【分析】
1. 解决问题部分：所求$PC+PE$是两条共端点$P$的线段和的最小值，属于直线上动点到两定点距离和最小的问题，可利用轴对称的性质转化线段：首先AD是等边三角形ABC的对称轴，作E关于AD的对称点F，可将PE转化为PF，此时$PC+PE=PC+PF$，要让这个和最小，根据两点之间线段最短，需F、P、C三点共线，再根据垂线段最短，当CF垂直AB时CF长度最小，结合等边三角形高相等的性质即可求出最小值。
2. 拓展研究部分：要使$∠APB=∠APD$，利用轴对称对应角相等的性质，可将其中一个点沿AC作对称点，把两个角转化为共顶点、共边AC的角，两角相等等价于两个角的另一边共线，连线与AC的交点即为所求点P。
【解析】
解决问题：
$\because△ ABC$是等边三角形，AD是中线，
$\therefore$AD是$△ ABC$的对称轴，$AD⊥ BC$，且AD平分$∠ BAC$，AD是BC边上的高，长度为6cm。
作点E关于AD的对称点F，由轴对称性质可知：$PE=PF$，且F在AB边上，
$\therefore PC+PE=PC+PF$，
根据两点之间线段最短，当F、P、C三点共线时，$PC+PF$的最小值为CF的长度。
根据垂线段最短，当$CF⊥ AB$时，CF的长度最小，此时CF是AB边上的高。
$\because$等边三角形三条高长度相等，$\therefore CF=AD=6\mathrm{cm}$，即$PC+PE$的最小值为6cm。
拓展研究：
方法1：作点B关于AC的对称点E，连接DE，DE与AC的交点即为所求点P，连接BP，由轴对称性质可得$∠ APB=∠ APE$，即$∠ APB=∠ APD$，作图痕迹见。
方法2：作点D关于AC的对称点$D'$，连接$D'B$，$D'B$与AC的交点即为所求点P，连接DP，由轴对称性质可得$∠ APD=∠ APD'$，即$∠ APB=∠ APD$，作图痕迹见。
【答案】
解决问题：$\boldsymbol{6}$；
拓展研究：作图方法见解析，作图痕迹。
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；等边三角形的性质
【点评】
本题以轴对称的应用为核心，既考查了最短路径问题的常规解法，又考查了利用轴对称构造等角的作图能力，需要将未知问题转化为熟悉的轴对称模型求解，侧重知识的迁移应用。
【难度系数】
0.6

【分析】
解决本题首先要明确轴对称图形的核心特征：沿某条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合。第一步先观察原黑色图形，它本身是轴对称图形，接下来我们需要找所有符合要求的白色小正方形：先列出4×4网格中所有可能作为新图形对称轴的直线，包括水平直线、竖直直线、两条斜向对角线等，针对每一条对称轴，判断哪个白色格子涂黑后，整个图形沿该对称轴对折能够完全重合，最后统计所有不重复的符合条件的格子数即可。
【解析】
根据轴对称图形的定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，我们逐一验证白色格子：
首先排查所有可能的对称轴（水平对称轴、竖直对称轴、两条对角线对称轴等），对每条对称轴，找到能让涂黑后图形沿对称轴完全重合的白色格子，排除重复计数的情况后，最终可得符合条件的白色小正方形共有5个，位置如下图所示：

【答案】
5个
【知识点】
轴对称图形的判定、画轴对称图形
【点评】
本题重点考查对轴对称图形概念的理解和应用，解题时需要全面考虑所有可能的对称轴，逐一验证，避免漏解或者多解。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先要明确两个核心知识点：一是关于y轴对称的点的坐标特征，二是点平移时的坐标变化规律。第一步先求出点A关于y轴对称的点的坐标，第二步对比原坐标与对称点坐标的差异，结合平移规律判断平移方向和距离即可。
【解析】
1. 求点A关于y轴对称的点的坐标：
关于y轴对称的点，纵坐标保持不变，横坐标互为相反数。已知点A(-3,-4)，因此它关于y轴对称的点的坐标为(3,-4)。
2. 判断平移方式：
点平移的坐标变化规律为：左右平移时，横坐标“左减右加”，纵坐标不变；上下平移时，纵坐标“上加下减”，横坐标不变。
对比原A点坐标(-3,-4)和目标点坐标(3,-4)，纵坐标没有变化，横坐标从-3变为3，增加了6，符合“右加”的规律，因此是向右平移6个单位长度。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 轴对称点坐标特征
2. 点的平移规律
【点评】
本题是基础类题型，重点考查对轴对称点坐标性质和点平移坐标变化规律的掌握，解题时注意区分关于x轴、y轴对称的坐标差异，以及平移时坐标增减对应的方向，避免混淆即可得分。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先回忆关于y轴对称的点的坐标变化规律：平面直角坐标系中，关于y轴对称的两个点，纵坐标不变，横坐标互为相反数。随后提取已知点P的横、纵坐标，将横坐标取相反数，纵坐标保持不变，就能求出对称点的坐标。
【解析】
根据关于y轴对称的点的坐标性质：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。
已知点P的坐标为(-2, 3)，横坐标-2的相反数是2，纵坐标仍为3，因此点P关于y轴对称的点的坐标是(2, 3)。
【答案】
(2,3)
【知识点】
关于y轴对称的坐标特征、平面直角坐标系
【点评】
本题是基础类题型，主要考查坐标轴对称点的坐标规律的应用，只要准确记忆不同对称轴对应的坐标变化规则，就能快速得出答案，注意不要混淆x轴、y轴对称时的坐标变化要求。
【难度系数】
0.9

