如图，$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线$CP$与内角$∠ ABC$的平分线$BP$交于点$P$，若$∠ BPC=40°$，求$∠ CAP$的度数.
答案：
解:延长 BA,作$PF⊥BA$,$PN⊥BD$,$PM⊥AC$. 设$∠PCD=x°$, $∵ CP$平分$∠ACD$, $∴ ∠ACP=∠PCD = x°$, $PM = PN$. $∵ BP$平分$∠ABC$,$∴ ∠ABP=∠PBC$,$PF=PN$,$∴ PF=PM$. $∴ AP$平分$∠CAF$, $∴ ∠CAP = \frac{1}{2}∠CAF$. $∵ ∠BPC = 40°$,$∴ ∠ABP=∠PBC=∠PCD - ∠BPC = (x - 40)°$,$∴ ∠BAC=∠ACD - ∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°$,$∴ ∠CAF=100°$. $∴ ∠CAP=\frac{1}{2}∠CAF=50°$.
解:延长 BA,作$PF⊥BA$,$PN⊥BD$,$PM⊥AC$. 设$∠PCD=x°$, $∵ CP$平分$∠ACD$, $∴ ∠ACP=∠PCD = x°$, $PM = PN$. $∵ BP$平分$∠ABC$,$∴ ∠ABP=∠PBC$,$PF=PN$,$∴ PF=PM$. $∴ AP$平分$∠CAF$, $∴ ∠CAP = \frac{1}{2}∠CAF$. $∵ ∠BPC = 40°$,$∴ ∠ABP=∠PBC=∠PCD - ∠BPC = (x - 40)°$,$∴ ∠BAC=∠ACD - ∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°$,$∴ ∠CAF=100°$. $∴ ∠CAP=\frac{1}{2}∠CAF=50°$.
解析：
【分析】
解题时先观察已知条件：存在内角平分线BP、外角平分线CP，要求∠CAP的度数。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们过点P向BA的延长线、AC、CD作三条垂线，结合两条角平分线可证得三条垂线段相等，再根据角平分线的判定定理，可推出AP是∠BAC的外角∠CAF的平分线，此时求∠CAP就转化为求∠CAF的一半。接下来利用三角形外角的性质，先推导∠BPC和∠BAC的数量关系，求出∠BAC的度数后即可得到∠CAF的度数，最终算出∠CAP。
【解析】
延长BA，作$PF⊥BA$于点F，$PN⊥BD$于点N，$PM⊥AC$于点M。
设$∠PCD=x°$，
$∵ CP$平分$∠ACD$，
$∴ ∠ACP=∠PCD = x°$，且根据角平分线的性质得$PM = PN$。
$∵ BP$平分$∠ABC$，
$∴ ∠ABP=∠PBC$，且根据角平分线的性质得$PF=PN$，
$∴ PF=PM$。
又$∵ PF⊥BA$，$PM⊥AC$，
$∴ AP$平分$∠CAF$（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
$∴ ∠CAP = \frac{1}{2}∠CAF$。
$∵ ∠PCD$是$△ PBC$的外角，$∠BPC = 40°$，
$∴ ∠PBC=∠PCD - ∠BPC = (x - 40)°$，即$∠ABP=(x-40)°$。
$∵ ∠ACD$是$△ ABC$的外角，
$∴ ∠BAC=∠ACD - ∠ABC=2x°-2(x - 40)°=80°$，
$∴ ∠CAF=180°-∠BAC=100°$，
$∴ ∠CAP=\frac{1}{2}∠CAF=\frac{1}{2}×100°=50°$。
【答案】
$∠CAP=50°$
【知识点】
1.角平分线的性质与判定
2.三角形外角的性质
【点评】
本题是角平分线相关性质与三角形外角性质的综合应用题，解题的核心是通过构造三条垂线证明AP为∠BAC的外角平分线，再利用外角的数量关系推导角度，需要熟练掌握角平分线相关辅助线的构造思路，理清角度之间的等量关系。
【难度系数】
0.35
解题时先观察已知条件：存在内角平分线BP、外角平分线CP，要求∠CAP的度数。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们过点P向BA的延长线、AC、CD作三条垂线，结合两条角平分线可证得三条垂线段相等，再根据角平分线的判定定理，可推出AP是∠BAC的外角∠CAF的平分线，此时求∠CAP就转化为求∠CAF的一半。接下来利用三角形外角的性质，先推导∠BPC和∠BAC的数量关系，求出∠BAC的度数后即可得到∠CAF的度数，最终算出∠CAP。
【解析】
延长BA，作$PF⊥BA$于点F，$PN⊥BD$于点N，$PM⊥AC$于点M。
设$∠PCD=x°$，
$∵ CP$平分$∠ACD$，
$∴ ∠ACP=∠PCD = x°$，且根据角平分线的性质得$PM = PN$。
$∵ BP$平分$∠ABC$，
$∴ ∠ABP=∠PBC$，且根据角平分线的性质得$PF=PN$，
$∴ PF=PM$。
又$∵ PF⊥BA$，$PM⊥AC$，
$∴ AP$平分$∠CAF$（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
$∴ ∠CAP = \frac{1}{2}∠CAF$。
$∵ ∠PCD$是$△ PBC$的外角，$∠BPC = 40°$，
$∴ ∠PBC=∠PCD - ∠BPC = (x - 40)°$，即$∠ABP=(x-40)°$。
$∵ ∠ACD$是$△ ABC$的外角，
$∴ ∠BAC=∠ACD - ∠ABC=2x°-2(x - 40)°=80°$，
$∴ ∠CAF=180°-∠BAC=100°$，
$∴ ∠CAP=\frac{1}{2}∠CAF=\frac{1}{2}×100°=50°$。
【答案】
$∠CAP=50°$
【知识点】
1.角平分线的性质与判定
