠ ACB$，
∴$∠ DBC+∠ ECB=360°-(∠ ABC+∠ ACB)=360°-(180°-α)=180°+α$，
∵$∠ CBO=\frac{1}{3}∠ DBC$，$∠ BCO=\frac{1}{3}∠ ECB$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{3}(∠ DBC+∠ ECB)=\frac{1}{3}(180°+α)$，
∴$∠ BOC=180°-\frac{1}{3}(180°+α)=120°-\frac{α}{3}$。
(4) 同理可得：$∠ DBC+∠ ECB=180°+α$，
$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{n}(∠ DBC+∠ ECB)=\frac{1}{n}(180°+α)$，
∴$∠ BOC=180°-\frac{1}{n}(180°+α)=\frac{n-1}{n}·180°-\frac{α}{n}$。
【答案】
(1) $90°+\frac{α}{2}$
(2) $120°+\frac{α}{3}$
(3) $120°-\frac{α}{3}$
(4) $\frac{n-1}{n} · 180°-\frac{α}{n}$
【知识点】
三角形内角和定理，角的等分线定义，三角形外角性质
【点评】
本题属于规律探究类题型，从特殊的二等分、三等分到一般的n等分，逐步推导夹角与原三角形顶角的关系，体现了从特殊到一般的数学思想。解题关键是灵活运用三角形内角和与外角的性质，将未知角的和转化为含已知角α的表达式。
【难度系数】
0.65