【分析】
要判断两点关于什么轴对称，需先回忆平面直角坐标系中对称点的坐标特征：关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。接下来我们分别对比点A和点B的横、纵坐标的关系，匹配对应的对称规律即可得出答案。
【解析】
已知点A的坐标为(-2,-1)，点B的坐标为(2,-1)：
1. 观察两点的纵坐标：两个点的纵坐标均为-1，纵坐标相等；
2. 观察两点的横坐标：-2和2互为相反数；
根据“关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”的坐标规律，可判定点A与点B关于y轴对称。
【答案】
y
【知识点】
1. 关于y轴对称的点的坐标特征
2. 平面直角坐标系中点的坐标表示
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对坐标轴对称的点的坐标变化规律的掌握，只要熟记不同轴对称对应的坐标变化特点，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9

【分析】
要解决点关于直线x=m对称的坐标问题，首先回忆轴对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分。因为直线x=m是平行于y轴的竖直线，所以对称点的连线是平行于x轴的水平线，因此对称点的纵坐标和原点点纵坐标相同；另外两个点到直线x=m的水平距离相等，即若原点点横坐标为x，对称点横坐标为x'，则两点横坐标的中点在对称轴上，可得$\frac{x+x'}{2}=m$，推导得$x'=2m-x$。
问题(1)(2)可直接代入上述规律计算，也可先在坐标系中描出已知点，根据距离对称轴的水平距离找到对称点；问题(3)通过前两问的计算结果，归纳总结出通用的坐标公式即可。
【解析】
根据轴对称的性质，点关于直线x=m对称时，纵坐标不变，横坐标满足：对称点横坐标=2m - 原点点横坐标。
(1) 直线$x=1$即$m=1$：
① 点$(2,2)$：对称点横坐标$=2×1 - 2=0$，纵坐标为2，故对称点坐标为$(0,2)$；
② 点$(-2,3)$：对称点横坐标$=2×1 - (-2)=4$，纵坐标为3，故对称点坐标为$(4,3)$；
③ 点$(4,-1)$：对称点横坐标$=2×1 - 4=-2$，纵坐标为-1，故对称点坐标为$(-2,-1)$。
(2) 直线$x=-1$即$m=-1$：
① 点$(2,2)$：对称点横坐标$=2×(-1) - 2=-4$，纵坐标为2，故对称点坐标为$(-4,2)$；
② 点$(-2,3)$：对称点横坐标$=2×(-1) - (-2)=0$，纵坐标为3，故对称点坐标为$(0,3)$；
③ 点$(4,-1)$：对称点横坐标$=2×(-1) - 4=-6$，纵坐标为-1，故对称点坐标为$(-6,-1)$。
(3) 结合(1)(2)的规律，将原点点坐标换为$(a,b)$，对称轴为$x=m$，可得对称点纵坐标为$b$，横坐标为$2m - a$，故对称点坐标为$(2m - a, b)$。
【答案】
(1) 点$(2,2)$关于直线$x=1$对称的点的坐标为$(0,2)$；
点$(-2,3)$关于直线$x=1$对称的点的坐标为$(4,3)$；
点$(4,-1)$关于直线$x=1$对称的点的坐标为$(-2,-1)$。
(2) 点$(2,2)$关于直线$x=-1$对称的点的坐标为$(-4,2)$；
点$(-2,3)$关于直线$x=-1$对称的点的坐标为$(0,3)$；
点$(4,-1)$关于直线$x=-1$对称的点的坐标为$(-6,-1)$。
(3) 点$(a,b)$关于直线$x=m$对称的点的坐标为$(2m-a, b)$。
【知识点】
1. 点关于直线对称的坐标特征
2. 轴对称的性质
3. 平面直角坐标系
【点评】
本题按照从特殊到一般的思路设计，先通过具体坐标的对称计算，再归纳通用规律，既考查了轴对称的基本性质，也锻炼了归纳总结的能力，掌握该规律后可快速求解平行于y轴的直线的对称点坐标问题。
【难度系数】
0.8