2.三角形外角的性质
【点评】
本题是角平分线相关性质与三角形外角性质的综合应用题，解题的核心是通过构造三条垂线证明AP为∠BAC的外角平分线，再利用外角的数量关系推导角度，需要熟练掌握角平分线相关辅助线的构造思路，理清角度之间的等量关系。
【难度系数】
0.35
1. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，以顶点$A$为圆心，适当长为半径画弧，分别交$AC$，$AB$于点$M$，$N$，再分别以点$M$，$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧交于点$P$，作射线$AP$交边$BC$于点$D$，若$CD=4$，$AB=15$，则$△ ABD$的面积是（
A.15
B.30
C.45
D.60
B
）A.15
B.30
C.45
D.60
答案：1. B.
解析：
【分析】
首先观察题目中的作图步骤，该步骤是角平分线的标准尺规作图方法，因此可得出AD平分∠BAC。接下来回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知∠C=90°，即DC垂直于AC，因此点D到AB边的距离等于CD的长度。要求△ABD的面积，已知AB的长度，将AB作为底，点D到AB的距离作为高，代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，AD是∠BAC的角平分线。
过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=CD=4。
△ABD的面积 = $\frac{1}{2} × AB × DE$ = $\frac{1}{2} × 15 × 4$ = 30。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的尺规作图、角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题考查尺规作图的识别与角平分线性质的应用，解题的关键是正确判断AD为角平分线，利用性质求出三角形的高，再结合面积公式计算，是角平分线相关知识的典型基础考题。
【难度系数】
0.7
首先观察题目中的作图步骤，该步骤是角平分线的标准尺规作图方法，因此可得出AD平分∠BAC。接下来回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知∠C=90°，即DC垂直于AC，因此点D到AB边的距离等于CD的长度。要求△ABD的面积，已知AB的长度，将AB作为底，点D到AB的距离作为高，代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，AD是∠BAC的角平分线。
过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=CD=4。
△ABD的面积 = $\frac{1}{2} × AB × DE$ = $\frac{1}{2} × 15 × 4$ = 30。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的尺规作图、角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题考查尺规作图的识别与角平分线性质的应用，解题的关键是正确判断AD为角平分线，利用性质求出三角形的高，再结合面积公式计算，是角平分线相关知识的典型基础考题。
【难度系数】
0.7
2. 到三角形三边距离相等的点是三角形三条
角平分线
的交点。答案：2. 角平分线.
解析：
【分析】
解题时从“到三角形三边距离相等”这一条件切入，先回忆相关定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。若点要同时到三角形三边距离相等，说明该点需同时在三角形三个内角的角平分线上，因此是三条角平分线的交点。注意不要和其他特殊线段的性质混淆：边的垂直平分线的性质是到线段两端点距离相等，中线、高均无“到边距离相等”的相关性质。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的任意一点，到角的两边的距离相等；同时角平分线的判定定理指出：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上。
若某点到三角形的三边距离都相等，则该点同时满足在三角形三个内角的角平分线上，因此这个点是三角形三条角平分线的交点。
【答案】
角平分线
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对角平分线相关性质和判定的理解，解题时要注意区分三角形各类特殊线段的性质，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
解题时从“到三角形三边距离相等”这一条件切入，先回忆相关定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。若点要同时到三角形三边距离相等，说明该点需同时在三角形三个内角的角平分线上，因此是三条角平分线的交点。注意不要和其他特殊线段的性质混淆：边的垂直平分线的性质是到线段两端点距离相等，中线、高均无“到边距离相等”的相关性质。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的任意一点，到角的两边的距离相等；同时角平分线的判定定理指出：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上。
若某点到三角形的三边距离都相等，则该点同时满足在三角形三个内角的角平分线上，因此这个点是三角形三条角平分线的交点。
【答案】
角平分线
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对角平分线相关性质和判定的理解，解题时要注意区分三角形各类特殊线段的性质，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
问题 如图，点B，C分别在∠MAN的两边上，BD⊥AM，CE⊥AN，垂足分别为D，E，BD，CE相交于点F，且BF=CF。求证：点F在∠A的平分线上。
名师指导
要证明点F在∠A的平分线上，只需证FE=FD。分析已知条件，可以从证明△BEF≌△CDF入手。
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
证明：
名师指导
要证明点F在∠A的平分线上，只需证FE=FD。分析已知条件，可以从证明△BEF≌△CDF入手。
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
证明：
答案：证明：
∵ $BD⊥AM$，$CE⊥AN$，
∴ $∠ CDF = ∠ BEF = 90°$。
在$△ CDF$和$△ BEF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ CDF = ∠ BEF \\∠ CFD = ∠ BFE \\CF = BF\end{array} $
∴ $△ CDF ≌ △ BEF$（AAS）。
∴ $FD = FE$。
又∵ $FD⊥ AM$，$FE⊥ AN$，
∴ 点$F$在$∠ A$的平分线上。
∵ $BD⊥AM$，$CE⊥AN$，
∴ $∠ CDF = ∠ BEF = 90°$。
在$△ CDF$和$△ BEF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ CDF = ∠ BEF \\∠ CFD = ∠ BFE \\CF = BF\end{array} $
∴ $△ CDF ≌ △ BEF$（AAS）。
∴ $FD = FE$。
又∵ $FD⊥ AM$，$FE⊥ AN$，
∴ 点$F$在$∠ A$的平分线上。
解析：
【分析】
要证明点F在∠A的平分线上，根据角平分线的判定定理，需先证点F到∠A两边AM、AN的距离相等，即FD=FE。首先结合已知的垂直关系可得∠CDF=∠BEF=90°，再利用对顶角相等得到∠CFD=∠BFE，结合已知BF=CF，可通过AAS判定△CDF≌△BEF，由全等性质得到FD=FE，最终可证得点F在∠A的平分线上。
【解析】
证明：
∵ $BD⊥AM$，$CE⊥AN$，
∴ $∠ CDF = ∠ BEF = 90°$。
在$△ CDF$和$△ BEF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ CDF = ∠ BEF \\∠ CFD = ∠ BFE \\CF = BF\end{array} $
∴ $△ CDF ≌ △ BEF$（AAS）。
∴ $FD = FE$。
又
∵ $FD⊥ AM$，$FE⊥ AN$，
∴ 点$F$在$∠ A$的平分线上。
【答案】
证明：
∵ $BD⊥AM$，$CE⊥AN$，
∴ $∠ CDF = ∠ BEF = 90°$。
在$△ CDF$和$△ BEF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ CDF = ∠ BEF \\∠ CFD = ∠ BFE \\CF = BF\end{array} $
∴ $△ CDF ≌ △ BEF$（AAS）。
∴ $FD = FE$。
又
∵ $FD⊥ AM$，$FE⊥ AN$，
∴ 点$F$在$∠ A$的平分线上。
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线判定的典型应用题型，解题的关键是将“点在角平分线上”的证明转化为“点到角两边的距离相等”的证明，借助全等三角形得到等线段即可完成推导，能有效巩固全等三角形和角平分线相关的基础知识点。
【难度系数】
0.7
要证明点F在∠A的平分线上，根据角平分线的判定定理，需先证点F到∠A两边AM、AN的距离相等，即FD=FE。首先结合已知的垂直关系可得∠CDF=∠BEF=90°，再利用对顶角相等得到∠CFD=∠BFE，结合已知BF=CF，可通过AAS判定△CDF≌△BEF，由全等性质得到FD=FE，最终可证得点F在∠A的平分线上。
【解析】
证明：
∵ $BD⊥AM$，$CE⊥AN$，
∴ $∠ CDF = ∠ BEF = 90°$。
在$△ CDF$和$△ BEF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ CDF = ∠ BEF \\∠ CFD = ∠ BFE \\CF = BF\end{array} $
∴ $△ CDF ≌ △ BEF$（AAS）。
∴ $FD = FE$。
又
∵ $FD⊥ AM$，$FE⊥ AN$，
∴ 点$F$在$∠ A$的平分线上。
【答案】
证明：
∵ $BD⊥AM$，$CE⊥AN$，
∴ $∠ CDF = ∠ BEF = 90°$。
在$△ CDF$和$△ BEF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ CDF = ∠ BEF \\∠ CFD = ∠ BFE \\CF = BF\end{array} $
∴ $△ CDF ≌ △ BEF$（AAS）。
∴ $FD = FE$。
又
∵ $FD⊥ AM$，$FE⊥ AN$，
∴ 点$F$在$∠ A$的平分线上。
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线判定的典型应用题型，解题的关键是将“点在角平分线上”的证明转化为“点到角两边的距离相等”的证明，借助全等三角形得到等线段即可完成推导，能有效巩固全等三角形和角平分线相关的基础知识点。
【难度系数】
0.7